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　　导数与微分是考研数学高数中的一个重要的知识点，伴随着的出炉，一些没有赶上18年考研的学子们将要开始了，小编为各位学子梳理了一些关于考研数学高数的知识点，希望可以帮助各位成功通过19年考研，以下正文内容。
　　1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
　　3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
　　4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
　　文都考研会及时为考生们提供、、、、等信息，来帮助征战2019考研的考生。关注文都考研网【】，了解更多有关考研的相关内容。2019考研路，有你有文都。
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第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版
第二章 &导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.本节主要内容1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 & 3 左右导数4 用导数计算导数 5 导数的几何意义6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、 引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度v?limt?t0f(t)?f(t0)t?t0；引例2 平面曲线的切线k?lim &二、 导数的定义：f(x)?f(x0)x?x0.x?x0f?(x0)?limy?xlimx?0f(x0??x)?f(x0)xx?0注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值y?x是函数y在以x0和x0??x为端点的区间上的平均变化率，而导数y?|x?x则是函数y在点x0处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. & 三、左右导数: & & & & &f?'(x0)?lih?0f(x?h)?hf(x?h)?hf(x)f?'(x0)?lih?0f(x)定理1 &函数y?f(x)在点x0处可导的充要条件是：函数y?f(x)在点x0处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数:根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： & ?y?f(x??x)?f(x);2． 求两增量的比值： 3． 求极限 &y??limx?0y?x.f(x??x)?f(x)x;y?x五、导数的几何意义:'函数y?f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即'， & & &f(x0)?tan其中?是切线的倾角。如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x轴的直线x?x0为极限位置，即曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0.六、函数的可导性与连续性的关系定理2 &如果函数y?f(x)在点x0处可导，则它在x0处连续.注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数y?10x2在x??1处的导数. 解：f'(?1)?limf(?1??x)?f(?1)x?0xx)210(?1)2lim10(?1? ?x?0x210?2?0x?1?0x?10?lxi?0?x20?x?1?0x2lxi?0?xl. xi?m0(2?0?1x0??)20例2 &试按导数定义观察下列各极限，指出A表示什么(假设各极限均存在). & &(1) limf(x0??x)?f(x0)x?0xA; & (2) limf(x0?h)?f(x0?h)A. h?0h解：（1） A?limf(x0??x)?f(x0)x?0xlim[?f(x0??x)?f(x0)x?0x]limf[x0?(??x)]?f(x0)??xf'(x)；x?00 & （2） &A?limf(x0?h)?f(x0?h)hh?0lim[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)]h?0hlimf(x0?h)?f(x0)hlimf(x0?h)?f(x0)h?0h?0hf'(x?[?f'(x'0)0)]?2f(x0).用定义计算导数例3 求函数f(x)?C(C为常数)的导数. 解： f'(x)?limf(x??x)?f(x)limC?C?0；x?0xx?0x例4 设函数f(x)?sinx, 求(sinx)?及(sinx)?|x?.4解: &f'(x)?limf(x??x)?f(x)x1?x2coxs?(x2x?0=limsin(x??x)?sin(x)xx?0li?x?0xi n2xsin)?xlimcoxs?(??x?0?x22xc os(sinx)?|x?4＝cos42例5 求函数y?xn(n为正整数)在x?a处的导数. 解： f(a)?limx?a'f(x)?f(a)x?an?1x?alimx?ax?an1nnx?an1limx(?axn?2a?)na例6 求函数f(x)?ax(a?0,a?1)的导数. 解： f(x)?limx'f(x?h)?f(x)hhh?0limax?haxh?0ha?1x & & & & &?ali?alnah?0h例7 求函数 y?logax?a?0,a?1?的导数解： f(x)?lim & & & & &?lim'f(x?h)?f(x)1hhx?hxh?0limloga(x?h)?logaxhhh?0h?0logalimh?01xloga(1?) xhx1xlog(?1alimh?0hh)x?1xlnax1?例8 &求y?cosx在点?,?处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方32?程.解：切线斜率y故在?,'x?3sinxx?3sin32，1?1?y???x?)；处，切线方程为：?22332??2?3法线斜率：－?(1/?法线方程：y?左右导数例9 &函数 f(x)??12??3x?3)sinx,?x,x?0x?0，求f'x?.解：当x?0时， & & & & & &f'f(x)?f(0)?(0)?lim?limsinx?1x??0xx??0x & & & & & f'f(x)?f(0)(0)?limx?0limx?1x??0x??0x由f'?(0)?f'?(0)?1知f'?0??1cosx,x?0故f'x????1,x?0，即f'x???cosx,x?0?1,x?01,x?0例10 已知f(x)???x2,x?0，求f''x,x?0?(0),f?(0)解： &f'f(x)?f(0)?x?0?(0)?limx?lim??1x??0x??0x2f'(0)?f(x)?f(0)x??x?l?i0x?0x??l0xx?0xl?im 0由于f'?(0)?f'?(0),所以f'(0)不存在。例11 讨论函数f?x??sinx在x?0处的连续性与可导性. 解：因为limf(x)?lim??0sinx?0x??0x & & & &lim??0f(x)?limx??0(?sinx)?0x & & & &f(0)?si?0 0所以xlim??0f(x)?xlim??0f(x)?f(0)，于是f?x??sinx在x?0处连续f'f(x)?f(0)?(0)?limxlimsinx?0??1x??0x??0x & & & &f'limf(x)?f(0)limsinx?0(0)?x?0x1x??0x??0由于f''(0)?f?(0),所以f?x??sinx在x?0处不可导。例12 讨论f(x)???x2sin1x,x?0在x?0处的连续性与可导性.0,x?0解：因为limf(x)?limx2sin1?0?f(0)x?0x?0x所以函数在x?0处连续。 21又由f'(0)?limf(x)?f(0)xsin?01x?0xlimx?0xlimx?0xsinx0所以函数在x?0处可导。 例13设函数f?x????x2,x?1a1?ax?b,x?1,问,b取何值时，f?x?在x?连续且可导.解： f(1?0)?xlim?1?0f(x)?limx2x?1?01；的字头S拉长。他的这个符号，以及微积分的要领和法则一直保留到当今的教材中。莱布尼兹也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各自独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动，”正象印度——阿拉伯数学促进算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼兹的巧妙符号功不可灭。除积分、微分符号外，他创设的符号还有商“a/b”，比“a:b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“?”以及函数和行列式等符号。牛顿和莱布尼茨对微积分都作出了巨大贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有求积概念，后有导数概念。除此之外，牛顿与莱布尼兹的学风也迥然不同。作为科学家的牛顿，治学严谨。他迟迟不发表微积分著作《流数术》的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。但作为哲学家的莱布尼兹比较大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在发表的时间上，莱布尼兹却早于牛顿三年。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。然而在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆。争论双方停止学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼兹的微积分符号和技巧，致使英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。一场旷日持久的争论变成了科学史上的前车之鉴。莱布尼兹的科研成果大部分出自青年时代，随着这些成果的广泛传播，荣誉纷纷而来，他也越来越变得保守。到了晚年，他在科学方面已无所作为。他开始为宫廷唱赞歌，为上帝唱赞歌，沉醉于研究神学和公爵家族。莱布尼兹生命中的最后7年，是在别人带给他和牛顿关于微积分发明权的争论中痛苦地度过的。他和牛顿一样，都在终生未娶。日，莱布尼兹默默地离开人世，葬在宫廷教堂的墓地。戎马不解鞍，铠甲不离傍。冉冉老将至，何时返故乡？ 神龙藏深泉，猛兽步高冈。 狐死归首丘，故乡安可忘！第二节 函数的求导法则要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维活动.-------F. 莱布尼茨求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.本节主要内容1 导数的四则运算法则2 反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3 复合函数的求导法则4 初等函数的求导法则：5 双曲函数与反双曲函数的导数讲解提纲：一、 导数的四则运算法则：定理1 &如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且 （1） ?u(x)?v(x)??u(x)?v(x)；'''（2） ?u(x)v(x)??u(x)v(x)?u(x)v(x)；'''u(x)?u(x)v(x)?u(x)v(x)（3） ? & (v(x)??2v(x)v(x)??'''0 )二、 反函数的导数：定理2 &反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、复合函数的求导法则定理3 &若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为dydxdydxdydududxf?(u)?g?(x)或注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.四、 初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 &反函数的求导法则 &复合函数的求导法则五、双曲函数与反双曲函数的导数例题选讲：导数的四则运算法则的应用例1 求y?2x3?5x2?3x?7的导数.解： & & y'?(2x3?5x2?3x?7＝')(2x3)'?(5x2)'?(3x)'?(7)'2?3x2?5?2x?3?6x2?10x?3例2 求y?x34cosx?sin?2的导数.解： & & &y'(x34cosx??'22n)x3?4 xsin例3 求y?tanx的导数; & ''解： & & &y'(tanx)'(sinx'cosx)?(sinx)cosx?sinx(cosx)cos2x22cosx?sinx12cos2xcos2xsecx例4 求y?secx的导数;'解： & & &y'?(secx)'(1'(1)cosx?1?(cosx)'cosx)?cos2xsinxcos2xsecxtaxn例5 求y?ex(sinx?cosx)的导数.解： & & y'[ex(sinx?cosx)]'ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx) & & & & & & ?2excoxs反函数的导数例6 求函数y?arctanx的导数.解： & & y'?(arctanx)'?11(tany)'sec2y但sec2y?1?tan2y?1?x2，从而：(arctaxn'11?x2例7 求函数y?logax的导数. 解： & & &y'(log'11ax)?(ay)'aylna1xlna复合函数的求导法则1例8 求函数y?esinx的导数.111解： & & &y'?(esix)'exn?(s1'x)?exsin?1xo1'x()1si1x1x2e?cosx例9求函数y?. 解：y'?)'13(1?x22?23)?(?1x2 2')例10 求函数y?lnsinx的导数.解： & & &y'?(lnsixn')1sinx(sxi?'ncoxssixn xcot例11 求函数 y?ex3的导数.解： & & &y'?(ex3)'?ex3(x3)'?3x2xe 3例12 求函数y?lncos(ex)的导数. 解： & & &y'?(lncoesx(')1xcose(x)[eco s'()]sine(xcose(xe)x)extan(ex)例13 设 f?x??sinx?cosx, 求 f?????6?. ?解： & & f'x??(sinx?cosx)'?cosx?sinxf????6?cos?sin??662例14设 ???sin??1d?2cos?,求 d?.4解： & & &?'(?sin??1cos?)'2sin???cos??12sin?12sin???co?sd?d?1?2sin44cos442)4例15 已知f(x)可导，求函数y?f(x2)的导数.解： & & y'?[f(x2)]'2xf'(x 2)例16 求导数: y?f(sin2x)?f(cos2x) 且 f?x?可导. 解： & &y'[f(si2nx?)f(c2oxs ')] & & & & &?2sinxcoxsf'(2six?n)2xcosx'fsin2x(c & & & & &?2sinx2f'[(2sixn?f)'2(cx os)]双曲函数与反双曲函数的导数os)例17 求函数y?shx的导数. e?e解： & &y?(shx)?2课堂练习1. 求下列函数的导数:''xx)'e?e2x?xchx(1) y?arcsin(2)y?2. 若f?u?在u0不可导, u?g?x?在x0可导, 且u0?g?x0?, 则f?g?x??在x0处（ &）. & & & &(1) 必可导; & & & (2) 必不可导; & & & &(3) 不一定可导.3. 设F(x)?g(x)?(x)，?(x)在x?a处连续但是不可导，g'(a)存在，则g(a)?0是F(x)在x?a处可导的（ &）条件.(1) 充要; & & & &(2) 必要非充分; & & & &(3) 充分非必要. & &（4）非充分非必要 4. 直线l与x轴平行且与曲线y?x?ex相切，则切点为（ &）（1）(1,1) & & &（2）(?1,1) & & & & & （3）(0,1) & & & & （4）(0,?1)第三节 高阶导数根据本章第一节的引例1知道，物体作变速直线运动，其瞬时速度v(t)就是路程函数s?s(t)对时间t的导数，即v(t)?s?(t). 根据物理学知识，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度?(t)，即?(t)是v(t)对于时间t的导数，(t)?v?(t)?[s?(t)]?.于是，加速度?(t)就是路程函数s(t)对时间t的导数的导数，称为s(t)对t的二阶导数，记为s??(t). 因此，变速直线运动的加速度就是路程函数s(t)对t的二阶导数，即(t)?s??(t).本节主要内容1 高阶导数的定义2 计算高阶导数的方法3 高阶导数的运算法则4莱布尼茨公式讲解提纲：一、 高阶导数的概念定义1 &如果函数f(x)的导数f?(x)在点x处可导, 即(f?(x))??limx?0f?(x??x)?f?(x)x存在, 则称(f?(x))?为函数f(x)在点x处的二阶导数, 记为y(n)?(ex)n()x?e例6求幂函数y?x?,?为任意常数的n阶求导公式. 解： & & & &y???x??1,y????(??1)x2，32x)y?????(??1)?(?一般地有 & &y(n)??(??1)(??2)?(??n?1)x??n例7求y?ln(1?x)的n阶导数. 解： & & &y?ln(?1x，) &y?? & & & & &y????1?2(1?x)311?x， & &y????1?2?31(1?x)2， &y(4)??(n(1?x)n4一般地， &y(n)?[ln(?1x例8 设y?x2e2x, 求y(20).)]??()(1n?1)!n(1?x)解： & 设u?e2x，v?x2，则u(k)?2ke2x，v??2x， & v???2， &v(k)?0(k?3,4?,代入莱布尼茨公式，得 & & & & y(20)2 !x182(xe2x)2(20)2ex20x?22?02e2xx?219e2? 2220ex2(x?20x?9 5)2例9 设f??(x)存在，求y?f(x2)的二阶导数 解： & &y??2xf?(2x)222y???2f?(x)?4xf??(x )课堂练习1. 求函数y?xcosx的二阶导数.2.设函数y?10，求yx(n)(0).ax2?bx?c,3. 设f(x)??ln(1?x),x?0x?0，在点x?0处有二阶导数，试确定a,b,c的值.第四节 隐函数的导数 &对数求导法参数方程表示的函数的导数本节主要内容1 隐函数的导数2 对数求导法3 由参数方程所确定的函数的导数 &4 极坐标表示的曲线的切线 5 相关变化率讲解提纲：一、隐函数的导数假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式F(x,f(x))?0dydx利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数是隐函数求导法.，这就二、 对数求导法：形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. & 三、参数方程表示的函数的导数设?x??(t)?y??(t)，x??(t)具有单调连续的反函数t???1(x), 则变量y与x构成复合函数dy关系y??[??1(x)]. 且dy. dxdxdt四、 极坐标表示的曲线的切线设曲线的极坐标方程为r?r(?).利用直角坐标与极坐标的关系 x?rcos?，y?rsin?，可写出其参数方程为x?r(?)sin?， ?y?r(?)sin??其中参数为极角?. 按参数方程的求导法则，可得到曲线r?r(?)的切线斜率为 & & & & & & & & & & & & y??dydxy??x?r?(?)sin??r(?)cos?r?(?)cos??r(?)sin?.五、相关变化率： 设x?x(t)及y?y(t)都是可导函数, 如果变量x与y 之间存在某种关系, 则它们的变化率dxdt与dydt之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例题选讲：隐函数的导数例1 求方程e?e?xy?0 所确定的隐函数y的导数 &解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y?y(x) 方程左边对x求导得ddx(e?e?xy)?eyyydydxy?xdydx方程右边对x求导得 & & & & & (0?)? 0由于等式两边对x的导数相等，所以 & & & &eydydydxy?dx0从而dydxyx?ey,(x?ey0 )例2求由下列方程所确定的函数的二阶导数.x?y?12siny?0解：应用隐函数的求导方法得 & & & & & &1?y??12cosy??y 0于是 & & & y??22?coys上式两边再对x求导，得y????2siny?y??4siny(2?cosy)2?(2?cosy)32例3 求方程x216?y91在点M处的切线方程.解：由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为k?y?x?2椭圆方程的两边分别对x求导，有x8?29y?y??0从而 & & &y???9x16y当x?2时，y?k?y?x?2??4于是所求的切线方程为y???4x?2)即4y??例4 求由方程y5?2y?x?3x70所确定的隐函数在x?0处的导数 解： &方程的两边分别对x求导，有5y4y??2y??1?21x60 由此得6y??1?21x5y42因为当x?0时，从原方程得y?0，所以 & & & & & &y?1x?0?2对数求导法例5 设 y?xsinx(x?0), 求 y?.解： &这函数是幂指函数，为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得 & & & & & & & & lny?sin x?lxn上式两边对x求导，有11y??cosxlnx?sinx? yx & &于是， & & &y??y(cosxlnx?1si?x)sixn(coxslxn?1sxi? )x例6设y?, &求 y?.解：先在两边取对数（假定x?4），得 & & & & & lny?12[lnx(?1?)xln?(2)xl?n(?上式两边对x求导，有111111yy??2(x?1?x?2?x?3?x?4)于是 & & &y??y12(x?1?1x?21x?31x?4)当x?1时，y?))当2?x?3时，y?用同样的方法可得与上面相同的结果。参数方程表示的函数的导数例7 求椭圆方程 ?x?acost? 在t??的切线方程.y?asint4解： 当t??4时，椭圆上的相应点M0的坐标是：x?0?aco42y?0?bsi42曲线在点M0的切线的斜率为：dy(bsint)?bcostdxt?(acost)?b4t?asintt?a44代入点斜式方程即得椭圆在点M0处的切线方程：y?2ba(x?2化简后得ba?ay??0x3x)? ln(4)]例8 求由摆线表示的参数方程x?a(t?sint)y?a(1?cost)?所表示的函数y?y(x)的二阶导数.dydyasinttdt??co dxdxa(1?cots)2dt2解：t111(co????2dxtdxdt2(a1?cost)22sindt21,(t?2n?,n?Z )2a(1?cots)dyd例9 如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹的参数方程为x?v1t,??12 ?y?v2t?gt,2?求时刻t抛射体的运动速度的大小和方向.解：先求速度的大小：由于速度的水平分量为铅直分量为dydtv2?gt dxdt?v1，所以抛射体运动速度的大小为v?再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向设?是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得dyv?gtdytan ????2dxdxv1dt所以，在抛射体刚射出时（即t?0）vt?0?2 & & & & & & tanv12当t?v2g时，t?v2gtan??， 0这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。 & &相关变化率例10 一气球从离开观察员500米处离地面沿直上升, 其速率为140米/分. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少?解：设气球上升ts（秒）后，其高度为h，观察员视线的仰角为?，则本节主要内容1 2 3 4 5 6 7 8微分的定义 可微的条件 & 基本微分公式微分的四则运算法则 微分的几何意义 &复合函数的微分法 & 微分近似计算公式 &误差计算讲解提纲：一、 微分的定义：定义1 &设函数y?f(x)在某区间内有定义, x0及x0??x在这区间内, 如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)可表示为y?A??x?o(?x) & & & & & & &(1)其中A是与?x无关的常数, 则称函数y?f(x)在点x0可微, 并且称A??x为函数y?f(x)在点x0处相应于自变量改变量?x的微分, 记作dy, 即dy?A??x & & & & & & & & &(2) & 二、函数可微的条件：函数y?f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数y?f(x)在点x0可导，且当y?f(x)在点x0可微时，其微分一定是：dy?f?(x)dx & & & & & & & &(3)dydxf?(x)(4)即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”. 三、 微分的几何意义：在直角坐标系中，函数y?f(x)的图形是一条曲线，对于某一固定的x0值，曲线上有一个固定的点M(x0,y0)，当自变量x有微小增量?x时，就得到曲线上另一点N(x0??x,y0??y)。过点M(x0,y0)和x0??x分别作平行于x轴和y轴的直线相交于Q点，则： MQ??x； &QN??y过点M(x0,y0)作曲线的切线MT，它的倾角为?，则'tan???x?f(0x) & & QP?MQ，即 & & & & & & dy?QP由此可见，对于可微函数y?f(x)而言，当?y是曲线y?f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当?x?y?dy比?x小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。四、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则1． 基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式。为了便于对照，列表于下：2函数的和、差、积、商的微分法则由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应得微分法则。为了便于对照，列成下表（表中u?u(x),v?v(x)都可导）。五、微分形式不变性：无论u是自变量还是复合函数的中间变量, 函数y?f(u)的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有dy?f?(u)du这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. &六、利用微分进行近似计算：'当f(x0)?0时，有limydyx?0limyf(x0)?x'x?01f(x0)'x?0limy?x1从而，当?x?0时，?y与dy是等价无穷小，这时有 & & & & & & ?y?dy?o(dy)'即dy是?y的线性主部。又由于dy?f?(x)?x是?x的线性函数，所以在f(x0)?0的条'件下，我们说dy是?y的线性主部（当?x?0时）。于是我们得到结论：在f(x0)?0的条件下，以微分dy?f?(x)?x近似代替增量?y?f(x0??x)?f(x0)时，其误差为o(dy)。因此，在?x很小时，有近似等式：y?dy. & & & & & & & & & & & (5)例题选讲：微分的定义3例1求函数y?x当x?2，?x?0.02时的微分. 解：先求函数在任一点的微分dy?f?(x)?x?(x)?x?3x?x 再求函数当x?2，?x?0.02时的微分 & & & &dyx?2x?0.023'23x?x2x?2x?0.023?2?0.02?0.2422例2 求函数y?x在x?1和x?3处的微分.解： 函数y?x2在x?1处的微分为dy2x?1(x)'x?1x?2?x;在x?3处的微分为 &dy2x?3(x)'x?3x?6?x.基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3 设y?xsin2x, 求dy.解： & dy?d(xsin2x?)sinx2d?xxd(s inx & & & & &sinx2dx?2xcosx2d?x(si?nx2x2c oxsdx例4 求函数y?e1?3xcosx的微分. 解：应用积的微分法则，得dy?d(1?e3xcosx?)cosxd1?(xe3?)?1xe3d(c oxs)(coxse1)3x(dx3?e)1x3(xsdxin)e1?3x(3cosx?sinx)dx & &微分形式的不变性例5 求函数y?sin(2x?1)的微分.解：把2x?1看成中间变量，则 & & & dy?d(sinu?)cousd?ucos?(x2d1)?x (2cos(x2?1?)dx2?2coxs?(2dx例6 设y?ln2(1?x), 求dy.解： &dy?2ln(?1xd)ln?(1x?)2?ln?11?x) dx2x?1ln(?1xd)x例7已知y?求dy.解：dy?＝dx3(x21)2例8 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()? (2) d()?cos?解：（1） 我们知道，d(x2)?2可见，xdx?12x22d(x)?d(2);即 & &d(x22)?（2）因为d(si?nx?)?co?sxd x可见，cos?xdx?11d(sin?x)?d(sin?x);即 & & d(1si?nx?)c?osxd x;一般地，有 & & & &d(si?nx?C?)c?osxdx (C为任意常数)。利用微分进行近似计算例9 有一批半径为1厘米的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米，估计一下每只球需用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm）？解：先求出镀层的体积，再乘上密度就得到每只球需用铜的质量。因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积V?得增量?R时得增量?V。我们求V对R的导数：43'2V'?(?R)?4?R，R?R03R?R0于是 &?V?4?R02?R将 R?1，?R?0.01代入上式，得V?4?3.14?12?0.01?0.13(cm3) 于是镀每只球需用的铜约为 & & &0.1?38?.91g.1 6例10 计算sin30?30?的近似值. 解：把30?30?化为弧度，得303?0??6431R当R自R0取3360由于所求的是正弦函数的值，故设f(x)?sinx.此时f'(x)?cosx.如果取x0?则f(6)?sin6,612'?与f()?cos?66?2?)都容易计算，并且?x?n?6360比较小，所以有：sin3?0?3?0sin?6360o 63601223600.6?0.5076例11.05解：这里x?0.05，其值较小，利用近似公式，得课堂练习1120.0?51 .0251.求函数y?arcsindy. 解：dy?(arcsindx?'dx'第二章 &导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.本节主要内容1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 & 3 左右导数4 用导数计算导数 5 导数的几何意义6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、 引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度v?limt?t0f(t)?f(t0)t?t0；引例2 平面曲线的切线k?lim &二、 导数的定义：f(x)?f(x0)x?x0.x?x0f?(x0)?limy?xlimx?0f(x0??x)?f(x0)xx?0注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值y?x是函数y在以x0和x0??x为端点的区间上的平均变化率，而导数y?|x?x则是函数y在点x0处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. & 三、左右导数: & & & & &f?'(x0)?lih?0f(x?h)?hf(x?h)?hf(x)f?'(x0)?lih?0f(x)定理1 &函数y?f(x)在点x0处可导的充要条件是：函数y?f(x)在点x0处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数:根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： & ?y?f(x??x)?f(x);2． 求两增量的比值： 3． 求极限 &y??limx?0y?x.f(x??x)?f(x)x;y?x五、导数的几何意义:'函数y?f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即'， & & &f(x0)?tan其中?是切线的倾角。如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x轴的直线x?x0为极限位置，即曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0.六、函数的可导性与连续性的关系定理2 &如果函数y?f(x)在点x0处可导，则它在x0处连续.注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数y?10x2在x??1处的导数. 解：f'(?1)?limf(?1??x)?f(?1)x?0xx)210(?1)2lim10(?1? ?x?0x210?2?0x?1?0x?10?lxi?0?x20?x?1?0x2lxi?0?xl. xi?m0(2?0?1x0??)20例2 &试按导数定义观察下列各极限，指出A表示什么(假设各极限均存在). & &(1) limf(x0??x)?f(x0)x?0xA; & (2) limf(x0?h)?f(x0?h)A. h?0h解：（1） A?limf(x0??x)?f(x0)x?0xlim[?f(x0??x)?f(x0)x?0x]limf[x0?(??x)]?f(x0)??xf'(x)；x?00 & （2） &A?limf(x0?h)?f(x0?h)hh?0lim[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)]h?0hlimf(x0?h)?f(x0)hlimf(x0?h)?f(x0)h?0h?0hf'(x?[?f'(x'0)0)]?2f(x0).用定义计算导数例3 求函数f(x)?C(C为常数)的导数. 解： f'(x)?limf(x??x)?f(x)limC?C?0；x?0xx?0x例4 设函数f(x)?sinx, 求(sinx)?及(sinx)?|x?.4解: &f'(x)?limf(x??x)?f(x)x1?x2coxs?(x2x?0=limsin(x??x)?sin(x)xx?0li?x?0xi n2xsin)?xlimcoxs?(??x?0?x22xc os(sinx)?|x?4＝cos42例5 求函数y?xn(n为正整数)在x?a处的导数. 解： f(a)?limx?a'f(x)?f(a)x?an?1x?alimx?ax?an1nnx?an1limx(?axn?2a?)na例6 求函数f(x)?ax(a?0,a?1)的导数. 解： f(x)?limx'f(x?h)?f(x)hhh?0limax?haxh?0ha?1x & & & & &?ali?alnah?0h例7 求函数 y?logax?a?0,a?1?的导数解： f(x)?lim & & & & &?lim'f(x?h)?f(x)1hhx?hxh?0limloga(x?h)?logaxhhh?0h?0logalimh?01xloga(1?) xhx1xlog(?1alimh?0hh)x?1xlnax1?例8 &求y?cosx在点?,?处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方32?程.解：切线斜率y故在?,'x?3sinxx?3sin32，1?1?y???x?)；处，切线方程为：?22332??2?3法线斜率：－?(1/?法线方程：y?左右导数例9 &函数 f(x)??12??3x?3)sinx,?x,x?0x?0，求f'x?.解：当x?0时， & & & & & &f'f(x)?f(0)?(0)?lim?limsinx?1x??0xx??0x & & & & & f'f(x)?f(0)(0)?limx?0limx?1x??0x??0x由f'?(0)?f'?(0)?1知f'?0??1cosx,x?0故f'x????1,x?0，即f'x???cosx,x?0?1,x?01,x?0例10 已知f(x)???x2,x?0，求f''x,x?0?(0),f?(0)解： &f'f(x)?f(0)?x?0?(0)?limx?lim??1x??0x??0x2f'(0)?f(x)?f(0)x??x?l?i0x?0x??l0xx?0xl?im 0由于f'?(0)?f'?(0),所以f'(0)不存在。例11 讨论函数f?x??sinx在x?0处的连续性与可导性. 解：因为limf(x)?lim??0sinx?0x??0x & & & &lim??0f(x)?limx??0(?sinx)?0x & & & &f(0)?si?0 0所以xlim??0f(x)?xlim??0f(x)?f(0)，于是f?x??sinx在x?0处连续f'f(x)?f(0)?(0)?limxlimsinx?0??1x??0x??0x & & & &f'limf(x)?f(0)limsinx?0(0)?x?0x1x??0x??0由于f''(0)?f?(0),所以f?x??sinx在x?0处不可导。例12 讨论f(x)???x2sin1x,x?0在x?0处的连续性与可导性.0,x?0解：因为limf(x)?limx2sin1?0?f(0)x?0x?0x所以函数在x?0处连续。 21又由f'(0)?limf(x)?f(0)xsin?01x?0xlimx?0xlimx?0xsinx0所以函数在x?0处可导。 例13设函数f?x????x2,x?1a1?ax?b,x?1,问,b取何值时，f?x?在x?连续且可导.解： f(1?0)?xlim?1?0f(x)?limx2x?1?01；转载请保留出处，http://www.doczj.com/doc/4cb90d6c85c71b.html
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