室友求救，重修，选错了，高数b2选成a2，怎么办？【中国地质大学武汉吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：229,961贴子：
室友求救，重修，选错了，高数b2选成a2，怎么办？收藏
各位大神指点几招啊
因为你俩之间差一台千元神器魅蓝 Note6 ，点我购买直降300
我们寝室也有一个和你一样的大神，他说罪过罪过，一个手指一点酿成大祸，全修全修了吧！
没有问题，高级一点的可以抵低的
登录百度帐号推荐应用高数A2考试题，求大神帮助，各种谢 ^_^_百度知道
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
高数A2考试题，求大神帮助，各种谢 ^_^
我有更好的答案
baidu.baidu://e.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://e.hiphotos./zhidao/pic/item/02ddfa9ec8b13cd14<a href="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=1f2b8ce79013b07ebdebd1b/02ddfa9ec8b13cd14.jpg" esrc="http://e.hiphotos
采纳率：75%
为您推荐：
其他类似问题
您可能关注的内容
高数的相关知识
&#xe675;换一换
回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;相关文章推荐
两个重要极限
等价无穷小替换
洛必达法则
极限化简的原则
左极限与右极限两个重要极限
无穷小特点lima b = N （a,b皆为同一趋向下的无穷小）
向量及模的定义
数量积点乘
向量积叉乘
向量之间的关系
右手定则向量及模的定义数量积（点乘）向量积（叉乘） 也就是等于(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)向量之间的关系右手定...
啥是不定积分
求原函数的三种常用方法啥是不定积分
这就是不定积分
其中f(x)为F(x)的导函数，即F’(x)=f(x)求原函数的三种常用方法1.第一类换元法
即凑微分法，变化积分后的dx来实现...
常数项级数
正项级数的审敛法
比较审敛法
比值审敛法
根值审敛法
交错级数的审敛法
绝对收敛条件收敛
收敛半径和收敛域
展开相应的幂级数常数项级数正项级数的审敛法比较审敛法使用条件
使用方法...
给定所求二重积分方程所围区域D的方程求二重积分的值
交换二重积分的积分次序
使用极坐标求二重积分二重积分一般有三个考点给定所求二重积分方程、所围区域D的方程求二重积分的值这是考的最多的一点
一、理论基础
HA 概念以及作用
　　HA(High Available), 高可用性群集，是保证业务连续性的有效解决方案，一般有两个或两个以上的节点，且分为活动节点及备用节点。通常把正在执行业务...
他的最新文章
他的热门文章
您举报文章：
举报原因：
原文地址：
原因补充：
(最多只允许输入30个字)图形计算器：不可替代的“数学工具”
图形计算器：不可替代的“数学工具”？
& 本文话题：教育学习
一、图形计算器是什么？
图形计算器（Graphing
Calculator，缩写为GC），是一种手持的数学工具，是一种专门用于中学与大学数学教与学的手持技术。不少人认为，它已经成为现代学校最重要的数学学习工具之一。GC问世于上世纪80年代，其外形与大小类似科学计算器，但功能更为强大。它兼具绘图（函数图像，甚至几何作图）、数表处理与统计计算等功能。有的还能做代数符号演算，解决多项式、线性代数与微积分（甚至偏微分方程）中的计算问题，或称为计算机代数系统（CAS）。
有的GC不仅可与其他GC或计算机对接（通过红外或USB接口），而且能与各种传感器连接，而带有数据流的新一代GC（如hp39s等），则能很方便地用于采集处理来自现实世界的数据。于是，这种手持技术的组合使用，又构成可移动的、便携的“数字化实验室”，使学生能很方便地进行数学与科学探究。
二、令人关注的发展
作为一种常用的数学工具，GC早已经广泛应用于许多国家的大中学的数学课堂。某些国家或地区明确要求在数学考试（包括大学入学考试）中使用GC。其中，最令人关注的是新加坡教育部明确要求在高中数学课程中全面使用GC的规定。他们将其看作为学生学习数学的一种不可替代的工具，将对数学课程，甚至其他学科的教学产生积极而深远的影响。
自1995年以来，我国的数学教师对在教学中尝试应用GC表现出极大的热情，积累了许多教学的案例。个别地区已经考虑允许在考试中使用GC。尽管如此，对GC应用的价值，人们还未形成普遍的共识。且不谈没有接触过GC的人士，即使那些曾经用过的教师，对GC的潜在应用价值也未见得有充分的认识。与“豪华”的计算机实验室与各种“超级”软件相比，GC显得小得可怜。在与GC有过一段“亲密的接触”后，他们会发现GC的演示效果好像并不如几何画板、Z
Z平台以及不断更新的其他软件。有的教师把GC的应用局限于浅层的数学直观或数学实验，不能支持更高、更复杂的数学思考。于是即使配备了GC，也往往遭到冷落，无人问津。
这种“有冷有热”现象令人思考。我们需要回到老问题：在学校的数学课程中应用GC的理由是什么？它真的是学生学习数学的一种不可替代的工具吗？抑或它只是一种可有可无的新技术？这类问题的回答，将直接影响到关于GC，甚至数学新课程与教学的决策。
三、从两个层面再认识GC
我们可从理论与实践两个层面重新认识GC的作用。自GC问世以来，国内外的数学教师们已经在这两个层面上积累了比较成熟的经验与资源，包括教学案例、教材与考试问题的设计等等，并做出了在中学数学教学全面使用GC的决策（如美国、新加坡等）。但笔者认为，仍然需要针对我们的国情重新认识GC的作用，即在新课程的背景下，GC在数学教学中可能起到什么作用。
对数学本质的认识，更准确地说是对数学新课程关于数学本质的认识，都是认识GC的作用的出发点。从理论的角度，笔者选择一个简洁的分析框架，既能反映新课程的本质，又能为大多数教师所接受，并有效地指导教学实践，也可为基于GC的教学案例提供分析与评价框架。为此，笔者提出把“数学化与充满联系”作为这个理论框架的关键词。此外，我们还需要能够反映数学新课程的教学案例进行实践分析。笔者选择的案例来自自身所参与的教学实验——2006年刚结题的，由北京的一些中学参加的教学实验（作为国家重点课题“基础教育的新国家课程研究实验与推广”一个子课题）。这一教学实验之所以具有特别的意义，一方面固然是它受数学新课程理念的影响，另一方面则在于参加实验的学校大多来自郊区或农村学校。
四、数学新课程的核心：数学化与充满联系
笔者认为，数学化与充满联系是数学新课程核心的数学思想。所谓数学化，是指用数学的思想与方法不断对数学情境进行组织。数学化所强调的是“转化”的过程，强调的是不断组织、不断“加工”的过程，也是不断抽象与概括的过程。所谓“充满联系”的数学，它强调了新课程的整体观——使学生获得充满联系的数学经验，既包括存在于数学内部的，也包括数学与其他学科，乃至现实世界。
强调整体、强调联系的数学与强调数学化之间的关系是显然的：与现实世界的联系是数学化的起点；数学内部之间的联系是对数学本身进行不断数学组织成为可能，而数学的应用本质也来自联系。甚至可以说：与其强调应用，不如强调联系，同样也可以说：与其说学数学，不如说我们是在学习数学化。
笔者期望通过上述理论分析框架，从数学教学法与数学学科自身的目标与内容两个方面讨论GC与数学新课程的整合问题，并通过对案例深入的分析，尽可能让读者从数学学科本身认识GC的价值。
五、GC与教与学方式的变化
用过GC的数学教师，往往都非常重视它对数学教学方式产生的影响。使用GC的第一个理由无外乎“它能对数学的教与学提供帮助”。人们看重的是GC在教学法意义上的作用。但如何认识GC在数学教法与学法上的作用？其实，对数学的认识，对数学的产生与发展的认识，本身也蕴涵着学习它与教它的方式。任何一种数学教法与学法，本身也受到数学观的影响。强调数学化与“充满联系的数学”观点，显然支持“生态”的、建构的观点：学生的数学学习，是一个“自产生-自组织&自发展”的过程。这个过程也是不断数学化与不断进行联系与组织的过程，而教师也应当遵循这个“轨道”来组织教学。
GC的许多功能与恰当使用能够为上面的学习与教学过程提供支持。熟悉GC的教师们都很“欣赏”它的如下功能：数据处理能力、数学对象的多种表示（形式的、图形的与数值的表示）以及不同表示方法之间的转换以及图形的放缩与跟踪等等。
对教师而言，他们往往把GC的这些功能用于课堂演示，向学生演示不同的数学对象与它之间的关系，最典型的是函数。教师们相信，他们的演示能帮助学生的观察，帮助他们发现规律，从而获得更好的理解。就像几何画板、Flash或PTT等，教师可以用来创设引起学生观察、思考与探究的教学环境。针对具体的数学学习专题，有的专业人士和教师还开发了课件。
对学生而言，他们可以把GC用作学数学的个人工具（学具）。GC最大优势之一在于它的便携性，不需要专用的教室，也不需要任何其他特别的技术条件，学生可以随时随地使用GC，这也是手持技术的共同特点。这既为学生的个性化学习活动，也为他们之间的合作交流提供了有力的支持——这正是计算机等技术所不能取代的。
有的GC还专门配置Aplet。这些针对不同的数学课题（如函数、三角函数、二次函数等）而开发的Aplet，是一种特定的“学习环境”，或有点像“课件”，学生可用它来学习与探究相关课题。
但正如本文一开头提到的：GC这方面的应用是否只限于浅层的数学直观或“数学实验”，是否能支持更高、更复杂的数学思考。让我们来看下面的案例。
案例1：学生Z是北京郊区一所农村中学高二的学生。在学习函数和解析几何时，他遇到一些困难，特别是对于椭圆x2/a2
y2/b2=1的离心率，感到很抽象，不好理解。利用hp39g的Aplet，他对e的几何意义进行了比较系统的探究。首先，他选择不同a和b的值，接着确定e，然后对相应的椭圆形状进行考察。GC能很快给出图形与其他有关数据，使他能立刻看到改变后的结果。使用GC，他能对许多案例进行考察，并把注意力放在图形、符号与数字表示与不同表示之间的联系上。通过一番比较与归纳，他自认为弄清了e的几何意义。初步的成功，鼓励他把自己的理解推广到其他二次曲线上，并对二次曲线的性质进行了重新整理。他还对平面上各种类型的抛物线进行了探究。他发现：参数的表示方法，有助于建立不同数学课题之间的联系（代数的或三角的）。
考虑到初等函数在高中数学所占重要的地位，学生Z更进一步尝试用自己的框架来系统的总结初等函数的性质。GC及其Aplet为他提供了一个很好的工具，使这种整体的分析成为可能。
这是学生使用GC的一个很具代表性的例子。GC的多重表示等功能，使他对椭圆曲线的离心率的几何意义有了较清楚的认识。但这只是开头，更有价值的或许是他以后对二次曲线与基本初等函数的性质所做的探究。这些活动可看作是对某个领域所进行的局部组织的活动。这种“局部数学化”不断扩展与联系，提升了他对这些数学概念的理解水平。从中我们也清楚地看到GC所起的作用：它是学生的个性化的学习工具，而不只教师的演示工具。重要的是，在GC及其Aplet所提供的平台上，学生Z可利用数学对象的各种表示形式进行广泛联系、“切换”和对比。在充满联系的“概念网”中，发现“变”与“不变”，不断地进行再组织的活动。学生Z所经历的，就是一个“自产生-自组织-自发展”（即垂直数学化）的过程。
六、GC与新课程的目标与内容
未来的公民到底需要什么样的数学？“充满联系”与反映数学化的数学课程，自然要求为学生提供更为丰富的内容（高中数学课程更为突出），并反映数学与现代社会现实的密切联系，也自然要求用新的数学专题（如函数与微积分、统计与线性空间等）与数学活动（如数学建模、数学的应用与数学探究等）来充实数学课程的内容。这些内容与活动往往都涉及各种数学技能，特别是繁杂的计算。对大多数学生来讲，这些繁琐的计算技能，使他们无法接近丰富多彩的数学世界。因此，应用GC的另一个更重要的理由就是：更关注数学的表示功能，把繁杂的计算交给GC等工具来完成，使学生可以集中在有价值的活动上。如果没有信息技术，特别是GC的帮助，有些数学内容与活动是很难进入课程的。
案例2:马新号老师担任某农村学校的初一教学。他给学生出了一道题：用一个正方形的硬纸作一个无盖的方盒，使其容积最大。学生用边长为10cm的正方形纸，先动手折叠，绘图（如下）并得到如下的公式：V=(10－2x)2&x。
&虽然看起来不可思议，这类通常出现在大学微积分应用中的问题，初一的学生也能获得不错的解决方案，但这在GC实验学校却是很普遍的现象——在教师的鼓励下，学生大都有过从现实世界和数学中发现问题与提出问题的经历。这些问题不仅具有挑战性，而且涉及广泛领域，从财务问题、买车问题，到飞机机翼的形状和环境保护问题等等。正如马老师评论的那样：这些学生从来没有学过用代数方法求极值，但是图形计算器的使用使他们可以探究和估计最大值。当小正方形的边长不断改变时，他们可以观察到容积V的变化。
对我们的一个重要启示是：结合亲身经历的现实，没有学过自然科学的低年级学生也可用函数来组织自己的经验，尝试用它来进行数学化（即水平数学化）。这些学生虽然不具备关于函数的系统知识与必要的技能，借助GC，他们却能从图形与表格中获得信息，借助亲身经历的现实来把握代数这个“交流语言”所表达的意义，包括其中的函数关系。他们所呈现出来的潜能往往超越我们传统的认识。虽然他们没有系统地掌握这些工具的工作原理，GC的数据处理与表示功能（特别是CAS系统）使学生可以使用它们（如统计、线性规则、函数与曲线拟合等）。
这个案例虽然来自初一学生，但我们可以从中悟出一般的原理：新课程提供了丰富多彩题材，但对大多数学生而言，他们只需要了解它或应用它，而不需要在传统意义上掌握该题材的所有细节。GC不但可以完成“繁琐的计算”，还具有丰富的表达形式，使学生可以把精力集中在有价值的活动上，形成丰富的数学化与充满联系的数学经验。
笔者认为：对实现某些重要的数学课程目标与内容而言，GC的使用(或类似的技术)本身就是条件与需要，而不是可有可无。GC的使用使多数学生都可能接近现代数学的广泛应用，这是GC与其他一些教学软件的根本区别。也正是在这个意义上，有的国家才要求学生必须使用GC！
七、学生从编程学到什么？
学生不仅可以把GC当作学习的工具，在“垂直”与“水平”两个方向上进行数学化，他们还可以通过编程“教”GC如何完成某个任务，构造某些数学对象，或做一些有趣的工作。虽然人们早就认识到，学生从编程活动中能获得有价值的数学经验，但并未受到应有的重视。
在GC的教学实验中，笔者让学生通过编程做代数，构造几何图形，做一段音乐与动画，或控制“机器人”运动。在让学生做“编程”的各种理由中，笔者更看重的是：在通过编程构造某个数学对象的过程中，学生能获得对于该对象的更丰富的认识，经历算法思维、直觉思维与形式思维的互相转换与密切联系的过程。这里，关注的并不是编程与编程的技巧。编程只是一个载体。当然，编程过程也为算法思维的发展提供了机会，而这正是“课程标准”非常重视的（例如在高中独立设课）。此外，从实际可行的角度看，有的GC（这里指hp39g）所用的语言非常简单，而且多少带点数学味，能反映某些主要的数学思想。笔者甚至认为，它有点象LOGO编程。例如，hp39g使用如下一些命令：
ARC0;0;2;0;π:LINE-2;0;2;0:BOX-2;-1;2;0:
PIXONA;A2：DOPIXONA;A2：DISPLAYG9:
即使是初中学生，凭着不多的英语词汇量与对数学的理解，大都能够了解这些命令的意义，并利用它们编一些简单的程序并且运行。在编程活动中，学生往往是从一个数学概念的直觉表达开始，然后构造一个程序来获得它的形式表达或图形表示。下图是北京某高中学生所编写的“DOUBLER”（翻倍）程序：
这个程序的结构虽然非常简单，但通过编写这一小段程序，学生获得了关于函数与映射的体验，并且学生对编写程序很感兴趣，很想看到运行自己程序所得到的结果。
总之，通过GC的编程活动，学生获得了一些编程的早期经验，发展算法思维，更主要的是：在通过编程构造某个数学对象的过程中，学生能获得对于该对象的更丰富的认识。通过精心的设计，恰当的指导，让学生围绕某些数学课题做一些编程活动，也许有助于他们更好地理解所学习的内容。
数学被看作是人类的一种语言，其重要性可想而知。但对数学，许多人却望而生畏。这是全球性的问题。技术的进步，例如GC的问世，可能为我们带来新的机会。看似平常的GC，使人们无须经过传统意义上的严格训练，也有机会接触题材丰富的数学，甚至使用这些数学工具。正如Usiskin所指出的：我们正处于数学的一个非常时期……由于技术的进步，数学为大众所充分理解已经有了显著的提高，更多的数学将成为每个人所受教育与日常文化结构的一部分。这也正是我们老一代数学家江泽涵与华罗庚等的宿愿。
数学新课程强调数学化与充满联系，反映了时代的要求。GT的使用可为学生个性化数学学习与合作交流提供支持，也作为教师的课堂教学讲授与演示的工具，或与其他信息技术（如几何画板等）组合使用。要根据学生的实际水平，使用GT这个平台，引导学生在数学化的轨迹上发展。
也许更值得注意的是：超越教法或学法的范畴，GC的使用可能将对数学课程的目标与学习内容本身产生影响，使学生有可能接触题材多样而广泛联系的数学，也为学生形成丰富的数学化的经验提供支持。这种便携的“小精灵”将使某些广泛应用的现代数学工具也能够为大众所接近，甚至使用。
信息技术仍然在快速发展，新一代的数据流技术更为数学与现实世界之间的联系，提供了理想的工具，也可能为各学科之间的联系沟带来根本性的变化。
[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验稿）解读.
江苏教育出版社，2004.&
[2]王长沛,王建明,张君麟.图形计算器与中学数学活动案例选.北京大学出版社，2000.&
[3]“信息技术在教学中的应用”子课题组（教育部重大课题），在惠普（HP39g+）平台上做数学——入门与案例.2005.&
[4]CroftColin.“Mastering the
hp39g+”Publish:hp，2003.&
[5]Z.Usiskin.Resolvingthecontinuingdilemmasing eometry.InLearning
and Teaching Geometry:The 1987 Year book of the National Council of
Teachers of
Mathematics.Restion,VA:NCTM.&
[6]Papert.S.Mindstorm.NewYork:BasicBooks.&
[7]佛赖登塔尔著,陈昌平等译.作为教育任务的数学.上海教育出版社,1995.&
[8]Wee Leng NG (Singapore). Integratuion of Graphing Calculator
into the Mathematics Curriculum.Proceedings, The 11thAsian
Technology Conference in Mathematics.ATCM,Inc.2006.
本文网址：http://www.niubb.net/article//1/
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。当前位置： >>
高等数学(下册)课件
高等数学?下册营口地区成人高等教育 QQ群
多元函数微分学在上册中，我们讨论的是一元函数微积分 ，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数―多元函数，也提出了多元微积分问题。多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展， 它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方 法）又有许多本质的不同，要善于进行比较， 既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注 意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理 解，融会贯通。营口地区成人高等教育 QQ群
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。重点多元函数基本概念，偏导数，全微分， 复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何 应用，多元函数极值。难点复合函数求导，多元函数极值。营口地区成人高等教育 QQ群
一、多元函数的概念? 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某 ? 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 的点 P ( x , y ) ? 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ? ) ， U ( P0 , ? ) ? ?P | PP0 |? ? ?（1）邻域? ( x , y ) | ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ? .???P0（2）区域设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) ? E ， 则称 P 为 E 的内点.营口地区成人高等教育 QQ群
如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集.2 2 例如，E1 ? {( x , y ) 1 ? x ? y ? 4}?P即为开集． E 如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．E 的边界点的全体称为E 的边界．E? ??P设 D 是开集．如果对于 D 内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于 D ，则称营口地区成人高等教育 开集 D 是连通的．
QQ群y连通的开集称为区域或开区域． 例如， x , y ) | 1 ? x ? y ? 4}. {(2 2ox开区域连同它的边界一起称为闭区域.yo x{( x , y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}. 例如，对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P ? E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP ? K 对一切 P ? E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 营口地区成人高等教育 QQ群{( x , y ) | 1 ? x ? y ? 4}2 2y有界闭区域；{( x , y ) | x ? y ? 0} 无界开区域．ox（3）聚点设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.营口地区成人高等教育 QQ群
说明：? 内点一定是聚点； ? 边界点可能是聚点； 例{( x , y ) | 0 ? x 2 ? y 2 ? 1}(0,0)既是边界点也是聚点．? 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ． {( x , y ) | 0 ? x 2 ? y 2 ? 1} 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如,{( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 1}边界上的点都是聚点也都属于集合．营口地区成人高等教育 QQ群
（4）n维空间n 设 n 为取定的一个自然数，我们称 元数组 n ( x1 , x 2 ,? , x n ) 的全体为n 维空间，而每个 元数 组 ( x 1 , x 2 , ? , x n ) 称为n 维空间中的一个点，数 x i 称为该点的第i 个坐标.说明： ? n维空间的记号为 R ? n维空间中两点间距离公式营口地区成人高等教育 QQ群
设两点为P ( x1 , x2 ,?, xn ), Q( y1 , y2 ,?, yn ),| PQ |? ( y1 ? x1 )2 ? ( y2 ? x2 )2 ? ? ? ( yn ? xn )2 .特殊地当 n ? 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． ? n维空间中邻域、区域等概念邻域： U ( P0 , ? ) ? ?P | PP0 |? ? , P ? R n ?内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．营口地区成人高等教育 QQ群
（5）二元函数的定义设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) ? D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z ? f ( x , y ) （或记为 z ? f (P ) ）.类似地可定义三元及三元以上函数．当n ? 2 时，n 元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.营口地区成人高等教育 QQ群
arcsin( 3 ? x ? y ) 例1 求 f ( x , y ) ? 的定义域． 2 x? y2 2解? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? ? x ? y2 ? 0 ???2 ? x ? y ? 4 ? x ? y2 ?2 2所求定义域为D ? {( x , y ) | 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, x ? y 2 }.营口地区成人高等教育 QQ群
（6） 二元函数 z ? f ( x , y ) 的图形设函数 z ? f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 P ( x , y ) ? D ，对应的函数值为 y z ? f ( x , y ) ，这样，以x 为横坐标、 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D}，这个点集称 为二元函数的图形.（如右图） 二元函数的图形通 常是一张曲面.营口地区成人高等教育 QQ群
二、多元函数的极限设 函 数 z ? f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的 正数? ，总存在正数? ，使得对于适合不等式 2 2 0 ?| PP0 |? ( x ? x 0 ) ? ( y ? y 0 ) ? ? 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) ? A |? ? 成立，则称 A 为函数 z ? f ( x , y ) 当 x ? x 0 ， y ? y 0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) ? A 定义 1 （或 f ( x , y ) ? A ( ? ? 0 ) 这里 ? ?| PP0 |）.营口地区成人高等教育 QQ群 x ? x0 y ? y0说明：（1）定义中 P ? P0 的方式可能是多种多样 的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的， 所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有 的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋 于同一常数。――这是产生本质差异的根本原 因。 （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );x ? x0 y ? y0（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论 营口地区成人高等教育 QQ群 以巩固和加深理解。
1 lim( x ? y ) sin 2 ?0 例2 求证 2 x ?0 x ?y y ?0 1 2 2 ?0 证 ( x ? y ) sin 2 2 x ?y 1 2 2 ? x ? y ? sin 2 ? x2 ? y2 2 x ?y2 2? ? ? 0, ? ? ? ? ,当 0 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ? ? 时，1 ( x ? y ) sin 2 ? 0 ? ? 原结论成立． 2 x ?y2 2营口地区成人高等教育 QQ群
例3 求极限2sin( x 2 y ) lim 2 . 2 x ?0 x ? y y?0sin( x y ) ? lim sin( x y ) ? x y , 解 lim 2 x ?0 2 x2 y x2 ? y2 x?0 x ? y y?0 y?0 sin u sin( x 2 y ) u ? x 2 y lim ? 1, 其中 lim 2 u? 0 u x?0 x yy?022x2 y 1 ? ? ? x ?x?0? 0, 2 2 x ?y 2sin( x 2 y ) ? lim 2 ? 0. 2 x ?0 x ? y y?0营口地区成人高等教育 QQ群
x3 y 例4 证明 lim 6 2 不存在． x ?0 x ? y y?0证取y ? kx ,3x3 y lim 6 2 x?0 x ? y y?03x ? kx k ? lim 6 2 6 ? , 2 x ?0 x ? k x 1? k y ? kx 33其值随k的不同而变化， 故极限不存在．营口地区成人高等教育 QQ群
确定极限不存在的方法：（1）令 P ( x , y ) 沿 y ? kx 趋向于 P0 ( x 0 , y0 ) ，若极限值与k 有关，则可断言极限不存在；（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，x ? x0 y ? y0但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．营口地区成人高等教育 QQ群
利用点函数的形式有n 元函数的极限定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集 D , P0 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， ? 总 存 在 正 数? ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 ?| PP0 |? ? 的 一 切 点 P ? D ， 都 有 | f ( P ) ? A |? ? 成立，则称 A 为 元函数 f ( P ) n 当 P ? P0 时的极限，记为 lim f ( P ) ? A .P ? P0营口地区成人高等教育 QQ群
三、多元函数的连续性设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0 是其聚点且 P0 ? D ，如果 lim f ( P ) ? f ( P0 )P ? P0则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续. 设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P ) 的 间断点. ? x3 ? y3 , ( x , y ) ? (0,0) ? 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) ? ? x ? y ?0, ( x , y ) ? (0,0) ? 在(0,0)处的连续性．营口地区成人高等教育 QQ群
x ? ? cos? , y ? ? sin? ? ? (sin 3 ? ? cos 3 ? ) ? 2 ? f ( x , y ) ? f ( 0 ,0 ) ? ? ? ? 0, ? ? ? , 当 0 ? x 2 ? y 2 ? ? 时 2解 取f ( x , y ) ? f ( 0 ,0 ) ? 2 ? ? ?( x , y )?( 0 , 0 )limf ( x , y ) ? f (0,0),故函数在(0,0)处连续. 例6 讨论函数? xy , x2 ? y2 ? 0 ? x2 ? y2 f ( x, y) ? ? ? 0, x2 ? y2 ? 0 在(0,0)的连续性． ? 营口地区成人高等教育 QQ群取 y ? kx 2 xy k kx lim 2 ? 2 ? lim 2 2 2 x ?0 x ? y x ?0 x ? k x 1? k2 y?0 解y ? kx极限不存在． 其值随k的不同而变化， 故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次．营口地区成人高等教育 QQ群
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．营口地区成人高等教育 QQ群
一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函P ? P0数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) ? f ( P0 ).P ? P0四、小结多元函数的定义 多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质 营口地区成人高等教育 QQ群思考题若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否 断定( x , y )? ( x 0 , y 0 )limf ( x, y ) ? A？营口地区成人高等教育 QQ群
思考题解答不能. 例x3 y2 f ( x , y ) ? 2 4 2 , ( x , y ) ? (0,0) (x ? y ) 3 2 2 取 y ? kx , f ( x , kx ) ? x ? k x但是( x , y )?( 0 , 0 )( x 2 ? k 4 x 4 )2? ?x?? 0 ?0limf ( x , y ) 不存在.y6 y2 x ? y2 , f ( y2 , y) ? 4 4 2 ? 1 . 原因为若取 (y ?y ) 4营口地区成人高等教育 QQ群
练习 题一、 填空题:x 1、 若 f ( x , y ) ? x ? y ? xy tan ,则 f ( tx , ty ) =____. y x2 ? y2 2、 若 f ( x , y ) ? ,则 f ( 2,?3) ? __________; 2 xy y f (1, ) ? ________________. x x2 ? y2 y ( y ? 0) ,则 f ( x ) ? ________. 3、 若 f ( ) ? x y y 2 2 4、 若 f ( x ? y , ) ? x ? y , 则 f ( x , y ) ? _________. x 4x ? y2 函数 z ? 的定义域是__________. 2 2 ln(1 ? x ? y )2 2营口地区成人高等教育 QQ群
6、函数 z ?y 的定义域是______________. y 7、函数 z ? arcsin 的定义域是_______________. x y2 ? 2x 8、函数 z ? 2 的间断点是________________. y ? 2xx?二、求下列各极限: 2 ? xy ? 4 1、lim ； x?0 xy y?0sin xy 2、lim ； x ?0 x y?01 ? cos( x 2 ? y 2 ) 3、lim . x?0 ( x 2 ? y 2 ) x 2 y 2 y?0营口地区成人高等教育 QQ群
三、证明：limx ?0 y?0xy x ?y2 2? 0.xy ? 1 ? 1 四、证明极限lim 不存在 . x?0 x? y y?0营口地区成人高等教育 QQ群
练习题答案13 一、 1、 t f ( x , y ) ； 2、? , f ( x , y ) ； 12 1 ? x2 2 1? y 3、 ； 4、 x ； x 1? y 5、 ( x , y ) 0 ? x 2 ? y 2 ? 1, y 2 ? 4 x ；2? 6、 ?( x , y ) x ? 0, y ? 0, x ? ??y ； 7、 ?( x , y ) x ? 0,? x ? y ? x? ? ?( x , y ) x ? 0, x ? y ? ? x?；2??8、 ( x , y ) y 2 ? 2 x ? 0 . 1 二、1、 ? ； 2、0； 43、? ? .营口地区成人高等教育 QQ群
复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则若y ? f ( u)而u ? ? ( x )可导 则复合函数y ? f [? ( x )] 对 x的导数为dy dy du ? ? dx du dx这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 营口地区成人高等教育 QQ群复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如 z ? f ( x 2 ? y 2 , xy ) 它是由 z ? f ( u, v )及u ? x ? y , v ? xy2 2复合而成的由于 f没有具体给出?z ?z 在求 , 时 ?x ?y一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。营口地区成人高等教育 QQ群
一、链式法则定理　如果函数 u ? ? (t ) 及v ? ? (t ) 都在点t 可 导，函数 z ? f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏 导数，则复合函数 z ? f [? ( t ),? ( t )] 在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算：dz ?z du ?z dv ? ? ． dt ?u dt ?v dt证设 t 获得增量 ?t， 则 ?u ? ? ( t ? ?t ) ? ? ( t ), ?v ? ? ( t ? ?t ) ? ? ( t );由于函数z ? f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数营口地区成人高等教育 QQ群
?z ?z ?z ? ?u ? ?v ? ? 1 ?u ? ? 2 ?v , ?u ?v 当 ?u ? 0 ，?v ? 0 时， ? 1 ? 0 ，? 2 ? 0? z ?z ? u ?z ? v ?u ?v ? ? ? ? ? ?1 ? ?2 ? t ?u ? t ?v ? t ?t ?t当?t ? 0 时， ?u ? 0 ，?v ? 0?u du ? , ?t dt?v dv ? , ?t dtdz ?z ?z du ?z dv ? lim ? ? ? ? . dt ?t ?0 ?t ?u dt ?v dt营口地区成人高等教育 QQ群
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dz ?z du ?z dv ?z dw ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?w dtzu v wtdz 以上公式中的导数 称为全导数. dt上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z ? f [? ( x , y ),? ( x , y )].营口地区成人高等教育 QQ群
( 如果 u ? ? ( x , y ) 及v ? ? ( x , y ) 都在点 x , y )具有对x 和y 的偏导数，且函数z ? f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数z ? f [? ( x , y ),? ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? ? ， . ?y ?u ?y ?v ?y ?x ?u ?x ?v ?x链式法则如图示u营口地区成人高等教育 QQ群 xzvy?z ? ?x ?z ? ?y?z ? ?u ?z ? ?u?u ? z ? v , ? ? ?x ? v ? x ?u ? z ? v ? ? . ?y ? v ? y称为标准法则或 2 ? 2 法则 这个公式的特征： ⑴函数 z ? f [u( x , y ), v( x , y )] 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 ?z , ?z 两个公式；?x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 ?z ?z?u ?v⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”营口地区成人高等教育 QQ群
类似地再推广，设 u ? ? ( x , y ) 、v ? ? ( x , y ) 、w ? w ( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 和 的偏导数，复合 x y( 函数 z ? f [? ( x , y ),? ( x , y ), w ( x , y )] 在对应点 x , y ) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w ? ? ? , ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w ? ? ? . ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y营口地区成人高等教育 QQ群 zu v wxy特殊地 z ? f ( u, x , y ) 其中 u ? ? ( x , y ) 即 z ? f [? ( x , y ), x , y], 令v?x,w ? y,区 别 类 似?v ?w ?v ?w ? 1, ? 0, ? 0, ? 1. ?y ?x ?x ?y?z ?f ?u ?f ? ? ? , ?x ?u ?x ?x?z ?f ?u ?f ? ? ? . ?y ?u ?y ?y两者的区别把 z ? f ( u, x , y )把 复 合 函 数 z ? f [? ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不 中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数营口地区成人高等教育 QQ群
注如此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形z ? f ( u1 , u2 ,?, um ) ui ? ui ( x1 , x2 ,?, xn )m ?z ?z ?ui ?? ? , ( j ? 1,2,?, n) ?x j i ?1 ?ui ?x j则从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关营口地区成人高等教育 QQ群 ) m ,?,2,1 ? i (关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二 阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求 强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将 会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用 公式 ①用图示法表示出函数的复合关系②函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）营口地区成人高等教育 QQ群
③弄清 f u ( u, v ), f v ( u, v ) 的结构是求抽象的复合函 数的二阶偏导数的关键f u ( u, v ), fv ( u, v ) 仍是复合函数且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量 的复合函数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则?z ? f u ( u, v ) ?uu v? ?u ?v [ f u ( u, v )] ? f uu ? f uv ?x ?x ?x y ? [ f ( u, v )] ? f ?u ? f ?v v vu vv ?x ?x ?x 营口地区成人高等教育 QQ群x在具体计算中最容易出错的地方是对f u ( u, v ) 再求偏导数这一步原因就是不注意 是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的 函数，从而导致漏掉 f uv 这一项④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 ⑥uv的合并问题 视题设条件营口地区成人高等教育 QQ群 ) v ,u ( u ff , vu f例 1 设 z ? e u sin v ，而u ? xy ，v ? x ? y ，?z ? z 求 和 . ?x ? y 解 ? z ? z ?u ? z ?v ? ? ? ? ? x ? u ?x ? v ?x u u ? e u ( y sin v ? cos v ), ? e sin v ? y ? e cos v ? 1? z ? z ?u ? z ? v ? ? ? ? ? y ? u ?y ? v ? y u u u ? e sin v ? x ? e cos v ? 1 ? e ( x sin v ? cos v ). 例 2 设 z ? uv ? sin t ，而u ? e t ，v ? cos t ， dz 求全导数 . 营口地区成人高等教育 QQ群
dt解dz ?z du ?z dv ?z ? ? ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?t t t t ? ve ? u sin t ? cos t ? e cos t ? e sin t ? cos t? e (cos t ? sin t ) ? cos t .t例3 设 w ? f ( u, v ), u ? u( x , y ), v ? v ( x , y ), x ? x ( r ,? ), y ? y( r ,? ) ?w ?w , 均满足复合函数求偏导数的条件 计算 ?r ?? （两重复合问题）解由链式法则xyr?营口地区成人高等教育 QQ群 vuw?w ?w ?u ?w ?v ? ? ? ? ?r ?u ?r ?v ?r?u ?u ?x ?u ?y ? ? ? ? ?r ?x ?r ?y ?r?v ?v ?x ?v ?y ? ? ? ? ?r ?x ?r ?y ?r故?w ?w ?u ?x ?u ?y ?w ?v ?x ?v ?y ? ( ? ? ? )? ( ? ? ? ) ?r ?u ?x ?r ?y ?r ?v ?x ?r ?y ?r同理可得?w ?w ?u ?x ?u ?y ?w ?v ?x ?v ?y ? ( ? ? ? )? ( ? ? ? ) ?? ?u ?x ?? 营口地区成人高等教育 QQ群 ?x ?? ?y ?? ?y ?? ?v例4设 w ? f ( x ? y ? z , xyz ) ，f 具有二阶?w ? 2 w 连续偏导数，求 和 . ?x ? x ? z解 令 u ? x ? y ? z,记 同理有?f ( u, v ) f1? ? , ?uf 2?,v ?? 2 f ( u, v ) ?? f12 ? , ?u?v?? f11 ,?? f 22 .?w ?f ?u ?f ?v ? f1? ? yzf 2?; ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x? 2w ? ? ( f1? ? yzf 2?) ? ?f1? ? yf 2? ? yz ?f 2? ; ?x?z ?z 营口地区成人高等教育?z QQ群 ?z?f1? ?f1? ?u ?f1? ?v ? ? ? ? ?? ?? ? f11 ? xyf12 ; ?z ?u ?z ?v ?z?f 2? ?u ?f 2? ?v ? f ?? ? xyf ?? ; ?f 2? 21 22 ? ? ? ? ?u ?z ?v ?z ?z 2 ? w ?? ?? ?? ?? ? f11 ? xyf12 ? yf 2? ? yz ( f 21 ? xyf 22 ) 于是 ?x?z?? ?? ?? ? f11 ? y( x ? z ) f12 ? xy 2 zf 22 ? yf 2?.二、全微分形式不变性营口地区成人高等教育 QQ群
?z ?z dz ? du ?当 u ? ? ( x , y ) 、v ? ? ( x , y ) ?u ?v ?z ?z dx ? dy . 时，有dz ? ?x ?y设函数 z ? f ( u, v ) 具有连续偏导数，则有全微分全微分形式不变形的实质：无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.?z ?z dz ? dx ? dy ?x ?y ? ?z ? u ? z ?v ? ? ? z ? u ?z ?v ? ? ? ? ? ? ? dx ? ? ? ? ? ? dy ?x ?
? QQ群 ? ?u ?x ?v 营口地区成人高等教育 ?u ?y ?v ?y ??z ? ?u ?u ? ?z ? ?v ?v ? ? ? dx ? dy ? ? ? dx ? dy ? ?u ? ?x ?y ? ?v ? ?x ?y ? ?z ?z ? du ? dv . ?v ?u利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的 过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以 不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分dx, dy, dz ,?? 来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错营口地区成人高等教育 QQ群
例5 设u ? f ( x , y, z ), y ? ? ( x , t ), t ? ? ( x , z )各函数满足求导条件求解一 变量间的关系如下图所示 x xu?u ?xytxzz ?u ?f ?f ?y ?f ?z ? ? ? ? ? ?x ?x ?y ?x ?z ?x?y ?? ?? ?? ? ? ? ?x ?x ?t ?x ?u ?f ?f ?? ?f ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?x ?x ?y ?x ?y ?t ?x营口地区成人高等教育 QQ群
解二 这里变量间的关系比较混乱用全微分来解 由全微分定理?f ?f ?f du ? dx ? dy ? dz ?x ?y ?z ?f ?f ?? ?? ?f ? dx ? [ dx ? dt ] ? dz ?x ?y ?x ?t ?z ?f ?f ?? ?? ?? ?? ?f ? dx ? [ dx ? ( dx ? dz )] ? dz ?x ?y ?x ?t ?x ?z ?z注意到x , z 是独立自变量营口地区成人高等教育 QQ群
故?f ?f ?? ?f ?? ?? ?f ?? ?? ?f du ? ( ? ? )dx ? ( ? )dz ?x ?y ?x ?y ?t ?x ?y ?t ?z ?z由全微分定义?u ?f ?f ?? ?f ?? ?? ? ? ? ?x ?x ?y ?x ?y ?t ?x ?u ?f ?? ?? ?f ? ? ?z ?y ?t ?z ?z注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错营口地区成人高等教育 QQ群
三、小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）营口地区成人高等教育 QQ群
思考题设 z ? f ( u, v , x ) ，而u ? ? ( x ) ，v ? ? ( x ) ，dz ?f du ?f dv ?f ? ? ? ， 则 dx ?u dx ?v dx ?x dz ?f 试问 与 是否相同？为什么？ dx ?x营口地区成人高等教育 QQ群
思考题解答不相同.等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，而等式右端最后一项 f 是作为u , v, x 的三元函数，写出来为dz dxx?f ? ?udu ?f ( u ,v , x ) ? x ? dx ?vdv ( u ,v , x ) ? dxx?f ? ?x( u ,v , x ).营口地区成人高等教育 QQ群
练习题一、填空题: x cos y ?z z? 1、设 ,则 ? ________________； y cos x ?x ?z ? ________________. ?y x 2 ln( 3 x ? 2 y ) ?z z? 2、设 ,则 ? _______________； 2 y ?x ?z ? ________________. ?y sin t ? 2 t 3 dz z?e 3、设 ,则 ? ________________. dt v ?z ?z 2 2 u 二、设 z ? ue ,而 u ? x ? y , v ? xy ，求 , . ?x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
三、设 z ? arctan( xy ) ,而 y ? e x ,求dz . dx四、设 z ? f ( x 2 ? y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导?z ?z 数),求 , . ?x ?y 五、设 u ? f ( x ? xy ? xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 ?u ?u ?u 数),求 , , . ?x ?y ?z x 六、设 z ? f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y ?2z ?2z ?2z , , 2. 2 ? x ? x? y ? y营口地区成人高等教育 QQ群
y , 其中为可导函数, 2 2 f (x ? y ) 1 ?z 1 ?z z ? ? 2. 验证: x ?x y ?y y 八、设 z ? ? [ x ? ? ( x ? y ), y ], 其中 ? , ? 具有二阶导数,求 ?2z ?2z , 2. 2 ?x ?y七、设 z ?营口地区成人高等教育 QQ群
练习题答案cos y (cos x ? x sin x ) x cos x ( y sin y ? cos y ) ,? 一、1、 ； 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 , 2、 2 ln( 3 x ? 2 y ) ? 2 y (3 x ? 2 y ) y 2x2 2x2 ? 3 ln( 3 x ? 2 y ) ? ； 2 y (3 x ? 2 y ) y 3(1 ? 4t 2 ) . 3、 3 2 1 ? ( 3t ? 4t )?z 2x y x2 ? y2 ]e , 二、 ? [ 2 x ? y ? 2 2 2 ?x (x ? y )y2xy?z 2y x ( x2 ? y2 ) ? [2 y ? x ? 2 ]e . 2 ?y (x ? y )2xy营口地区成人高等教育 QQ群
dz e x (1 ? x ) 三、 ? . 2 2x dx 1 ? x e ?z ?z ? ? ye xy f 2? , ? ?2 yf 1? ? xe xy f 2? . 四、 ? 2 xf 1 ?x ?y ?u ?u ?u 五、 ? f ?(1 ? y ? yz ), ? f ?( x ? xz ), ? xyf ?. ?x ?y ?z ?2z 2 1 ?? ? f 12 ? 2 f 22 , ?? ?? 六、 2 ? f 11 y ?x y ?2z x 1 1 ?? ?? ? ? 2 ( f 12 ? f 22 ) ? 2 f 2? , ? x? y y y y ? 2z 2x x2 ?? ? 3 f 2? ? 4 f 22 . 2 ?y y y营口地区成人高等教育 QQ群
?2z 八、 2 ? ? 11 (1 ? ? ? ) 2 ? ? 1? ??, ?x ?2z ? ? 11 (? ? ) 2 ? ? 12? ? ? ? 1? ?? ? ? 21? ? ? ? 22 . ?y 2营口地区成人高等教育 QQ群
偏 导 数我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义。营口地区成人高等教育 QQ群
一、偏导数的定义及其计算法定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而x 在 x0 处有增量 ?x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 ? ? x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) ，f ( x 0 ? ? x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 ?x ? 0 ?x x 此极限为函数z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数，记为?z ?f ， ，z x ? ? ?x x ? x0 ?x x ? x0 y y y y0 0x ? x0 或 y ? y0f x ( x 0 , y0 ) .营口地区成人高等教育 QQ群
y 同理可定义函数z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为f ( x 0 , y0 ? ? y ) ? f ( x 0 , y0 ) lim ?y ? 0 ?y ?z ?f 记为 ， ， z y x ? x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y ? y0 ?y x ? x0 ?y x ? x0y ? y0 y ? y0如果函数 z ? f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数z ? f ( x , y ) 对 自变量x 的偏导数，?z ?f 记作 ， ，z x 营口地区成人高等教育 .QQ群 或 f x ( x, y) ?x ?x
f ( x ? h, y ) ? f ( x , y ) f x ( x , y ) ? lim h?0 hy 同理可以定义函数z ? f ( x , y ) 对自变量 的偏导?z ?f 数，记作 ， ，z y 或 f y ( x , y ) . ?y ?yf ( x , y ? h) ? f ( x , y ) f y ( x , y ) ? lim h?0 h营口地区成人高等教育 QQ群
偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法?f 时把 求 ?xy视为常数而对 x 求导?f 求 ?y时把 x 视为常数而对 y 求导这仍然是一元函数求导问题营口地区成人高等教育 QQ群
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u ? f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处f ( x ? ?x , y , z ) ? f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) ? lim , ?x ? 0 ?x f ( x , y ? ?y , z ) ? f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) ? lim , ?y ? 0 ?y f ( x , y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) ? lim . ?z ? 0 ?z营口地区成人高等教育 QQ群
一般地设w ? f ( x1 , x2 ,?, xn )?w f ( x1 ,?, xi ? ?xi ,?, xn ) ? f ( x1 ,?, xi ,?, xn ) ? lim ?x i ? x i ? 0 ?x i( i ? 1,2,??, n)营口地区成人高等教育 QQ群
例1求 z ? x 2 ? 3 xy ? y 2 在点(1, 2) 处的偏导数． ?z ?z 解 2x ? 3 ? ? 3x ? 2 y . ?x ?y ?z ? x ?1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 8 , ?x y ? 2?z ?y例2x ?1 y? 2?3 ?1 ? 2 ? 2 ? 7 .y 设 z ? x ( x ? 0, x ? 1) ，x ?z 1 ?z ? ? 2z . 求证 y ?x ln x ?y证?z ?z y ?1 ? yx , ? x y ln x , ?x ?y 营口地区成人高等教育 QQ群x ?z 1 ?z x y ?1 1 y ? ? yx ? x ln x y ?x ln x ?y y ln x?x ?xyy? 2z .原结论成立．x ?z ?z 例 3 设 z ? arcsin ，求 ， . 2 2 ?x ?y x ?y ? ? ? 1 x 解 ?z ?? ? 2 ? x2 ? y2 ? ? ?x x ? ?x 1? 2 x ? y2 2 2 2 x ?y y 2 ? ? ( y ?| y |) 2 2 3 | y| (x ? y )| y| ? 2 . 2 x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
?z ? ?y1 x 1? 2 x ? y22 22? ? ? x ?? ? x2 ? y2 ? ? ? ?yx 1 x ?y ( ? xy ) ?? 2 sgn ? ? 2 2 2 3 x ?y y | y| (x ? y ) ?z ( y ? 0) 不存在． ?0 ?y x ? 0 y例 4 已知理想气体的状态方程 pV ? RT?p ?V ?T ? ? ? ?1 . （ R 为常数） ，求证： ?V ?T ?p营口地区成人高等教育 QQ群
证RT p? ? V?p RT ?? 2; ?V V?V R RT ? ; V? ? ?T p p ?T V pV ? ; T? ? ?p R R RT R V ?p ?V ?T ? ? ?? 2 ? ? p R V ?V ?T ?p RT ?? ? ?1. pV营口地区成人高等教育 QQ群
有关偏导数的几点说明：?u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ?x２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；3、计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ) 再对 x 求导然后代入 x = x0计算 f y (x0 ,y0 )时同理例如, 设z ? f ( x , y ) ?解xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).| x ? 0 | ? 0 ? 0 ? f (0,0). f x (0,0) ? lim 营口地区成人高等教育 QQ群 y x ?0 x
4、 偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常 量，但由于变量较多，易产生混乱-――重要的是 区分清函数的类型――这是出错的主要原因。5、若 f( x , y ) =f( y , x )则称 f( x , y ) 关于 x , y 具有轮换对称性?u ? 2 u , 2 时 在求 ?y ?y只需将所求的?u ? 2 u , 互换即可 2 中的 x , y ?x ?x营口地区成人高等教育 QQ群
6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 连续，? xy ? x2 ? y2 , 例如,函数 f ( x , y ) ? ? ? 0, ?多元函数中在某点偏导数存在连续，x2 ? y2 ? 0,x ? y ?02 2依定义知在(0,0) 处， f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0 .但函数在该点处并不连续. 偏导数存在营口地区成人高等教育 QQ群 连续.7、偏导数的几何意义设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z ? f ( x , y ) 上一点,如图几何意义:营口地区成人高等教育 QQ群
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y ? y0 所截得的曲线在点M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴 的斜率. 偏导数 f y ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 x ? x0所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对 y 轴 的斜率.二、高阶偏导数函数z ? f ( x , y ) 的二阶偏导数为? ? ?z ? ? 2 z ? ? ?z ? ? z ? ? ? 2 ? f yy ( x , y ) ? ? ? 2 ? f xx ( x , y ), ?y ? ?y ? ?y ?x ? ?x ? ?x2纯偏导营口地区成人高等教育 QQ群
? ? ?z ? ? z ? f xy ( x , y ), ? ?? ?y ? ?x ? ?x?y2混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.2? ? ?z ? ? 2 z ? f yx ( x , y ) ? ?? ?x ? ?y ? ?y?x例 5　设 z ? x 3 y 2 ? 3 xy 3 ? xy ? 1，?2z ? 2z ?2z ? 3z ? z 求 2、 、 、 2 及 3. ?y?x ?x?y ?y ?x ?x? z ? z ? z 2 2 ? 6 xy , ? 6y , ? 2 x 3 ? 18 ?x 2 ?x 3 ?y 2 2 2 ? z ? z 2 2 ? 6 x 2 y ? 9 y 2 ? 1. ? 6 x y ? 9 y ? 1, ?x?y ?y?x2 32营口地区成人高等教育 QQ群
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形偏 导 函 数 图 形营口地区成人高等教育 QQ群 导二 函阶 数混 图合 形偏例 6 设u ? e ax cos by ，求二阶偏导数.解?u ?u ax ? ? ? ae cos by , ?y ?x 2 ? 2u ? u 2 ax 2 ax ? ? b e cos by , ? a e cos by , 2 2 ?y ?x ? 2u ? 2u ? ? abe ax sin by , ? ? abe ax sin by . ?x?y ?y?x问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才 相等？营口地区成人高等教育 QQ群
定理如果函数z ? f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数? 2z ? 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 ?y?x ?x?y两个二阶混合偏导数必相等．例 7 验证函数 u( x , y ) ? ln x 2 ? y 2 满足拉普拉 斯方程解 ? ln x 2 ? y 2 ? 1 ln( x 2 ? y 2 ), 2 ?u y ?u x ? 2 , ? ? 2 , 2 ?y x ? y ?x x ? y 2? 2u ( x 2 ? y 2 ) ? x ? 2 x y2 ? x2 ? 2? ? 2 , 2 2 2 2 2 ?x ( x 营口地区成人高等教育 QQ群 ? y ) ?y ) (x? 2u ( x 2 ? y 2 ) ? y ? 2 y x2 ? y2 ? ? 2 . 2 2 2 2 2 2 ?y (x ? y ) (x ? y ) ? 2u ? 2u y2 ? x2 x 2 ? y 2 ? 0. ? 2? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 ?x ?y (x ? y ) (x ? y )营口地区成人高等教育 QQ群
三、小结偏导数的定义 （偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义 纯偏导 混合偏导（相等的条件）高阶偏导数思考题若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续，能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在？营口地区成人高等教育 QQ群
思考题解答不能.例如,f ( x, y) ? x2 ? y2 ,在( 0,0 ) 处连续,但f x (0,0) ? f y (0,0) 不存在.营口地区成人高等教育 QQ群
练习题一、填空题:x ?z ?z ,则 ? ________; ? _________. y ?y ?x ?z ?z xy ? _______; ? ________. 2、设 z ? e ( x ? y ), 则 ?y ?x y ?u ?u z 3、设 u ? x , 则 ? __________; ? __________; ?y ?x ?u ? ____________. ?z ?2z y ?2z 4、设 z ? arctan , 则 2 ? ________; 2 ? _______; ?y x ?x ?2z ? ____________. ?x?y1、设 z ? ln tan营口地区成人高等教育 QQ群
? 2u x z 5、设u ? ( ) ,则 ? __________. ?z?y y 二、求下列函数的偏导数: y 1、 z ? (1 ? xy ) ； z 2、 u ? arctan( x ? y ) . ? x2 ? y2 ?z ? x 三、曲线 ? ,在点(2,4,5)处的切线与正向 4 ?y ? 4 ? 轴所成的倾角是多少? x ?2z ?2z ?2z . 四、设 z ? y ,求 2 , 2 和 ? x? y ?x ?y ?3z ?3z 五、设 z ? x ln( xy ) ,求 2 和 2 . ? x ? y ? x? y营口地区成人高等教育 QQ群
六、验证: 1、 z ? e1 1 ?( ? ) x y,满足 x 2?z ?z ? y2 ? 2z ； ?x ?y2、 r ? x 2 ? y 2 ? z 2 满足 ? 2r ? 2r ? 2r z ? 2? 2 ? . 2 r ?x ?y ?z 七、设 y x ? 2 2 ? x arctan ? y arctan , xy ? 0 x y f ( x, y) ? ? ?0, xy ? 0 ? 求 f x , f xy .营口地区成人高等教育 QQ群
练习题答案2 2x 2x 2x 一、1、 csc ,? 2 csc ； y y y y e xy ( xy ? y 2 ? 1) ,e xy ( xy ? x 2 ? 1) ； 2、y z ?1 1 z y z 3、 x , x ln x , ? 2 x ln x ； z z z 2 xy 2 xy y2 ? x2 ,? 2 , 2 4、 2 ； 2 2 2 2 2 2 (x ? y ) (x ? y ) (x ? y ) x z 1 z x 5、 ? ( ) ( ? ln ) . y y y y 二、1、 ?z xy ? 2 y ? 1 ?z y? ? y (1 ? xy ) , ? (1 ? xy ) ?ln(1 ? xy ) ? ?; ?x ?y 1 ? xy ? ?营口地区成人高等教育 QQ群 yyy?u z ( x ? y ) z ?1 ?u ? z ( x ? y ) z ? 1 ? , 2、 ? , 2z 2z ?x 1 ? ( x ? y ) ?y 1 ? ( x ? y ) ?u ( x ? y ) ln( x ? y ) ? . 2z ?z 1 ? ( x ? y)? 三、 . 4?2z ?2z x 2 x?2 四、 2 ? y ln y , 2 ? x ( x ? 1) y , ?x ?y ?2z ? y x ?1 ( x ln y ? 1) . ? x? y ?3z ?3z 1 ?? 2. 五、 2 ? 0, 2 ?x ?y ? x? y y营口地区成人高等教育 QQ群
y ? ? 2 x arctan x ? y , xy ? 0 ? 七、 f x ? ? ? y , x ? 0, y ? 0 , ?0, x ? y ? 0; x ? 0, y ? 0 ? ? ? ? 1, x ? 0 ? 2 x ? y2 ? f xy ? ? 2 , xy ? 0 . 2 ?x ? y ?1, x ? 0, y ? 0 ?营口地区成人高等教育 QQ群
全 微 分营口地区成人高等教育 QQ群
一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ? f x ( x , y )?xf ( x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? f y ( x , y )?y二元函数 对 x 和对 y 的偏增量二元函数 对 x 和对 y 的偏微分全增量的概念营口地区成人高等教育 QQ群
f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量?x , ?y 的全增量，记为?z ， 即 ?z = f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 一般来讲，全增量?z 与?x , ?y 的相依关系是比较复杂的，因此我们希 望能象一元函数的微分那样，用?x , ?y 的线性函数A?x ? B?y 来近似表示，并给出误差估计。由此引出如下定义：如果函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内有定义，并设 P ?( x ? ?x , y ? ?y )为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之 差营口地区成人高等教育 QQ群
全微分的定义如果函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 ? z ? f ( x ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y ) 可以表示为 ? z ? A? x ? B? y ? o( ? ) ，其中 A, B 不依赖于?x , ?y 而仅与 x, y 有关， ? ? ( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ， 则称函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， A? x ? B? y 称为函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分，记为 dz ，即 dz = A? x ? B? y .函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.如果函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续. 营口地区成人高等教育 QQ群事实上?z ? A?x ? B?y ? o( ? ),?x ? 0 ?y ? 0lim ?z ? 0,? ?0lim f ( x ? ?x , y ? ?y )? ?0? lim[ f ( x , y ) ? ?z ]? f ( x, y )故函数z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.二、可微的条件营口地区成人高等教育 QQ群
定理 1（必要条件）　如果函数 z ? f ( x , y ) 在点?z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 ?x ?z 必存在，且函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 ?y?z ?z dz ? ?x ? ?y ． ?x ?y 证 如果函数z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分,为P ?( x ? ?x , y ? ?y ) ?P 的某个邻域?z ? A?x ? B?y ? o( ? )营口地区成人高等教育 QQ群 总成立,当 ?y ? 0 时，上式仍成立， 此时 ? ?| ?x | , f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ? A ? ?x ? o(| ?x |),f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ?z lim ?A ? , ?x ? 0 ?x ?x?z B? . 同理可得 ?y 一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在 全微分存在． xy ? x2 ? y2 ? 0 ? 2 例如 x ? y2 f ( x, y) ? ? . 2 2 ?0 营口地区成人高等教育 x ? y ? 0 QQ群 ?
在点(0,0)处有f x ( 0 ,0 ) ? f y ( 0,0 ) ? 0? z ? [ f x ( 0 ,0 ) ? ? x ? f y ( 0 , 0 ) ? ? y ]?x ? ?y ? , 2 2 ( ?x ) ? ( ?y )如果考虑点 P ?( ?x , ?y ) 沿着直线 y ? x 趋近于( 0,0 ) ，则?x ? ?y ( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ???x ? ?x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 21 ? , 2说明它不能随着? ? 0 而趋于 0, 当 ? ? 0 时?z ? [ f x (0,0) ? ?x ? f y (0,0) ? ?y ] ? o( ? ),函数在点( 0,0 ) 处不可微. 营口地区成人高等教育 QQ群说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件）　如果函数z ? f ( x , y ) 的偏?z ? z 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) ?x ? y可微分．证 ?z ? f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )? [ f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ? ?y )]? [ f ( x , y ? ?y ) ? f ( x , y )],在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理营口地区成人高等教育 QQ群
f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ? ?y )? f x ( x ? ? 1 ?x , y ? ?y )?x其中? 1 为?x , ?y 的函数,且当?x ? 0, ?y ? 0 时，? 1 ? 0 .(0 ? ? 1 ? 1)? f x ( x , y )?x ? ? 1?x （依偏导数的连续性）同理f ( x , y ? ?y ) ? f ( x , y )? f y ( x , y )?y ? ? 2 ?y , 当?y ? 0 时，? 2 ? 0 , ?z ? f x ( x , y )?x ? ? 1?x ? f y ( x , y )?y ? ? 2 ?y营口地区成人高等教育 QQ群
? 1 ?x ? ? 2 ?y ? ?? ?? 0, ?0 ? ? ?1 ? ? 2 ? 故函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.习惯上，记全微分为 dz ? ?z dx ? ?z dy . ?x ?y 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ?u ?u ?u du ? dx ? dy ? dz . ?x ?y ?z 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 营口地区成人高等教育 QQ群?z ?z xy ? xe xy , 解 ? ye , ?y ?x ?z ?z 2 2 ?e , ? 2e , ?x ( 2 ,1 ) ? y ( 2 ,1 )所求全微分例 1 计算函数 z ? e xy 在点( 2,1) 处的全微分.dz ? e 2dx ? 2e 2dy .? 例 2 求函数 z ? y cos( x ? 2 y ) ，当 x ? ， y ? ? ， 4? dx ? ， dy ? ? 时的全微分. 4 营口地区成人高等教育 QQ群解?z ? cos( x ? 2 y ) ? 2 y sin( x ? 2 y ), ?y 2 ?z ?z ?( 4 ? 7 ? ). dz ( ? , ? ) ? dx ? dy ? 8 ?x ( ? , ? ) ?y ( ? , ? ) 44 4?z ? ? y sin( x ? 2 y ), ?xy 例 3 计算函数u ? x ? sin ? e yz 的全微分. 2 ?u ?u 1 y ?u yz yz 解 ? ye , ? 1, ? cos ? ze , ?z ?x ?y 2 21 y 所求全微分 du ? dx ? ( cos ? ze yz )dy ? ye yz dz . 营口地区成人高等教育 QQ群 2 2例4试证函数1 ? , ( x , y ) ? ( 0 ,0 ) ? xy sin 2 2 x ?y f ( x, y) ? ? 在 ? 0, ( x , y ) ? ( 0 ,0 ) ? 点( 0,0 ) 连续且偏导数存在，但偏导数在点( 0,0 )不连续，而 f 在点( 0,0 ) 可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分( x , y ) ? (0,0) ，( x , y ) ? (0,0) 讨论.证 令x ? ? cos? , y ? ? sin? ,则1 lim xy sin ( x , y )? ( 0 , 0 ) x2 ? y2 营口地区成人高等教育 QQ群? lim ? sin? cos? ? sin21? 0 ? f (0,0),? ?0?故函数在点( 0,0) 连续,f ( ? x ,0 ) ? f ( 0,0 ) 0?0 lim f x ( 0, 0 ) ? ? x ? 0 ? lim ? 0, ?x ?x ? 0 ? x同理f y (0,0) ? 0.当 ( x , y ) ? ( 0,0) 时，f x ( x , y ) ? y sin1 x y 1 ? cos 2 , 2 2 2 2 3 2 x ?y (x ? y ) x ?y2当点 P ( x , y ) 沿直线 y ? x 趋于(0,0) 时, 营口地区成人高等教育 QQ群( x , x )? ( 0 , 0 )limf x ( x, y)3? 1 x 1 ? ? lim? x sin ? cos ? , 不存在. 3 x ?0 2| x| 2 2| x| 2 | x |? ? 所以 f x ( x , y ) 在(0,0)不连续.同理可证 f y ( x , y ) 在(0,0)不连续.?f ? f ( ?x , ?y ) ? f (0,0) 1 ? ?x ? ?y ? sin ( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2? o( ( ?x )2 ? ( ?y )2 )故 f ( x , y ) 在点( 0,0) 可微营口地区成人高等教育 QQ群
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导函数可微 偏导数连续营口地区成人高等教育 QQ群
三、小结１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）营口地区成人高等教育 QQ群
思考题函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是: （1） f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处连续； （2） f x ( x , y ) 、 f y ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的 某邻域存在； （3） ?z ? f x ( x , y )?x ? f y ( x , y )?y ，????（4）( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ? 0 时是无穷小量； 当 ? ? ? z ? f x ( x , y )? x ? f y ( x , y )? y( ?x ) ? ( ?y ) 2 2 ( ?y ) ? 0 当 ( ?x ) ?营口地区成人高等教育时是无穷小量. QQ群2 2,一、填空题: 1、设 z ? e ,则y x练习题?z ? _____________； ?x?z ? ____________；dz ? ____________. ?y u ? ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ,则 2、若 du ? _____________________________. y z ? ,当 x ? 2, y ? 1 , ? x ? 0.1, ? y ? ? 0.2 时, 3、若函数 x 函数的全增量?z ? _______;全微分dz ? ________. x 4、若 函 数 z ? xy ? , 则 z对 x 的 偏 增 量 y ? x z ? ___________; lim ? x z ? ______________. ?x ? 0 ? x营口地区成人高等教育 QQ群
二、求函数 z ? ln(1 ? x 2 ? y 2 ) 当 x ? 1, y ? 2 时的全微分. 三、计算 (1.02) 3 ? (1.97) 3 的近似值. 四、设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为 0.1cm ，内高为20cm ,内半径为4cm ,求容器外壳体 积的近似值. 五、测得一块三角形土地的两边边长分别为63 ? 0.1m 和 0 78 ? 0.1m ,这两边的夹角为60 ? 1 .试求三角形面积 的近似值,并求其绝对误差和相对误差. 六、利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相 对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相 对误差之和.营口地区成人高等教育 QQ群
七、求函数1 ? 2 ( x ? y 2 ) sin , x2 ? y2 ? 0 ? ? x2 ? y2 f ( x, y) ? ? ? 0 , x2 ? y2 ? 0 ? ? 的偏导数,并研究在点( 0,0) 处偏导数的连续性及 函数 f ( x , y ) 的可微性.营口地区成人高等教育 QQ群
练习题答案y x 1 x 1 x y 一、1、 ? 2 e , e ,? e ( dx ? dy ) ； x x x x 2( xdx ? ydy ? zdz ) 2、 ； 3、-0.119,-0.125； 2 2 2 x ? y ?z 1 1 4、( y ? )?x , y ? . y y 1 2 55.3cm 3 . 二、 dx ? dy . 三、2.95. 四、 3 3 2128m2 , 27.6m2 ,1.30%. 五、 七、 f x? ( x , y ), f y? ( x , y ) 在( 0,0) 处均不连续, f ( x , y ) 在点(0,0)处可微.营口地区成人高等教育 QQ群 y y y隐函数的求导法则一、一个方程的情形1. F ( x , y ) ? 0隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) ? 0 ， F y ( x0 , y0 ) ? 0 ，则方程 F ( x , y ) ? 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y ? f ( x ) ，它满足条件 y0 ? f ( x0 ) ，并 有dy Fx ?? . dx Fy营口地区成人高等教育 QQ群
( 例１　验证方程 x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 在点 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x ? 0 时 y ? 1 的隐函数 y ? f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x ? 0 的值. 解 令 F ( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 1则 Fx ? 2x , F ? 2 y , yF (0,1) ? 0,2 2Fy (0,1) ? 2 ? 0,依定理知方程 x ? y ? 1 ? 0 在点 0,1) 的某邻域 ( 内能唯一确定一个单值可导、且x ? 0 时 y ? 1 的 函数 y ? f ( x ) ．函数的一阶和二阶导数为营口地区成人高等教育 QQ群
dy ? 0, dx x ? 0 ? x? y ? x? ? ? 2 d y y ? xy? y? ? ? 1 , ? ?? ?? 2 2 2 y3 dx y y 2 d y ? ?1. 2 dx x ?0dy y 例 2 已知ln x ? y ? arctan ，求 . x dx2 2x dy Fx ?? , ?? dx Fy y解令y F ( x , y ) ? ln x ? y ? arctan , x 营口地区成人高等教育 QQ群2 2则 Fx ( x , y ) ? x ? y 2 , F ( x , y ) ? y ? x , y x2 ? y x2 ? y2 dy Fx x? y ?? ?? . dx Fy y? x2. F ( x, y, z ) ? 0隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 ，则方程F ( x , y , z ) ? 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z ? f ( x , y ) ，它满足条件z0 ? f ( x0 , y0 ) ， 并有Fy ?z ?z Fx ?? ? ? 营口地区成人高等教育 QQ群 . ，
?y Fz ?x Fzu ? F (r , s ), r ? x, s ? y( x )u ? F ( x, y, z ), z ? z( x, y )ru sx xuyxz? z 例 3 设 x ? y ? z ? 4 z ? 0 ，求 2 . ?x22 2 2y解令F ( x, y, z ) ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4z,营口地区成人高等教育 QQ群
则 Fx ? 2x , Fz ? 2 z ? 4,? 2z ?x 2?z x (2 ? z ) ? x (2 ? z ) ? x ? ?x ? 2? z ? 2 ( 2 ? z )2 (2 ? z )( 2 ? z )2 ? x 2 ? . 3 (2 ? z )?z Fx x ?? ? , ?x Fz 2 ? z?z ?x ?y 例 4 设 z ? f ( x ? y ? z , xyz ) ，求 ， ， . ?x ?y ?z 思路： ?z 把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， ?x?x 把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得 ， ?y ?y 营口地区成人高等教育 QQ群 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 .
?z解 令 u ? x ? y ? z, 则v ? xyz ,z ? f ( u, v ),把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得?z ?z ? f ? ( yz ? xy ?z ), ? f u ? (1 ? ) v ?x ?x ?x ?z f u ? yzf v ? , 整理得 ?x 1 ? f u ? xyf v把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得营口地区成人高等教育 QQ群
?x ?x 0 ? f u ? ( ? 1) ? f v ? ( xz ? yz ), ?y ?y 整理得 ?x ? ? f u ? xzf v , ?y f u ? yzf v把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 ?y ?y 1 ? f u ? ( ? 1) ? f v ? ( xy ? xz ), ?z ?z ?y 1 ? f u ? xyf v ? . 整理得 ?z f u ? xzfv营口地区成人高等教育 QQ群
二、方程组的情形1、对于方程组怎样求偏导数?F ( x , y , z )? 0 ? ( x , y , z )? 0首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)营口地区成人高等教育 QQ群
怎样求dy dz , dx dxF ( x , y, z ) ? 0 两边对 x 求导注意左边是复合函数（三个中间变量），dy dz Fx ? Fy ? ? Fz ? ? 0 dx dx同理dy dz ? x ? ? y ? ? ?z ? ? 0 dx dx若J?FyFz? y ?z?0则dz 1 Fy Fx dy 1 Fx Fz ?? ?? , dx dx J ? x ? z营口地区成人高等教育 QQ群J ? y ? x2、? F ( x , y , u, v ) ? 0 ? ?G ( x , y , u, v ) ? 0隐函数存在定理 3 设F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在 点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) ? 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) ? 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 式）?F ? ( F , G ) ?u J? ? ? ( u, v ) ?G ?u?F ?v ?G ?v营口地区成人高等教育 QQ群
在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零，则方程组 F ( x , y , u, v ) ? 0 、 G ( x , y , u, v ) ? 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 u ? u( x , y ) ， v ? v ( x , y ) ，它们满足条件u0 ? u( x0 , y0 ) ,v0 ? v ( x0 , y0 ) ，并有Fx Fv G x Gv ?u 1 ?(F ,G ) ?? ?? , Fu Fv ?x J ?( x, v ) Gu GvFu Fx ?v 1 ?(F ,G ) ?? ?? Gu G x ?x J ? ( u, x )营口地区成人高等教育 QQ群 FuFvGu GvFy ?u 1 ?(F ,G ) ?? ?? Gy ?y J ?( y, v )Fv GvFuFvGu Gv,Fu Fy ?v 1 ?(F ,G ) ?? ?? Gu G y ?y J ? ( u, y )例5FuFvGu Gv.? u ? u ?v ? v 求 ， ， 和 . ?x ? y ?x ? y 解1 直接代入公式；设 xu ? yv ? 0 ， yu ? xv ? 1 ，解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 x 求导并移项营口地区成人高等教育 QQ群
? ?u ? x ?x ? ? ? y ?u ? ? ?x?v y ? ?u ?x , ?v x ? ?v ?xJ?x ?y y x?x ?y ,2 2在J ? 0 的条件下，?u ? y?u ? v x xu ? yv ?v y ? v ? ?? 2 2, ? x ?y ?x x ?y ?x x ? y y x y x营口地区成人高等教育 QQ群 x ?uyu ? xv ? 2 2, x ?y将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得?u xv ? yu ? 2 2, ?y x ? y?v xu ? yv ?? 2 2. ?y x ?y注这组公式不太好记，具体做题时应 用的是其基本思想营口地区成人高等教育 QQ群
关于隐函数求二阶偏导数以 F ( x , y, z ) ? 0 为例， 主要有三种方法：①公式法1 ? ? 3 [ Fxx Fz2 ? 2Fxz Fx Fz ? Fzz Fx2 ] Fz类似地可求得2 2? ? ( Fx ) Fz ? Fx ( Fz ) ? 2z ?x ? ?? ?x 2 Fz2?z Fx ?? , ?x Fz②直接法? z ? z , 2 ?x?y ?y 方程两边连续求导两次营口地区成人高等教育 QQ群
?z Fx ? Fz ? ? 0 ?x?z ?z 2 ? z Fxx ? 2 Fxz ? ? Fzz ( ) ? Fz 2 ? 0 ?x ?x ?x2z2 ? 1 ? ? 3 [ Fxx Fz2 ? 2Fxz Fx Fz ? Fzz Fx2 ] 解得： 2 Fz x?两种方法相比，法二较简便，因为可避免 商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数 时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入 即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`营口地区成人高等教育 QQ群
③全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接 求全微分dz ? Adx ? Bdy 则?z ?z A ? ,B ? ?x ?y这样一次就可求得全部的一阶偏导数。营口地区成人高等教育 QQ群
三、小结隐函数的求导法则 （分以下几种情况）(1) F ( x , y ) ? 0( 2) F ( x , y , z ) ? 0? F ( x, y, z ) ? 0 ( 3 )? ?? ( x , y , z ) ? 0? F ( x , y , u, v ) ? 0 ( 4) ? ?G ( x , y , u, v ) ? 0营口地区成人高等教育 QQ群
思考题x y 已知 ? ? ( ) ，其中? 为可微函数， z z ?z ?z 求x ? y ? ? ?x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
思考题解答x y 记 F ( x, y, z ) ? ? ? ( ) , z zy 1 Fy ? ?? ?( ) ? , z z ?x y (? y ) Fz ? 2 ? ? ?( ) ? 2 , z z z?z Fx z ?? ? , ?x Fz x ? y? ?( y ) z?z ?z 于是 x ? y ? z. ?x ?yy ? z? ? ( ) Fy ?z z , ?? ? ?y Fz x ? y? ?( y ) z营口地区成人高等教育 QQ群
练习题一、填空题: 1、设 ln x 2 ? y 2 ? arctany ,则 xdy ? ___________________________. dx z x ? y z ,则 2、设 ?z ? ___________________________, ?x ?z ? ___________________________. ?y 二、设 2 sin( x ? 2 y ? 3 z ) ? x ? 2 y ? 3 z , ?z ?z ? 1. 证明： ? ?x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
t 三、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) ? t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x , y , z ) 为 k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程 ?f ?f ?f x ?y ?z ? kf ( x , y , z ) . ?x ?y ?z ?2z . 四、设 z 3 ? 3 xyz ? a 3 , 求 ? x? y 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: ?z ? x 2 ? y 2 dy dz 1、设 ? 2 ,求 , . 2 2 dx dx ? x ? 2 y ? 3 z ? 20 ?u ?v ? u ? f ( ux , v ? y ) 2、设 ? ，求 , . 2 ?x ?x ?v ? g ( u ? x , v y ) f,g （其中 具有一阶连续偏导数）营口地区成人高等教育 QQ群
?u ? f ( x, y ) ? 六、 设函数 u( x ) 由方程组? g ( x , y , z ) ? 0 所确定, ? h( x , z ) ? 0 ? ?g ?h du f , g , h ? 0, 求 . ( 且 ? 0, 均可微) ?y ?z dx t 七、 设 y ? f ( x , t ), 而 是由方程 F ( x , y , t ) ? 0 所确定的 dy x, y 的函数,求 . dx z ? z ( x , y ) 由方程F ( x ? x , y ? z ) =0 所确定, 八、 设 y x ?z ?z 证明: x ? y ? z ? xy . ?x ?y营口地区成人高等教育 QQ群
练习题答案? z x ln z x? y 一、1、 ； 2、 x ?1 ； z x? y xz ? y ln y zy z ?1 3、 x ?1 . z xz ? y ln y ?2z z ( z 4 ? 2 xyz 2 ? x 2 y 2 ) ? 四、 . 2 3 ? x? y ( z ? xy ) dy ? x ( 6 z ? 1) dz x , ? 五、1、 ? ； dx 2 y ( 3 z ? 1) dx 3 z ? 1 ? ? uf 1?( 2 yvg ? ? 1) ? f 2? ? g 1 ?u 2 2、 ? , ? ? 1)( 2 yvg ? ? 1) ? f 2? ? g 1 ? ? x ( xf 1 2 ? g 1 ( xf 1? ? uf 1? ? 1) ?v ? . ? ? 1)( 2 yvg ? ? 1) ? f 2? ? g 1 ? ? x ( xf 1 2营口地区成人高等教育 QQ群
du f x? ? g ?x f y? ? g ? ? h? z x ?? ? fx ? 六、 ? dx g ?y g ?y ? hz ? ? f x? g ?y hz ? f x? g ?x hz ? f y? g ? h? z x ? . ? g ?y hzdy Ft? ? f x? ? F x? ? f t? ? 七、 . dx Ft? ? F y? ? f t?营口地区成人高等教育 QQ群
多元函数极值一、多元函数的极值和最值观察二元函数 z ? ? xy ex2 ? y2的图形营口地区成人高等教育 QQ群
1、二元函数极值的定义设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.函数 z ? 3 x 2 ? 4 y 2 在 (0,0) 处有极小值．营口地区成人高等教育 QQ群 (1)函数 z ? ? x ? y22(2)在 (0,0) 处有极大值．函数 z ? xy 在 (0,0) 处无极值．(3)2、多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件） 设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零：f f x ( x0 , y0 ) ? 0 ， QQ群 y ( x0 , y0 ) ? 0 . 营口地区成人高等教育证 不妨设 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 处有极大值, 0 0则对于( x 0 , y 0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ? ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) ? f ( x 0 , y 0 ) ,故当 y ? y0 ， x ? x 0 时，必有有 f ( x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) ,说明一元函数 f ( x , y0 )在 x ? x0 处有极大值,f x ( x0 , y0 ) ? 0 ;类似地可证f y ( x 0 , y0 ) ? 0 .推广 如果三元函数u ? f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) ? 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) ? 0 ， 营口地区成人高等教育 f z ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 .
QQ群仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点例如, 点( 0,0 ) 是函数 z ? xy 的驻点， 但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理 2（充分条件） 设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， f y ( x 0 , y0 ) ? 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) ? 0 ,令 f xx ( x0 , y0 ) ? A ，f xy ( x0 , y0 ) ? B ，f yy ( x0 , y0 ) ? C ，营口地区成人高等教育 QQ群
则 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC ? B 2 ? 0 时具有极值， 当 A ? 0 时有极大值， 当A ? 0 时有极小值； （2） AC ? B ? 0 时没有极值；2（3） AC ? B 2 ? 0 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．例1 求由方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 2 y? 4 z ? 10 ? 0 确定的函数 z ? f ( x , y ) 的极值解 将方程两边分别对 x, y 求偏导营口地区成人高等教育 QQ群
? 2 x ? 2 z ? z? ? 2 ? 4 z? ? 0 x x ? ? 2 y ? 2 z ? z?y ? 2 ? 4 z?y ? 0由函数取极值的必要条件知,驻点为 P (1,?1) ,将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 将 P (1,?1) 代入原方程,1 A ? z?? |P ? , xx 2? z1 ? B ? z?? |P ? 0, C ? z?yy |P ? , xy 2? z 1 2 ? 0 ( z ? 2) , 故 B ? AC ? ? 2 (2 ? z ) 有 z1 ? ? 2 , z 2 ? 6 , 将 P (1,?1) 代入原方程,1 当 z1 ? ?2 时， A ? ? 0 , 4 营口地区成人高等教育 QQ群所以 z ? f (1,?1) ? ?2 为极小值；1 当 z 2 ? 6 时， A ? ? ? 0 , 所以 z ? f (1,?1) ? 6 为极大值. 4求函数 z ? f ( x , y ) 极值的一般步骤：第一步 解方程组f x ( x , y ) ? 0,f y ( x, y) ? 0求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步 定出 AC ? B 的符号，再判定是否是极值.2营口地区成人高等教育 QQ群
3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在 D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值 故一般方法是 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值. 营口地区成人高等教育 QQ群在实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数在区域内部确有最大值（最小值）， 这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以 断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大 值（最小值） z ? f ( x , y ) ? x 2 y(4 ? x ? y ) 例2 求二元函数 D 在直线 x ? y ? 6 ，x 轴和y 轴所围成的闭区域 上的最大值与最小值. 解 如图,y先求函数在D 内的驻点，x? y?6Do营口地区成人高等教育 QQ群 x D解方程组? ( x , y ) ? 2 xy(4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 ? fx ? f y? ( x , y ) ? x 2 (4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 ?且 f ( 2,1) ? 4 ,y得区域D 内唯一驻点( 2,1) ,再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值，在边界 x ? 0 和 y ? 0 上 f ( x , y ) ? 0 ,在边界 x ? y ? 6 上，即 y ? 6 ? xox? y?6x? 于是 f ( x , y ) ? x (6 ? x )(?2)由 f x ? 4 x ( x ? 6) ? 2 x ? 0 , ,22得 x1 ? 0, x2 ? 4f (4,2) ? ?64,? y ? 6 ? x | x ?4 ? 2,比较后可知 f ( 2,1) ? 4 为最大值, f ( 4,2) ? ?64 为最小值.营口地区成人高等教育 QQ群
x? y 例 3 求z ? 2 的最大值和最小值. 2 x ? y ?1解由 zx ?( x ? y ? 1) ? 2 x( x ? y ) ? 0, 2 2 2 ( x ? y ? 1)2 2 2 2( x ? y ? 1) ? 2 y( x ? y ) zy ? ? 0, 2 2 2 ( x ? y ? 1)1 1 1 1 , ) 和( ? ,? ) , 得驻点( 2 2 2 2 x? y ?0 因为 lim 2 2 x?? x ? y ? 1 y??即边界上的值为零.营口地区成人高等教育 QQ群
1 1 1 z( , ) ? , 2 2 21 1 1 z(? ,? ) ? ? , 2 2 21 1 所以最大值为 ，最小值为? . 2 2无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．营口地区成人高等教育 QQ群
拉格朗日乘数法 要找函数 z ? f ( x , y ) 在条件? ( x , y ) ? 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ) ， 其中? 为某一常数，可由? f x ( x , y ) ? ?? x ( x , y ) ? 0, ? ? f y ( x , y ) ? ?? y ( x , y ) ? 0, ? ? ( x , y ) ? 0. ? 解出 x , y , ? ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.营口地区成人高等教育 QQ群
一些较简单的条件极值问题可以把它转化为 无条件极值来求解――降元法，但这种方法需要 经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就 不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法 是 Lagrange乘数法――升元法 求 z = f ( x , y ) 在条件? ( x , y ) ? 0下的极值 其几何意义是 在曲线L : ? ( x , y ) ? 0上求一点( x0 , y0 )使f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ) 或f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 )其中点 ( x , y 营口地区成人高等教育 QQ群 ) 在曲线 L 上假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点在(x0 , y0 ) 的某个邻域内f( x , y )可微? x ,? y连续 且不同时为0 不妨设 ? y ? 0于是 ? ( x , y ) ? 0确定了一个隐函数y = y(x)故 z= f [x , y(x)]在P(x0 , y0)处取得极值故dz 即 P? 0 dx f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x , y0 ) y?( x0 ) ? 0营口地区成人高等教育 QQ群 又由隐函数的微分法知dy ? x ( x0 , y0 ) P ?? dx ? y ( x0 , y0 )代入上式f y ( x0 , y0 ) f x ( xo , yo ) ? ? x ( x0 , y0 ) ? 0 ? y ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 令 ??? 得 ? y ( x0 , y0 )P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为f x ( x0 , y0 ) ? ?? x ( x0 , y0 ) ? 0 f y ( x0 , y0 ) ? ?? y ( x0 , y0 ) ? 0? ( x0 , y0 ) ? 0营口地区成人高等教育 QQ群
zz=f(x,y)o..营口地区成人高等教育 QQ群 yLxP条件极值点M无条件极值点拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u ? f ( x , y , z , t ) 在条件 ? ( x , y , z , t ) ? 0 ，? ( x , y , z , t ) ? 0 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) ? f ( x , y , z , t ) ??1? ( x , y , z , t ) ? ?2? ( x , y , z , t )其中?1 , ?2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标.营口地区成人高等教育 QQ群
例4x y z 求内接于椭球 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c222的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第 一卦限的顶点的坐标为( x , y , z ) 则长方体的体积为V=8xyzx y z 令 F ? xyz ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 1) a b c2x Fx ? yz ? ? 2 ? 0 a 2z Fz ? xy ? ? 2 ? 0 c2222y Fy ? xz ? ? 2 ? 0 bx2 y2 z2 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c营口地区成人高等教育 QQ群
三式相加得 3 xyz ? ?2?a b c 解得 x ? ,y? ,z ? 3 3 3 2x 2y 或 yz ? ? ? 2 xz ? ? ? 2 a b 2 2 2 x2 z2 y b x x y 两式相除 ? 2 ? 2 ? 2 同理 2 ? 2 a c x a y a b即x2 y2 z2 ? 2? 2 2 a b ca b c ,y? ,z ? 代入解得 x ? 3 3 3营口地区成人高等教育 QQ群
解二任意固定 z0 (0& z0 & c )先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆x2 22 ? z0 ? ?a 1 ? 2 ? c ? ? z ? z0?y2 22 ? z0 ? ?b 1 ? 2 ? c ? ??1边平行于 x,y 轴的长方形 当长方形的边长分别为2 2 2 z0 2 z0 2 ? a 1 ? 2 ,2 ? 营口地区成人高等教育 QQ群 b 1 ? 2 （一元函数极值问题） 2 2 c c
长方形面积最大得到高为 2z0 的长方体中最大体积为 2 2 z0 z0 V ( z0 ) ? 4ab(1 ? 2 ) z0 V ?( z0 ) ? 4ab(1 ? 3 2 ) c c c z0 ? V( z0 ) 最大 3 a b c 这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为 ( , , )x y z 作变换 X ? ,Y ? , Z ? a b c 2 2 2 问题变成在 X ? Y ? Z ? 1 下求 XYZ 的最大值 1 易知为立方体 ? X ? Y ? Z ? a b c 3 ?x? , y ?营口地区成人高等教育 QQ群 ,z ? 3 3 333解三解四 即求 x ? y ? z 的最大值 2 2