第一章&矩阵与行列式
1．&关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如写成两边各划一竖线的行列式如，或把行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有行和列，不一定；但行列式只有行列。阶行列式是个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成阶方阵
的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作、或，即
（如二阶方阵所对应的行列式是这样一个新的对象：）。也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当为阶方阵时，不可把与等同起来，而是，等等。
2．&关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数乘矩阵是用数乘矩阵中每一个元素得到的新的矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。
3．&关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由来定义（与互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为以及关系式，二者有着重要与广泛的应用。要弄清的伴随方阵是矩阵的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。
4．&关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如，而不是等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。
5．&关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，要求会用矩阵的行初等变换法和计算子式法两种方法求可逆方阵的逆阵。
6．&关于矩阵分块法：对此不作过高要求。但对于特殊形式的矩阵的乘法、求逆等运算（当可能时）会用分块法计算将给我们带来许多方便。
7.&关于行列式：行列式的定义可由一阶开始记，即从而可按行或列展开求得二阶及任意的阶行列式的值。教材上附注中给出的另一种定义即难于理解，可参考其它线性代数教材；但对于许多特殊行列式的某些项及值的确定用此定义会非常方便（可见下面的“例题解析”部分）。由定义与性质可得到化简与计算阶行列式值的常用的几种方法（可见下面的“例题解析”部分之例4）。这里，重要的是会正确地理解和使用性质及展开法计算一般的行列式，特别要注意在使用它们时有一些通常的技巧，自己应当通过作题加以领会与总结。但对于元素为数字的行列式，总可以由“交换两行（列）”与“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）上去”二变换化为上（下）三角行列式而求得其值。对元素为字母的行列式，要多观察各行、列元素的特点，灵活应用性质，如当列（行）元素之和相等时往往各行（列）相加；裂项，提公因子，逐行（列）相减化为三角形行列式等。为便于计算，还要记住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的计算公式及某些例、习题中有一定特点的行列式的值。
8．关于克莱姆法则：首先要明白克莱姆法则仅对方程个数与未知数个数相等的线性方程组（其系数行列式不为零）适用；特别要记准公式中各行列式的构成规律，而且套公式之前一定要检查方程组是否为“标准形”--常数项全在等号右端；要注意克莱姆法则推论的实质，即个方程个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零。
第二章&向量组和向量空间
1．关于向量的概念：应该从多个角度理解n维向量的概念。首先，向量是一种特殊的矩阵，所以对向量可以使用矩阵的加法、数乘、转置和乘法等运算。矩阵叫行向量，矩阵叫列向量。从矩阵的角度看，除了1维向量，行向量与列向量是不相等的。若A为n阶方阵，那么n维行向量可左乘A，其结果仍是n维行向量；n维列向量可右乘A，其结果仍为n维列向量。其次，向量与矩阵比较又有自己的特殊性，某些概念或运算在通常的矩阵间是没有的，如内积、夹角等。向量还可看成平面或空间解析几何中对应概念的推广，但代数中向量概念更抽象。空间解析几何中，向量与3维有序实数组（即向量的坐标）间有一一对应关系，所以这里把n维有序实数组定义为n维向量。解析几何中一些与向量有关的概念、运算和性质也可进行对应推广。
在没有特别声明的情况下，本书所指的向量都是实向量，即分量都是实数的向量。
2．关于向量的内积、长度、夹角和正交：向量的内积、长度、夹角和正交等概念都是解析几何中对应概念的推广。向量的内积对应于解析几何中两向量的数量积（点积）。注意内积不满足消去律，即：若都是n维向量，且，那么不一定等于。例如，，，那么，且。向量的长度又叫向量的模或范数。三角形不等式相当于几何中的“三角形的两边之和大于第三边”，等号成立当且仅当与同向（或为实数，且）。
3．关于线性表出：如果存在实数使得成立，则称向量可以由向量组线性表出（或线性表示）。应该注意到这个定义中没有要求不全为零，因此零向量可由任意一个向量组线性表出，只要全取零即可。还可以从线性方程组的角度理解线性表出：n维向量可由n维向量组线性表出，相当于线性方程组有解。
4．关于向量组的线性相关性：向量组的线性相关和线性无关的概念在本章中极其重要，是进一步学习向量组的极大无关组、秩以及向量空间的基与维数等一系列概念的基础。理解这一抽象的概念应该从多角度思考。首先应该正确理解定义及其性质：教材中给出了两个等价的定义，第一个定义给出了线性相关性与线性表出之间的关系，它表明，向量组线性相关相当于向量之间存在某种线性关系；第二个定义指出向量组线性相关是指存在不全为零的实数使&，这一定义在证明（或研究）向量组的线性相关性时比较常用，必须注意这里的“不全为零”不是“全不为零”；对于一些有关的性质和结论，不要完全死记硬背，要知其然并知其所以然。可结合齐次线性方程组理解：维向量组线性相（无）关，相当于齐次线性方程组有（没有）非零解。还可从矩阵或行列式的角度理解：矩阵贯穿于线性代数课程的始终，线性代数中的多数概念都能在矩阵中体现，线性相关性也不例外。维向量组线性相（无）关的充要条件是矩阵（或矩阵）的秩为m.&特别地，如果，则为方阵，线性相（无）关的充要条件是行列式（）.第五，从维数的角度理解：若，则维向量组一定线性相关。
5．关于向量组的等价和向量组的极大无关组：理解向量组的等价概念时应注意：两等价的向量组不一定有相同个数的向量，也不一定有相同的线性相关性，但等价的向量组的极大无关组有相同个数的向量，特别地，两等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。按照定义如果的部分组是的极大无关组必须满足线性无关和可由线性表出两个条件，缺一不可。理解这两个概念还应注意下面的一些结论：一般情况下，若存在极大无关组，则极大无关组不一定唯一；向量组与它的极大无关组间以及两个极大无关组间一定等价；线性无关的向量组的极大无关组唯一，且就是该向量组本身。&利用向量组的等价还可判定某些向量组的线性相关性：若两个含有相同数量向量的向量组等价，并已知其中一个是线性相（无）关的，则可推知另一个向量组也线性相（无）关。
6．关于向量组的秩：向量组的秩的概念与极大无关组、向量组的等价、矩阵的秩（行秩、列秩）等概念是密切相关的，不能割裂地理解。正是因为“向量组的两个极大无关组一定含有相同数量的向量”这一结论，才产生了向量组的秩这一概念；矩阵A的所有行（列）向量组成的向量组的秩与矩阵的秩相等，常利用矩阵的秩求向量组的秩。单一零向量构成的向量组没有极大无关组且秩为零。
7．关于实数域上的线性空间：是一个集合，为实数域，定义了中的加法，和实数与中元素之间的纯量乘法，若对这两种运算封闭，且满足给出的8条运算规律，则称是实数域上的线性空间。
8．关于子空间：如果线性空间的子集对上原有的加法和纯量乘法封闭，则是的子空间。子空间也是线性空间。
9．关于基、维数：应该知道线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。基是有限维线性空间的极大无关组，线性空间的基未必唯一，中的每个向量都可由基唯一地线性表出；基的概念也可看成空间解析几何中基本单位向量的推广，中任一向量都可唯一地表示成的线性组合，若，则为的坐标。在中基也不唯一，基中的向量未必像那样两两正交，中任一含有3个向量的线性无关的向量组都是基。
10．关于过渡矩阵：基到基的过渡矩阵，满足矩阵等式，注意，应是从左“过渡到”右，且是右乘矩阵.由基向量组的线性无关性知可逆，故.
11．关于坐标：实数域上的维线性空间中，向量的坐标可看成中的向量，中的每个向量在给定的基下的坐标是唯一的，在不同的基下可能有不同的坐标，于是在给定基的情况下，通过坐标建立了与间同构的关系，这也是在本章开始时，先研究中的向量的一个理由，中的向量的一些概念和性质可对应推广到一般的线性空间中去。借助坐标，以及中的向量与矩阵的关系，可把对一般的线性空间中的向量及其性质（如向量组的线性相关性）的研究转化为对矩阵的研究。还应该注意向量和向量的坐标的区别，同一向量在不同基下的坐标可能不同。
12.关于线性变换:在给定基的情况下，可用矩阵表示线性变换。线性变换在基下的矩阵的列向量为在基下的坐标，求时不要把行和列写颠倒。线性变换在不同的基下的矩阵可能不同。
第三章&线性方程组
1、 用线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组。
注：这一结论是消元法的基础。
2、 解线性方程组常有下面两种方法：
①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，即，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算个阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
3、齐次线性方程组的解向量集合构成的向量空间称为解空间，解空间的基称为基础解系。
4、当（未知量的个数）时，存在基础解系，基础解系不是唯一的，但基础解系中所含解向量的个数是唯一的（）；的任何个线性无关的解向量组成的向量组都是基础解系；同一齐次线性方程组的不同基础解系等价。
&5、当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。
6、齐次与非齐次线性方程组的有关结果
设，，，，又设，其中是的第个列向量，为增广矩阵。
齐次线性方程组
非齐次线性方程组
恒有解（至少有零解）
1、&充要条件：&①；&②可由线性表出；&③&与等价&2、；&3、当时，
充要条件：&①；&②不能由线性表出。
充要条件：&①；&②线性无关&；③（时）。&注：此处常称仅有零解
充要条件：&①；&②当时，；&③向量组线性无关，且线性相关。
充要条件：&①；&②线性相关；③，时。注：此处常称有非零解
充要条件：&①；&②时，且；&③向量组线性相关，且.
解的线性组合仍为解，即解关于线性运算封闭，从而构成向量空间，维数为，即基础解系的向量个数
解集对加法，数乘不封闭，但&①的任意两解之差为的解&②的任一解与的任一解之和仍是的解
设是的基础解系，则的通解为&（为任意常数）
设是的基础解系，为的特解，则的通解为&（为任意常数）
第四章&二次型
释疑解惑：
1．关于二次型的概念：二次型实际上是元二次齐次多项式。由于应用上化标准形的需要，改写其为矩阵形式的表达式（其矩阵是实对称矩阵）是为了方便。要会将任意元二次型表示为矩阵形式。
2．会用合同变换，即找出可逆线性变换使化为标准形（仅含平方项），其中。这种变换称为对或进行的合同变换，且与合同。经合同变换化二次型为标准形的主要方法是配方法与矩阵变换法，掌握配方法是主要的，要通过做题多加练习。
3．注意方阵相似变换是用正交变换法使实对称矩阵相似于对角矩阵的基础，一定要掌握相似矩阵的主要性质，如相似矩阵的特征值、行列式相同等等。
4．理解方阵的特征值与特征向量的概念，特别对其实质要理解，以便会证明有关矩阵特征值，特征向量的性质及其应用的多种题目。会作已知特征值及有关特征向量反求该方阵的题目。
5．掌握向量组正交化与规范化的方法，注意其规律。
6．掌握正交矩阵的定义，会判断方阵是否为正交阵。一定要懂的正交矩阵是很重要的一种特殊方阵，其基本属性是或。了解什么是正交变换，知道其主要性质是它不改变几何图形的度量，即向量长度在正交变换下不变。
7．一定要能熟练地用正交变换法把二次型化为标准型，即会用正交变换把一实对称矩阵化为对角矩阵。
8．对二次型的分类要掌握主要的三类：正定，负定，不定。一定要理解为什么判断二次型即对称阵正定可以用特征值法（特征值全为正）、主子式法，同时记准判断负定的方法。
9．弄清一般实矩阵相似于对角阵的充要条件是它有n个线性无关的特征向量这一基本结论，正因为此，要知道并不是任何实矩阵都可以相似于对角阵，但实对称方阵一定可以与对角阵相似（可对角化）。对这一点一定不要有所迷惑。
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1.75亿学生的选择
齐次线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩有可能不同吗
萱爱炜2我蛋171
你好！不可能不同。齐次线性方程组的增广矩阵只比系数矩阵多了一列0，所以秩一定是相同的。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
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增广矩阵求解
范文一：矩阵的求解矩阵方程的求解问题白秀琴（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南 平顶山 467001）摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种求解方法。关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程 矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。简单的矩阵方程有三种形式：AX?C,XA?C,AXB?C.如果这里的A、B都是可逆矩阵，则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为：X?A?1C,X?CA?1,X?A?1B?1.?1例如，求解方程AC?C先考察A是否可逆，如果A可逆时，方程两边同时左乘A，得A?1AX?A?1C,即X?A?1C,这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。同样，对于方程XA?C,只能右乘A，得XAA?1?CA?1,即X?CA.而对于方程AXB?C,只能是左乘A?1?1?1而右乘B?1，得A?1ACBB?1?A?1CB?1,即X?A?1CB?1.看下面解矩阵方程例题：?123??25?????例1：221X?31
???????343???43???123????1解：先求出A，则221????343???1?1?3????12?3?2?5??3,则2?1?1??3?123??25??1?????3
X?221?131???????2?????34343?????1?2??25??32?5??????2?3? ?331????2??3?1?1???43????1??123???例2：X221?????343???10?1??212? ???123????1解：先求出A，则221????343???123?10?1????X??221????212???343???1?1?1?3????12??2?5??3,则 ?2?1?1?3?2??02?1?5?7? ?3??5?5??2??22??1?1?3?1?10?1??3?????2212????1?123??25?52?????31?例3：221X????31????????343???43???123????1解：先求出A，则221????343???52??31????1?1?1?1?3????12??2?5??3,2?1?1??3??12????则3?5???1?123??25??1???31??52????3
X?221?2?????31????1???343????43????2??25???12?5??? ?331?????2??3?5???431?1???32??3????13??
??2?3???3?5????3??1??4??3??711? ????8?13???101???2例4：解矩阵方程AX?E?A?X,其中A?020，E是三阶单位方阵。?????161??解：移项，将矩阵方程化为标准形式：(A?E)X?A?E?(A?E)(A?E),由于2A?E可逆，两边同时左乘(A?E)?1，得?201??X?(A?E)?1(A?E)(A?E)?A?E??030?????162???12?1注：如果按X?(A?E)(A?E)计算，需要先求(A?E)，再求A?E，最2后相乘，计算量大且易出错。因此应先尽量化简矩阵方程，再计算求解。当矩阵方程AX?C,XA?C,AXB?C中的A、B不是方阵或者是不可逆的方阵时，前面的方法就不能用了。这时，我们需要用待定元素法来求矩阵方程。设未知矩阵X的元素为xij，即X?(xij)，然后由所给的矩阵方程列出xij所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素xij，从而得到所求矩阵X?(xij)。 例5：解矩阵方程??1?10??25?X???14?201????解：利用元素法，先确定X的行数等于左边矩阵的行数3,X的列数等于积矩阵的列数2，则X是3?2的矩阵。?x?设X?x1???x2y??x?1?10??y2?，则???x1?201???y2???x2y??25?y1????14???y2??即??x?x1?2x?x1?x?x1?2?y?y?5y?y1??25??1，于是得方程组 ?????2x?x?12y?y2??14?2???2y?y2?4?x1?x?2y??x?y?y?5?1??，其中x,y为任意实数。 解得?，所以X?x?2y?5???x2?1?2x??1?2x4?2y???y?4?2y?2?3?12??397?????例6：解矩阵方程AX?C,其中A?4?33，C?1117???????130???757??由于A?0，所以A是不可逆矩阵，需要用元素法求解。?x?设X?x1???x2yy1y2z??3?12??x???则4?33x1z1?,????z2????130????x23y?y1?2y24y?3y1?3y2y?2y1yy1y2z??397??1117?，即 z1?????z2????757???3x?x1?2x2?4x?3x?3x12??x?3x1?3z?z1?2z2??397??1117?4z?3z1?3z2??????z?3z1???757???3x?x1?2x2?3?x?7?3x1?比较第一列元素得?4x?3x1?3x2?1，解得?x?5x?91?2?x?3x?71?同样，比较第二、三列元素可得对应方程组，分别解得y?5?3y1z?7?3z1，所以可得 ,y2?5y1?3z2?5z1?7?7?3x1`5?3y17?z1?，其中x1,y1,z1是任意实数。 X????5x1?95y1?35z1?7?总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵。参考文献：[1]赵树塬。线性代数[M]。北京：中国人民大学出版社，1997[2]李君文，线性代数理论与解题方法[M]。长沙 ：湖南大学出版社，2002原文地址：
范文二：编程求解逆矩阵本程序是运用矩阵的初等变换的知识来求解矩阵的逆矩阵的。1.理论基础：若存在矩阵P使得矩阵A有PA = E那么 P = A’。所以如果我们将（A，E）化成了（E，P），那么，P就是我们要求的A’。2.由上面的分析可知，我们思路可分为以下3步：（1）申请一个新的矩阵，它是（A,E）(2) 将A先对角化（3）再将A单位化E，这是A后面的部分就是A’了。3.编程实现#include#includefloat A1[10],A2[10][2*10],B[10][10];//原矩阵、加上单位矩阵后的矩阵、所求的逆矩阵void ShangSanJiao(int n)//化成上三角{int k,i,j,l=0,if(A2[0][0] == 0){while(A2[l][0]==0&&ll++;}if(l!=0)//如果[0][0]处的数为0，则交换{for(i=0;i{temp = A2[l][i];A2[l][i] = A2[0][i];A2[0][i] =}}for(k=0;k{for(i=k+1;iA1[i] = A2[i][k]/A2[k][k];for(l=k+1;l{for(j=0;jA2[l][j] = A2[l][j] - A2[k][j]*A1[l];}}}void DuiJiaoXian(int n)//将对角线上的数化1，这样方便将原矩阵化成单位矩阵{int i,j;for(i=n-1;i>=0;i--){A1[i]=A2[i][i];}for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=0;jA2[i][j] = A2[i][j]/A1[i];}}void DanWei(int n)//将原矩阵化成单位矩阵{int i,j,l;for(i=n-1;i>0;i--){for(j=i-1;j>=0;j--){temp = A2[j][i];for(l=0;lA2[j][l] = A2[j][l] - A2[i][l]*}}}int main(){//矩阵的阶数scanf(if(n>10){printf(exit(-1);}int i,j;for(i=0;i{for(j=0;j{scanf(for(j=n;jA2[i][j]=0;}for(i=0,j=n;i/* for(i=0;i{for(j=0;j{printf(printf(}printf(/* for(i=0;i{for(j=0;j{printf(printf(}printf(/* for(i=0;i{for(j=0;j{printf(printf(}printf(/* for(i=0;i{for(j=0;j{printf(printf(} } printf(阅读详情：
范文三：利用矩阵的广义逆求线性方程组的解基金赞助：山东省自然科学基金（Y2005A12）利用矩阵的广义逆求线性方程组的解姚金江　　临沂师范学院数学系　　２７６００５在线性代数中，解齐次线性方程组最常用的方法是消元法以一般解或以基础解系的线性组合的形式给出通解，但并没有给出以系数矩阵显示的通解表达式；矩阵的广义逆理论虽然能解决上述困难，但不易实际求解。本文给出与矩阵的广义逆有关的几个定理，给出解方程组的一种方法。-12 基本定理定理２．１　若ｍ×ｎ矩阵Ａ的ＰＳＱ?Er分解式为A=P?0?0?Q则广义逆为0??形矩阵或单位特殊上三角矩阵对换两列若干次所得的矩阵，则矩阵（ＥＧ０Ａ）中恰有r个零列。证　设Ａ的Ａ＝Ｐ０ＳＱ０分解式如下ｎ－G=Q??D?ErC?-1PF???ErA=P0??O(m-r)×rOr×(n-r)??QO(m-r)×(n-r)?0，这里Ｃ，Ｄ和Ｆ分别为任意的r×(m-r),(n-r)×r和(n-r)×(m-r)矩阵。（１）　若Q0-1为单位特殊上三角矩阵。显见，Ｑ０必是单位特殊上三角矩阵，由1 基本概念定义１．１　设Ａ为ｍ×ｎ矩阵。如果ｎ×ｍ矩阵Ｇ满足ＡＧＡ＝Ａ，称Ｇ为Ａ的一个广义逆。定义１．２　设ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩为ｒ，若存在ｍ阶可逆矩阵Ｐ和ｎ阶可逆矩阵Ｑ使A=P??Er?00?Q则称此式为Ａ的0??本文取?ErG0=Q-1?（n-r）×r?OOr×（m-r）?-1?Plim，x→∞O（n-r）×（m-r）?Er×r-1?QＧ０Ａ＝0??O(n-r)×r?rQ=?R1?O?-10n-rOr×(m-r)??QO(n-r)×(m-r)?0E-1?r这时G0A=Q??00?Q，0??对Ｑ０，Q0-1作同样的分块，记为在此　Ｇ０Ａ的秩为r。定理２．２　设ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩r＜ｎ，Ｇ为Ａ的任一给定的广义逆，则矩阵Ｅｎ－ＧＡ的列向量组的任一极大无关组是齐次线性方程组ＡＸ＝０的一个基础解系。定理２．１　及定理２．２的证明见［１］。定理２．３　设ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩为?R2?，R3??一个ＰＳＱ分解式。（显然，上述分解式一般不唯一）。定义１．３　称主对角线上的元素全为１的上三角形矩阵为特殊上三角形矩阵；称后ｋ行的分块为（０，Ｅｋ）的ｎ阶特殊上三角形矩阵为ｎ阶单位特殊上三角形矩阵。?rn-r?Q0=?Q1Q2?。?OQ?3??则?R1Ｅｎ＝QＱ０＝?0?-10R2??Q1Q2???=R3?0Q3???0??En-r?r，对Ａ进行正规ＰＳＱ分解得Ａ＝Ｐ０ＳＱ０，其中Ｑ０为单位特殊上三角?R1Q1??0R1Q2+R2Q3??Er?=，?R3Q3??0－２６０－?R1Ｇ０Ａ＝?0?R2??Er?R3???00??Q1Q2??=??0??0Q3??R1Q1??0R1Q2??Er?=，?0??0R1Q2??0?2x1-x2+5x4=0???-4x1+2x2-2x3-5x4=0的所?-2x+x-4x+5x=01234?有解。解　令该方程组的系数矩阵为Ａ，则?0-R1Q2?1??1-2?00=???00???00???0?5?1-?2?00??0520故Ｅｎ－Ｇ０Ａ＝??0En-r??，即Ｅｎ－Ｇ０Ａ中恰有r个零列，为前r列。（２）　若Q-10是由单位特殊上三角矩阵Q-11作若干次互换两列所得的矩阵。令Q-10=Q-11M，其中Ｍ为ｎ阶置换阵，由矩阵性质知Ｍ－１Q-10为单位特殊上三角矩阵，由上可得G=Q-1?E0?0A0?r?00??Q0，M-1(G-1-10A)M=(MQ0)，??Er0??(M-1?*??00?Q-1-10)=?Er?00??M-1E1nM--M-1(G0A)M=En-，??Er*??00??=??0*??0En-r??故M-1(E?n-G0A)M=，?0*??0En-r??E?0*?-1n-G0A=M??0E?M．n-r?可见Ｅ?0*?ｎ－Ｇ０Ａ是对??0E?经行n-r?与列的互换后所得矩阵，因而仍然恰有r个零列。推论１　若ｍ×ｎ矩阵r＜ｎ的秩则Ｅｎ－Ｇ０Ａ中的ｎ－r个非零列向量恰是齐次线性方程组ＡＸ＝０的一个基础解系。三、应用举例：求齐次线性方程组?2?1?-105??-42-2-5??0?20-5?2?A????-21-45???故E?0100??4-G0A=?E?＝?1000?4???→?0005?，???2?????0001???0001????000?1-15???从而原方程的基础解系可取?202??10100?????001-5??0000??ａ１＝（１，２，０，０），ａ２?2??＝（－５，０，５，２），其全?0000????112-52??部解为ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２其中ｋ１ｋ２为任意数。　　　??1000???→　??运算并不简单，但方法可取。??105???0010??2???0001??0?????0001?????101?2-5?2?0010??得Q-10=???0105?，?2???0001?????1-105??22?Q0=?001-5??.??2??0100???0001?????101?2-5?2?010?所以GA=?0????0105?2???0001????1000???15?1-0??00??????001-5??2??0000????0100??001??0??－２６１－阅读详情：
范文四：幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广中国科教创新导刊2008NO.31ChinaEducationInnovationHerald理论前沿幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广高灵芝(吕梁高等专科学校数学系山西吕梁033000)摘要:本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广。关键词:矩阵的秩幂等矩阵矩阵相似中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:08)11(a)-0158-01高等代数是高校数学系的一门专业必修课。由于其内容的抽象性,多数学生都认为这是一门较难的学科,面对课后的一道道习题无法下手。事实上,只要我们从多角度考虑,不仅可以得到问题的多种解法,有时还可以对其结论加以推广,为我们以后的学习奠定基础。如参考文献[1]中有这样的一道习题:设A为n级幂等矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n。下面从不同的角度给出不同解法,并把结论进行了推广。所以R(B)=R(A2-A)+R(E)(A2-A)。由以上结论可得习题解:因为A2=A,所以R(A2-A)=0,由定理1可得R(A)+R(A-E)=n。推论2:若R(A)+R(A-E)=n,则A2=A(即A为幂等矩阵)。②推论4:设A为n×n矩阵,则A为幂等矩阵的充分必要条件是R(A)+R(A-E)=n。(说明,习题中的结论不仅是幂等矩阵的必要条件,也是充分条件。)于是R(Am)=r同理(4)综合(3)与(4)可得R(A)+R(A-E)=n+R(A)+R(A-E)又(3)=r+(n-r)=n。推论3:设A为n级幂等矩阵,则R(Am)+R(A-E)k=n,其中k,m是任意自然数。证明:令A的秩为r,则由定理1可知存在可逆的矩阵P使1从矩阵秩的相关结论考虑1.1矩阵和与积秩的相关结论结论1:设A,B为n×n矩阵,若AB=0,则R(A)+R(B)≤n。②结论2:设A,B为n×n矩阵,则R(A+B)≤R(A)+R(B)。③结论3:设A,B为n×n矩阵,E为n级单位矩阵,则R(A-E)=R(E-A)。(说明,结论1、2、3的详细证明过程见参考文献[1])。由以上结论可得习题解:若A2=A,则A(A-E)=0,由结论1得R(A)+R(A-E)≤n(1)。又由结论2与3得:R(A)+R(A-E)≥R(A+E-A)=n(A-E)=n。推论1:若A2=-A,则有R(A)+R(A+E)=n。②推论2:若A2=E,则有R(A-E)+(A+E)=n。1.2矩阵秩的其它命题定理1:设A为n级矩阵,E为n级单位矩阵,则R(A)+R(A-E)=n+R(A2-A)。证明:令,则R(B)=RR(2)2=A综合(1)与(2)可知若A,则R(A)+R2从幂等矩阵的性质考虑定理2:设A为n级幂等矩阵,则A与对角矩阵相似(其中r为A的秩)。(详细于是R((A-E)k)=n-r。所以R(Am)+R(A-E)k=r+(n-r)=n。参考文献[1]北京大学数学系几何与代数小组.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2003.[2]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社,2004.[3]雷雪萍.高等代数中一道习题的推广[J].大数数学,2006.的证明过程见参考文献[1])由以上结论可得习题解:令A的秩为r,由定理1可知存在可逆的矩阵P使则即R(A-E)=n-r,所以R(A)+R(A-E)《临床医学诊疗》丛书简介《临床医学诊疗丛书》分为内科、外科、妇科、护理、全科、骨科等分册。各分册分别设主编、副主编、编委会委员。欢迎医疗卫生机构的领导、专家学者、科室主任、临床医务工作者参与丛书的编写工作。该丛书力求体系新颖、鲜明、系统、全面。内容包括病症的介绍、科学的诊疗原则和施治方法等，将由国家医学科技出版社出版发行，有望成为广大医务人员临床诊疗的参考用书。158中国科教创新导刊ChinaEducationInnovationHerald阅读详情：
范文五：求逆矩阵与广义逆矩阵的统一方法。几抖第月 年 卷 第 期绵 阳 师 范学 院学 报,‘卜、声‘,鑫曰卜, ‘、,,水迷已 大件勺关迷举 ‘,盛,大已件则玩一力 达《 】占人了月卜、徐德 余绵 阳师 范学 院教学 与信 息科 学 系 四 川 绵 阳,摘要首先 给 出 同 时 用 初 等行 变 换 与 初 等列 变 换 求 可 逆 拒 阵 的 逆 矩 阵 的 方 法 然 后 将 此 方 法 推 广 得 到求, ,一 般 拒 阵广 义 逆拒 阵 的 具 有 实用 性 的 方 法。关键 词可 逆拒 阵逆拒 阵广义逆 矩 阵文献 标 识码文 章编 号石抖中 图法 分类号刁供。在 高等代数 线性 代数 教科 书中 都介 绍 了用 初 等行 或列 变 换 求 可 逆矩 阵 的逆矩 阵 的 方 法在 方法 中 限 制 了只 能用初 等行 变换 或初等 列 变换用 行 列 变换 求 逆 矩 阵的方 法、、,,但是,不能 同时 用 行 列 变换。、。学 生 往往 要 问 是 否 有 同 时 使下 面 先 来介 绍这 种方 法同 时 用 行 列 初 等 变 换 求可逆 矩 阵的 逆矩 阵方 法在高等代数 或 线性 代数 书 中 都有 如 下 定 理定理 一个,矩阵总 可 以 通过 初 等变 换 化为 以 下 形式 的矩 阵、 产一十卜卜一这里是推论阶单位 矩 阵 设,。表示、 ,的零 矩 阵,,等于的秩 川殉。是 一个矩 阵 则 存在口二阶可 逆 矩 尸 和卜阶 可 逆矩 阵 口 使 得,一一 卜,推论设是阶方 阵 则 存 在,阶可 逆 阵,’与,使得尸姓口口口推论设是阶可 逆矩 阵 则 存 在一‘,阶可 逆 阵几与,使得从而由推 论,二得 到求的 逆矩 阵 的 如 下 方 法初 等行列 变换 口 尸例同时 用 行 列 初 等 变换 求 矩 阵一,、一一斗,二尸片 收稿 日期 一犯 作者简 介 徐德余男 教授 主要 从 事环 论 矩 阵论 的研 究,,、。一一（）潮涌肺抢学脚然膨缪粼麟撇撇珊珊琳‘一一,、一的逆 矩 阵。解‘对阶 分 块 矩 阵作行 列初 等 变 换胜、 , 犷 了 、,、、矛 、一一…一 。 。,,‘‘,,〕一嘴‘ 了 厂, 人‘ 、 了才一一 一‘ 刁 三 ‘ 工七通 〔一心 五 人求得,、 ‘ 声工、一 一丫 八 ” “ 旧 四 人、曰 工 ,曰 劝 工 上、‘ 三工 一二‘ , 、二又 灵 活 应 用 这 种 方 法 可 简化求矩 阵 的计 算, ,、 、 ,了, 门 五 几一一 勺八 了百 」 飞 、、一 一。二一这 种 方 法 是 普 通 的 只 用 行 或 列 初 等变换 求逆 矩 阵 的 推 广 而 普 通 的只用 行 或列 初 等 变换 求 逆矩 阵,的 方 法 是 这 种 方 法的特 例 该 方 法 在求 广 义 逆矩 阵 中也 将有 重 要应 用。求广 义 逆 矩 阵 的 初 等 变 换 法方程年 彭 诺斯,提 出 如果某 个, ,满 足 下 述 方 程 中 的某 几 个 就称 它 为,的某几 条 广 义 逆沌 凡丫尤生丫 二了 二,,粼例如 有某个,,,二剐。以 上 四 个方 程 是 对任 意复 数 矩 阵 而 言 的 称为,一的,方程 本文 只 讨 论 实 数矩 阵, ,。只 满足,式 则称,为,广 义 逆 记为二二。如 果 另一 个的满足、,则称为的,广义逆 记为。川若川,,,则称为一广义逆。广 义 逆 减 号 逆 的 存在 性 及 求 法定义任给。 、。,如果 存 在。、 。,满足名叼以,则称为的一 个 川 广 义 逆 简 称 减 号 逆,。并 记 它们一一（）的全 体 为叉摊,左, , ,川中 的元素 记为引理一,如果有 不 同 的元素 则 用。…加 以 区 别,。设二。。、,其中、都是满 秩方 阵 那 么骨口 护。。证侣汹叉 滩骨骨刀 口 朴万 骨口 尸 。,川。引理 告 诉 我 们 两 个等阶矩 阵,,,如 果 其 中一 个 的 减 号 逆 可 求 出 来 另 一 个 的 减 号 逆 也 可 以 求 出 来,。进 而 一个 的 全 部 减 号 逆求 出来 了 另 一 个 的全 部 减号 逆 也 可 以 求 出来定理。存在性当二任 给矩 阵时 即, ,。。,那么 川。 、 。一 定存 在。。证。,这时当时 存 在满 秩矩 阵与二、,使得尸召于是护,矛 、几,’一中的元 素是 任 意 实 数。由引理得「卜由于,” ” 中的元 素 是任 意 实数。存在 从 而 证得知 要 求矩 阵中的尸、,存在,。由定理 广义 逆。的广 义 逆 减号逆。,只 须先求 出。的 等价标 准形,的广 义 逆 就 可 以 写 出,的而可 用 前 面 介 绍 的方 法 求 出因 此 同时用 行 列 等 变换 法 求 出 逆 矩 阵 的方 法、与求 矩 阵 的广 义逆 的 方 法 是统 一 的乎 内 、二 , 」、 、,例解设因为一求一,｝ 勺一 一几 几、 矛一一一（）所以卫、 、 月古、 、口、 以 少一‘ 、 了、‘ ‘、 、才 、一 一肠卜 日矛、人‘、一一其中、 川了一月‘,川一二一少?口。夸 晋,、、。。’“二而咬 ‘, ‘ 、 矛 ‘ 、 、‘｝ 一,一? ?,是 任 意 实数,所以之户 、口”,为 任 意 实数,。由 于 一 般 书 中并 没 有 给 出求 广 义 逆 的 具体方 法 因 此这种 方法具有实 际 意 义。参考文 献〔张 禾瑞 郝丙新 高等 代 数 第,版 〔北京 高等 教 育 出版 社,【 」 北 京 大 学 数学 系 高等代 数 第李北 版 【 〕 京 高等 教 育 出 版社,,一成 【 〕 徐 德余 高等代 数 〔 〕 都 四川大学 出 版社乔 矩 阵论八讲 〔,上 海 上海 科学技术 出版社【崔 玉 亭 李 淑 霞 广义逆 矩 阵 〔青 岛 青岛海 洋大 学 出版社,川伪幻玩一飞,,叮 嗯,,岛罗一一阅读详情：
范文六：Excel求解矩阵公式讲解一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置1?矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。2?Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。3?矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。二、矩阵的基本计算数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A＋B、=A－B、=A＊B等。A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。三、矩阵计算的应用下面让我们来计算一个灰色预测模型。灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(XTX)－1(XTY)，式中：XT是矩阵X的转置。作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1} Y={33，34，35，37}在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5))公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了。如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。不过，使用Excel也是很方便的。阅读详情：
范文七：为求矩阵的逆矩阵需要解决在1.3.6节中，为求矩阵的逆矩阵需要解决对于有N列的矩阵，这N个问题都涉及到相同的矩阵A，因此高斯消除的过程是一样的。在实际解决更复杂的问题时，我们经常需要重复的解决同一个矩阵A的线性问题，但是右边的向量不同，[1][2],…[k] [k] (1.4.1-2)LU 分解是一种能够“提醒”我们进行与A矩阵相关的所有行消除的方法。在将来我们就只需要进行N2 次运算就可以解决新的含RHS 向量 [k]的问题。我们首先考虑LU分解来解决高斯消除问题。首先考虑的增广阵现在进行行变换得到与其相当的矩阵从我们选定的知道A(2, 1) 的(2, 1) 位置必定含有零。因此我们可以任意的在这个位置放置其他的数值，比如说λ12这时，矩阵化为接着进行行变换将(3, 1)位置化为零，需要进行的操作是我们可以由λ31 知道我们可以在这个位置上加上λ31，矩阵化为继续进行这个过程，最后，我们将增广阵化为由于我们将所有的λij都储存，我们也记住了为解决[k] [k]要进行的行变换。我们首先说明为什么这个λij可以用来记录下对于矩阵A高斯消除的过程，接下来再说明这个过程的有效性。从最后通过高斯消除得到的增广阵，我们首先求出上三角阵和下三角阵。在这其中，运用没有旋转的高斯消除，再进行A的LU分解A = LU (1.4.1-11)首先，我们解决为什么在解[k] [k]分解能够避免重复高斯消除的问题。将A = LU替代为[k] [k] [k] (1.4.1-12)如果我们定义[k] [k]那样就可以通过解决以下两个问题来解决[k] [k][k] [k] [k] [k] (1.4.1-13)第一个问题涉及到下三角阵L这个问题可以用N2步的前向替换解决，L11c1 = b1 => c1 = b1/L11L21c1 + L22c2 = b2 => c2 = (b2-L21c1)/L22L31c1 + L32c2 + L33c3 = b3 => c3 = (b3 – L32c2 – L31c1)/L33::注意L11=L22=L33 = 1，所以在不存在会出现除以零的问题。第二个问题，[k] [k]涉及到上三角阵，因此可以用N2步的后向替换来解决。因此，在我们进行一次LU分解之后，我们就可以只用2N2LU分解（因数分解）是一种非常重要并在实际中经常用到的方法。现在，让我们来分析由(1.4.1-10)定义的L和U确实满足A = LU。首先，定义一个矩阵M使得M = LU。根据矩阵乘法的规则，我们可以知道，M11 = a11 M12 = a12 ….. M1N = a1N (1.4.1-17)因此矩阵M的第一行等于A的第一行再来看第二行，M21 = a11 (1.4.1-18)但是由于λ = a21/a11, M21 = a21 (1.4.1-19)对(2, 2)位置，我们运用(1.4.1-4)式M22 = a12 + aa = 12 + [a22 - a12] = a22 (1.4.1-20)对于j = 3, …, N我们也是这样进行，M2j = a1j + = a1j + [a2j - a1j] = a2j (1.4.1-21)因此的M第二行也等于的A第二行。接下来对第三行进行变换M31 = a11 = (a31/a11)a11 = a31 (1.4.1-22)M32 = a12 + (1.4.1-23)其中，λ32我们有M32 = a32 (1.4.1-26)对于j = 3, …, N运用我们可以得到因此，M的第三行和的A第三行也相等。我们可以继续这个过程来证明M和A相等。作为例子，我们可以考虑如下问题，我们用高斯消除来解决，得到的L和U的结果是可以通过1.2.1-6 到 1.2.1-11来查看用高斯消除的步骤，如果M = LU，那么有就有因此我们看出在这个例子中A = LU如果发生了旋转，那么LU分解会变成什么样子呢？这是个复杂的过程，可是LU分解还是包括一个下三角阵，一个上三角阵，一个置换矩阵P，使得PA = LU(1.4.1-36)为了解决我们先乘一个P用LU = PA替换我们解决三角阵问题通过置换矩阵，我们得到一个单位矩阵可以进行一系列的行和列变换。比如，就有以下的作用它可以使矩阵的第二和第三行互换。由于P使得v置换，它叫做置换矩阵。注意，由于det(I) = 1, 对于任意置换矩阵 P, det(P) = ±1 (1.4.1-42)阅读详情：
范文八：应用Excel矩阵函数求解逆矩阵技术与市场技术研发第17卷第7期2010年应用Excel矩阵函数求解逆矩阵付木亮，李海洋(河南工业职业技术学院，河南南阳摘473009)要：逆矩阵是线性代数中关于矩阵的一个基本问题。本文应用大家所熟悉的Excel软件，给出了在Excel中计算矩阵的逆矩阵的方法。该方法简单、直观，不需要设计程序，也不需要专门的数学软件。关键词：Excel；矩阵函数；逆矩阵doi:10.3969/j.issn.1006-.012逆矩阵是线性代数中关于矩阵的一个基本问题。通常我们可以用伴随矩阵或用矩阵的初等行变换来求逆矩阵，也可以使用数学软件（如Maple、Matlab等）来求解。矩阵逆矩阵的运算特点是运算方法比较简单，但运算量大且比较繁琐，尤其是高阶相关矩阵的逆矩阵计算工作量巨大。MicrosoftExcel作为一款表格，具有强大的数据处理和分可以实现对逆矩阵的运算。应析功能。应用Excel的矩阵函数，用Excel求逆矩阵，简单，直观，避免了繁琐的手算过程,提高了运算的速度和解题的准确性，不需要设计程序，也不需要专门的数学软件。下面通过具体实例的操作，应用在Excel软件中“矩阵函数”求解逆矩阵。1Excel的矩阵的定义与常用的矩阵函数1.1Excel的矩阵定义Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。矩阵不是一个数，而是一个数组。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。数组名的设置步骤是：选定“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组数组域，点名如A或B等，单击“确定”即可。1.2常用的矩阵函数图2(2)在空白区选择一存放逆矩阵的区域，与待求逆矩阵行数和列数相同，如图2所示；(3)保持该区域为选中状态，在公式输入栏输入公式“Min-，如图2所示；verse(a1:e5)”(4)按“Ctrl+Shift+Enter”，特别注意，不能直接按回车键，按回车键则计算的是数组的值，这是矩阵与数组的最大区别。必“Ctrl”“Shift”后再按回车键，运行得出矩阵A的逆矩须再按住阵，如图3所示。矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM（array）：计算一数组所代表的矩阵的行列式的值；MINVERSE（array）：计算一数组所代表的矩阵的逆矩阵；MMULT（array1，rray2）：计算两个数组矩阵的乘积。函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，选择“函数类别”的“数学与三角函数”或点击2图标，然后选择“插入函数”中相应的函数输入。应用Excel进行矩阵求逆图3应用Excel的“矩阵函数”还能解决诸如行列式计算、矩阵计算、解线性方程组和数值拟合等其他的数值计算问题，本文“矩阵函数”中的“MINVERSE（array）”，通过实例进行矩阵针对求逆运算，来说明Excel软件在数值计算中的简便应用。参考文献：[1][2][3]王萼芳.高等代数教程[M].清华大学出版社，2005.黄明新用.Excel来演示解线性方程组的过程[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2004，(5).孙海东.Excel在数值计算方法方面的应用[J].软件世界，应用矩阵函数“MINVERSE（array）”进行矩阵求逆。(1)输入逆矩阵A如图1所示；1999，(11).作者简介：付木亮(1978-)，男，讲师，河南工业职业技术学院数学教图1师。19阅读详情：
范文九：应用Excel矩阵函数求解逆矩阵技术与市场技术研发第17卷第7期2010年应用Excel矩阵函数求解逆矩阵付木亮，李海洋(河南工业职业技术学院，河南南阳摘473009)要：逆矩阵是线性代数中关于矩阵的一个基本问题。本文应用大家所熟悉的Excel软件，给出了在Excel中计算矩阵的逆矩阵的方法。该方法简单、直观，不需要设计程序，也不需要专门的数学软件。关键词：Excel；矩阵函数；逆矩阵doi:10.3969/j.issn.1006-.012逆矩阵是线性代数中关于矩阵的一个基本问题。通常我们可以用伴随矩阵或用矩阵的初等行变换来求逆矩阵，也可以使用数学软件（如Maple、Matlab等）来求解。矩阵逆矩阵的运算特点是运算方法比较简单，但运算量大且比较繁琐，尤其是高阶相关矩阵的逆矩阵计算工作量巨大。MicrosoftExcel作为一款表格，具有强大的数据处理和分析功能。应用Excel的矩阵函数，可以实现对逆矩阵的运算。应用Excel求逆矩阵，简单，直观，避免了繁琐的手算过程,提高了运算的速度和解题的准确性，不需要设计程序，也不需要专门的数学软件。下面通过具体实例的操作，应用在Excel软件中“矩阵函数”求解逆矩阵。1Excel的矩阵的定义与常用的矩阵函数1.1Excel的矩阵定义Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。矩阵不是一个数，而是一个数组。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。1.2常用的矩阵函数矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM（array）：计算一数组所代表的矩阵的行列式的值；MINVERSE（array）：计算一数组所代表的矩阵的逆矩阵；MMULT（array1，rray2）：计算两个数组矩阵的乘积。函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，选择“函数类别”的“数学与三角函数”或点击图标，然后选择“插入函数”中相应的函数输入。2应用Excel进行矩阵求逆应用矩阵函数“MINVERSE（array）”进行矩阵求逆。(1)输入逆矩阵A如图1所示；图1(2)在空白区选择一存放逆矩阵的区域，与待求逆矩阵行数和列数相同，如图2所示；(3)保持该区域为选中状态，在公式输入栏输入公式“Min-verse(a1:e5)”，如图2所示；图2(4)按“Ctrl+Shift+Enter”，特别注意，不能直接按回车键，按回车键则计算的是数组的值，这是矩阵与数组的最大区别。必须再按住“Ctrl”“Shift”后再按回车键，运行得出矩阵A的逆矩阵，如图3所示。图3应用Excel的“矩阵函数”还能解决诸如行列式计算、矩阵计算、解线性方程组和数值拟合等其他的数值计算问题，本文针对“矩阵函数”中的“MINVERSE（array）”，通过实例进行矩阵求逆运算，来说明Excel软件在数值计算中的简便应用。参考文献：[1]王萼芳.高等代数教程[M].清华大学出版社，2005.[2]黄明新用.Excel来演示解线性方程组的过程[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2004，(5).[3]孙海东.Excel在数值计算方法方面的应用[J].软件世界，1999，(11).作者简介：付木亮(1978-)，男，讲师，河南工业职业技术学院数学教师。19阅读详情：
范文十：矩阵求逆的推广和计算摘要： 在线性代数中矩阵必须满足非奇异条件才能求出逆矩阵，但是在线性方程组求解、矩阵方程、投入产出分析、线性规划、控制论等各种实际问题中，经常出现奇异矩阵和长方形矩阵，本文讨论这一类矩阵的广义逆问题，并且利用矩阵的初等变换方法，总结出方便易行的计算广义逆的方法。关键词：矩阵 逆矩阵 广义逆 初等变换1.逆矩阵的推广在线性代数中，逆矩阵的理论是基本的教学内容，在线性方程组求解、矩阵特征值和特征向量的计算等问题中具有重要的应用。但是矩阵的逆有很大的局限性，当矩阵是奇异矩阵或者是长方形矩阵时，就不存在逆矩阵。为了推广矩阵的逆，解决矩阵方程、投入产出分析、线性规划、控制论等课题中出现的矩阵计算问题，人们引进了广义逆矩阵。1.1广义逆A设C为复数域，C 是n维复数域的向量空间，C 是m×n复矩阵的全体，C是秩为r的m×n的复矩阵的全体，R（A）={y∈C ：y=Ax，x∈C }是矩阵A的值域，我们知道，对每个非奇异矩阵A∈C有一个唯一的矩阵X∈C满足AX=I，XA=I，X就是A的通常逆，记作为X=A 。定义1：如果X满足下式四个矩阵方程：AXA=A，（1）XAX=X，（2）（AX） =AX，（3）（XA） =XA（4）那么X称为A的Moore-Penrose广义逆（M-P逆），记作X=A 。当m=n=rank（A），可以得出A =A ，这时Moore-Penrose逆A 变成通常逆A 。可以证明，满足上述条件（1）―（4）的广义逆A 是存在唯一的，并且具有下列一些类似于通常逆的性质：（1）（A ） =A；（2）（A ） =（A ） ；（3）（AA ） =（A ） A ；（A A） =A （A ） ；（4）A =（A A） A =A （AA ） 。1.2广义逆讨论相容线性方程组Ax=b（A∈C ，b∈C ）的解的表示时，用到下列形式的广义逆矩阵。定义2：设A∈C ，若存在矩阵X∈C ，使得AXA=A，则称X为A的一个减号广义逆或{1}逆，记为A ，Ａ的全部减号广义逆的集合记为A{1}。这里定义的X具有下列性质：对每个使得Ax=b相容的b∈C ，Xb是方程组的解当且仅当X满足AXA=A。对什么样的矩阵A∈C ，它有减号广义逆？怎样求减号广义逆？我们先回答这个问题。设A∈C ，rank（A）=r，若存在可逆阵P∈C 和Q∈C ，使得PAQ=I ?摇?摇00?摇?摇0，则可以直接用定义验证：G∈A{1}的充分必要条件是G=QI ?摇?摇?摇UV?摇?摇WP，其中U∈C ，V∈C ，W∈C 是任意的。可以证明A 满足以下一些性质：（1）rank（A）≤rank（A ）；（2）若A∈C ，rank（A）=n，则A =A ，且A 唯一；（3）AA 与A A都是幂等矩阵，且rank（A）=rank（AA ）=rank（A A）；（4）R（AA ）=R（A），N（A A）=N（A）。2.广义逆A 和A 的计算2.1 A 的计算一个不是列（行）满秩的非零矩阵可以表示成一个列满秩和一个行满秩矩阵的乘积，这就是矩阵的满秩分解。利用满秩分解可以直接得到计算A 。设A∈C，r＞0，则存在B∈C及C∈C，使A=BoC，则利用上式容易验证：A =C （B AC ） B =C （CC ） （B B） B 。下面具体说明用初等变换的方法计算A 的过程。设E∈C，若E具有形式E=CO，其中O为（m-r）×n阶零阵，C=（c ）∈C ，满足：（1）c =0，i＞j；（2）C的每一行第一个非零元为1；（3）若第i行第一个非零元为c =1，则C的第j列是单位向量e 。我们称E为阶梯形。若A∈C，则有：（1）A总可通过行初等变换化为阶梯形，即存在排列阵P∈C ，使得PA=E 为阶梯形；（2）对给定的A，用行初等变换化得的阶梯形唯一；（3）若E 是A的阶梯形，E 中的单位向量出现于第i ，i …i 列中，则A的相应列{a ，a ，…，a }构成R（A）的基底，这个特殊的基底称为A的特异列，而A的其余列称为非特异列；（4）设E 是前述形式的阶梯形，则N（A）=N（E ）=N（C）；（5）设E 是前述形式的阶梯形，B∈C 是由A的特异列构成的矩阵，B=（a ，a ，…，a ），则A=BoC是A的满秩分解。于是可以用前面公式计算A ，下面看一个具体例子。设A=1?摇2?摇?摇1?摇4?摇12?摇4?摇0?摇?摇6?摇61?摇2?摇0?摇?摇3?摇32?摇4?摇0?摇?摇6?摇6，则E =1?摇2?摇0?摇3 ?摇30?摇0?摇1?摇1?摇-20?摇0?摇0?摇0 ?摇00?摇0?摇0?摇0 ?摇0，从而B=1?摇12?摇01?摇02?摇0，C=1?摇2?摇0?摇3?摇 30?摇0?摇1?摇1?摇-2（B B） = ?摇1?摇?摇?摇-1-1?摇?摇10，（CC ） = 6?摇?摇?摇33?摇?摇23所以A =C （CC ） （B B） B= 27?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇6?摇?摇?摇?摇?摇?摇3?摇?摇?摇?摇?摇?摇654?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇12?摇?摇?摇?摇?摇6?摇?摇?摇?摇?摇12207?摇?摇?摇-40?摇?摇-20?摇?摇-40288?摇?摇?摇-22?摇?摇-11?摇?摇-22-333?摇?摇?摇98?摇?摇?摇?摇49?摇?摇?摇?摇98。上述用行初等变换化A为阶梯形的方法实质上是Gauss消去法的一种变形，比较适宜于低阶矩阵。2.2 A 的计算前面已经给出了A 计算的一般公式，下面用初等变换说明具体的计算广义逆A 过程。设矩阵A为mxn矩阵。当rank（A）=r=m＜n时，对A施行和列的初等变换总可以将A变为如下分块矩阵：??=（???? ）。当rank（A）=r=n＜m时，对A施行和列的初等变换总可以将A变为如下分块矩阵??=?? ?? ；当rank（A）=r＜min｛m，n｝，对A施行和列的初等变换总可以将A变为如下分块矩阵??=?? ?摇?? ?? ?摇?? ，其中?? 是r×r阶满秩矩阵，?? ，?? 是具有适当阶数的矩阵且满足?? =?? ???? ，即??=PAQ。这里P是一系列的行初等矩阵的积，Q是一系列的列初等矩阵的积，则可以验证??=???摇00?摇?摇?摇?摇0是??的广义逆矩阵。从??=PAQ可知A=??，所以A =（P ??Q ） =Q?? P。若设P=P P …P P ，Q=Q Q …Q Q ，P （i=1，…，n）为相应于对A施行的一系列行初等变换的初等矩阵；Q （i=1，…，n）为相应于对A施行的一系列列初等变换的初等矩阵，则有PAQ=P P …P P AQ Q …Q Q =??=?? ?摇?? ?? ?摇?? 。显然，P=P P …P P I，Q=Q Q …Q Q I。即把同样的行初等变换施加于I的结果是P，把同样的列初等变换施行于I的结果便是Q，即用初等变换把A?摇II?摇O变成了A?摇PQ?摇O，于是用公式A =Q?? P便可以计算出A 。由上述过程可知，对于行满秩矩阵或列满秩矩阵，实际计算时更为简便。参考文献：［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，1993.［2］王松桂，杨振海.广义逆矩阵及其应用［M］.北京：北京工业大学出版社，1996.［3］Campbell S L，Meyer C D.Generalized Inverses of Linear Transfomations［M］.Lonbdon：Pitman，1979.［4］Roger A H，Charles R J.Matrix Analysis.New York：Cambridge University Press，1985.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文阅读详情：