----> 代数及其相关的运算规则
代数及其相关的运算规则
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&&&&第1章矢量代数与矢量微积分&&&&§1.1矢量代数&&&&本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多，我们这里只介绍Matlab算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。&&&&&&&&§1.1.1矢量与矢量代数运算&&&&矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量，角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。图1-1表示的位移矢量AB的例子，它只表示物体从A点运动到B点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从A点到达B点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某点A到点B，然后又从点B到点C，那么物体运动从点A到点C的净位移是矢量AB和BC的矢量和，如图1-2。图1-1相同起始位置A和&&&&B不同路径的位移矢量&&&&&&&&图1-2（a）矢量AC是矢量AB与BC的矢量和（b）等价的矢量图图1-2中的矢量和关系可以表示为矢量方程&&&&&&&&s=a+b。&&&&&&&&(1.1.1)&&&&&&&&矢量加减法运算规则&&&&（1）交换律矢量关系见图1-3，而数学表达则为&&&&&&&&a+b=b+a&&&&&&&&(1.1.2)&&&&&&&&图1-3两矢量求和可交换顺序（2）结合律其矢量关系见图1-4&&&&&&&&(a+b)+c=a+(b+c)&&&&&&&&(1.1.3)&&&&&&&&图1-4三矢量和的结合律（3）矢量减法矢量?b定义为其大小等于矢量b但是方向相反，如图1-5。&&&&&&&&图1-5矢量?b与矢量b&&&&&&&&图1-6矢量减法用矢量加法表示&&&&&&&&加一矢量?b等价于减去矢量b。所以，定义矢量减法为（见图1-6）&&&&&&&&d=a?b=a+(?b)&&&&矢量分量表示&&&&&&&&(1.1.4)&&&&&&&&如果考虑一个在x-y平面的二维矢量a，如图1-7所示。分量ax和ay分别为矢量a在x轴和y轴上的投影。根据三角关系，容易得到&&&&&&&&ax=acosθ和ay=asinθ&&&&矢量的大小，也称为矢量的模，记为a≡a，根据三角关系有&&&&&&&&(1.1.5)&&&&&&&&22a=ax+ay以及tanθ=&&&&&&&&ayax&&&&&&&&(1.1.6)&&&&&&&&图1-7(a)矢量a的分量ax和ay；&&&&（b）分量的合成。&&&&&&&&三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示&&&&&&&&?j?图1-8三维矢量图。单位矢量i、?和k按右手定则定义了笛卡尔坐标系。&&&&&&&&?j?如图1-8所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中i、?和k分别为在x、y和z&&&&轴上长度为1个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量a可以用三个单位矢量来表示：&&&&&&&&a=axi+ay?+azkj&&&&&&&&(1.1.7)&&&&&&&&量axi、ay?和azk是矢量a的“矢量分量”j，而ax,ay和az是矢量a的“标量分量”矢。&&&&量a的模是&&&&22a=a=ax+ay+az2&&&&&&&&(1.1.8)&&&&&&&&任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢&&&&&&&&?量a方向的单位矢量为na，则我们可以把a表示为&&&&?a=ana=ana，或者na=&&&&&&&&a。a&&&&&&&&(1.1.9)&&&&&&&&矢量乘法规则及其几何意义&&&&矢量乘法包括标量积和矢量积两种。（1）标量积矢量a和b的标量积定义为&&&&&&&&a?b=abcosφ。&&&&&&&&(1.1.10)&&&&&&&&图1-9(a)两矢量a和b及其夹角φ；(b)一矢量在另一矢量的投影分量&&&&&&&&由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dotproduct）或内积（inner。该式可以改写为product）。(1.1.10)式是读作“a点乘b”&&&&&&&&a?b=(acosφ)(b)=(a)(bcosφ)，&&&&&&&&(1.1.11)&&&&&&&&式中矢量acosφ是a投影到矢量b方向的分量，cosφ是矢量b投影到矢量a方向的分量。b这意味着标量积是可以交换的。所以我们有&&&&&&&&a?b=b?a&&&&用三维矢量的形式，矢量a和b的标量积可以记为&&&&&&&&(1.1.12)&&&&&&&&a?b=axi+ay?+azk?bxi+by?+bzk。jj&&&&根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系：&&&&&&&&(&&&&&&&&)(&&&&&&&&)&&&&&&&&(1.1.13)&&&&&&&&jj?jj?i?i=?=k?k=1;i=k=i?k=0&&&&&&&&(1.1.14)&&&&&&&&即相同单位矢量的标量积为1，不同单位矢量的标量积为0。这个性质可以用一个简洁的关系表示：&&&&&&&&?1,l=kel?ek=δlk=?（l,k=1,2,3）?0,l≠k&&&&&&&&(1.1.15)&&&&&&&&j为方便起见，记el（l=1,2,3）表示单位矢量i、?和k中的任意一个，e1=i,e2=?,以j及e3=k。δlk称为克罗内克Delta（KroneckerDelta）符号。所以，容易证明(1.1.13)式可以&&&&写为&&&&&&&&a?b=axbx+ayby+azbz=∑aibi≡aibi。&&&&i=1&&&&&&&&3&&&&&&&&(1.1.16)&&&&&&&&在上面第二个等式，下指标表示的意义是i=1,2,3对应于a1=ax,a2=ay,a3=az；同样的表示之于b的分量。(1.1.16)式中最后一个等式是物理学中常用的一种标记形式，称为爱因斯坦求和规则，即重复指标表示对两个量遍历所有可能指标求和。此处等价于求和i=1,2,3。利用内积的概念，一个矢量在各坐标轴的分量，即为这个矢量在该轴上的投影。所以我们有&&&&&&&&a1=(a?e1),a2=(a?e2),a3=(a?e3),即ai=(a?ei)(i=1,2,3)&&&&所以，我们可以把矢量a表示为&&&&&&&&(1.1.17)&&&&&&&&?a=∑(a?ei)ei=∑aiei&&&&i=1i=1&&&&&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&(1.1.18)&&&&&&&&?从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量a用基矢el来表示。&&&&&&&&（2）矢量积矢量a和b矢量积定义为&&&&&&&&?c=a×b=(absinφ)nc，&&&&&&&&(1.1.19)&&&&&&&&?此处nc是矢量c方向的单位矢量。两矢量的矢量积仍然是一矢量，中间用符号×联系，所&&&&。矢量c的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于a和b以矢量积也称为叉积（crossproduct）所确定的平面。由图&&&&&&&&图1-10矢量积的右手螺旋规则。c垂直于a×b(a)和b×a(b)所确定的平行四边形的平面(c)。叉积a×b的模等于由a和b所确定的平形四边形的面积。尽管按照(1.1.19)式1-10(c)易知，其面积大小是相同的，但是a×b并不等于b×a，它们方向相反。所以叉积不满足交换律。如果记c′=b×a，那么c′=?c，即&&&&&&&&a×b=?b×a&&&&&&&&(1.1.20)&&&&&&&&为了在三维笛卡尔（Cartesian）坐标系统下表示矢量积，我们先看单位矢量的矢量积。根据定义式(1.1.19)，相同的单位矢量的叉积为零，因为同一单位矢量的夹角等于零。比如，&&&&&&&&jji×i=?×?=k×k=0。但是不同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位矢量间的夹角&&&&故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。比如，?×?=k,?×k=i,k×i=?；ij?jj是90度，&&&&&&&&j?j?j而?×i=?k,k×?=?i,i×k=，参考图1-11。&&&&&&&&图1-11单位矢量把这些关系代入下面的矢量积&&&&&&&&a×b=axi+ay?+azk×bxi+by?+bzkjj&&&&逐项相乘，立即可以得到&&&&&&&&(&&&&&&&&)(&&&&&&&&)&&&&&&&&jjc=a×b?cxi+cy?+czk=(aybz?azby)i+(azbx?axbz)?+(axby?aybx)k?i=axbx?jayby?kazbz&&&&(1.1.21)&&&&&&&&比较一下式中c和a×b的分量的下指标，可以发现右边的第一项按照（x,y,z）形成循环的关系，而第二项交换下指标而有一负号；所有的下指标没有重复相同的。而行列式只是依据行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。下面我们引进一个符号来表示叉积的分量之间的关系，这种形式以后对于矢量的运算是很有帮助的。我们记a×b的分量为&&&&&&&&ci=a×b=∑∑εijkajbk&&&&ij=1k=1&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&(1.1.22)&&&&&&&&其中定义&&&&&&&&εijk&&&&&&&&?1,下指标按(1,2,3)顺序排列，或其偶数次对换，?=?0,下指标中有两个或以上相同1,下指标按(x,y,z)的顺序形成奇数次对换?&&&&&&&&(1.1.23)&&&&&&&&εijk称为Levi-Civita反对称张量。改变指标顺序，εijk=εkij=?εikj。事实上，ε123=ε312=ε231=1,而ε213=ε132=ε321=?1。(1.1.22)式也可以去掉求和符号，用爱因斯&&&&坦求和规则记为&&&&&&&&ci=a×b=εijkajbk&&&&i&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(1.1.24)&&&&&&&&这里右边εijk第一个字母表示叉积的第i分量，而a,b的下指标j、k与εijk重复表示自动求和。根据这个关系，(1.1.24)式中的下指标可以取（1、2、3）的任意值。其中1对应x分量，2对应y分量，3对应z分量。如若i=1（即cx分量），这时右边εijk中的i是1。所以j，k只能取2和3，而不能取1；同时j，k的值也不能相同。对于c1，ε1jk可以取ε123=1，即j=2，k=3；和ε132=?1，即j=3，k=2。所以有cx=aybz?azby。其余分量可以如此类推给出。这个符号在物理学物理量的矢量运算关系中是很有用的。下面我们不加证明给出Levi-Civita张量的一个有用的恒等式&&&&&&&&εijkεklm=δilδjm?δimδjl。&&&&（3）混合积&&&&&&&&(1.1.25)&&&&&&&&物理学中许多物理量是以矢量场的形式出现。它们有时出现点积和叉积混合相乘的运算。比如&&&&&&&&?id?a×b=dxi+dy?+dzk?axjbx&&&&&&&&(&&&&&&&&)(&&&&&&&&)&&&&&&&&?jayby&&&&&&&&?dxkaz=axbzbx&&&&&&&&dyayby&&&&&&&&dzazbz&&&&&&&&(1.1.26)&&&&&&&&图1-12矢量混合积几何意义可以证明[见习题1]下面矢量混合积恒等式&&&&&&&&d?a×b=a?b×d=b?d×a&&&&由图1-12容易看出&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(1.1.27)&&&&&&&&d?a×b=absinφ&&&&&&&&(&&&&&&&&)(&&&&&&&&)(dcosθ)，&&&&&&&&这个式子实际上等于如图所示的底面积为absinφ、高为dcosθ的立方体的体积（或体积的负值，决定于是否三矢量构成右手系）。下面的矢量恒等式称为双叉积恒等式&&&&&&&&A×(B×C)=B(A?C)?C(A?B)(A×B)×C=B(A?C)?A(B?C)&&&&&&&&(1.1.28)(1.1.29)&&&&&&&&可以看出，叉积不满足结合律，A×(B×C)≠(A×B)×C。(1.1.28)和(1.1.29)式的证明见习题2。这个关系也说明，叉积中的括号是不能随意去掉或更换。&&&&&&&&?j【例1-1】设矢量A处在x-y平面为i+?，而B处在y-z平面为?+k，如图1-13所示。求j?&&&&矢量A×B的大小和方向。【解】一般计算矢量叉积，可以用行列式公式计算，但是在本例题中因为比较简单，可以直接将乘积展开为&&&&&&&&?jC≡A×B=(i+?)×(?+k)jjj?=i×?+i×k+?×k?j?=k+iA×B的模是A×B=12+(?1)2+12=3，A、B间的&&&&图1-13例1-1&&&&&&&&夹角由内积&&&&&&&&cosθ=&&&&&&&&A?B1=AB2&&&&&&&&?jjj?确定为π/3；C的方向垂直于i+?和?+k，如图1-13所示，由i+k确定。&&&&&&&&§1.2矢量函数与矢量微分&&&&如果对应于标量u的每一个值都联系着一矢量A，则称矢量A为u的函数，记为&&&&&&&&A(u)。在三维空间中可以写成A(u)=A1(u)i+A2(u)?+A3(u)k。若空间的每一点(x,y,z)j&&&&都对应于着一个矢量A，则A是空间点(x,&&&&y,z)的函数，记为&&&&&&&&A(x,y,z)=A1(x,y,z)i+A2(x,y,z)?+A3(x,y,z)k。通常在物理上我们把矢量函数j&&&&&&&&A(x,y,z)称作定义了一个矢量场，因为在给定区域内的每一点都联系着一个矢量。类似地，&&&&对于标量函数φ(x,y,z)，我们说定义了一个标量场，因为在给定区域内的每一点都联系着一个标量函数。&&&&&&&&§1.2.1矢量函数的导数与微分矢量函数导数的基本性质&&&&矢量函数的极限、连续和导数与通常函数的极限、连续和导数的规则类似。下面仅考虑矢量函数的导数的某些基本性质。（1）A(u)的导数定义为&&&&&&&&dA(u)A(u+Δu)?A(u),=limΔu→0duΔu&&&&只要这个极限存在。在三维情况，则&&&&&&&&(1.2.1)&&&&&&&&dA(u)dA1(u)?dA2(u)?dA3(u)?=i+j+kdudududu&&&&高阶导数如&&&&&&&&(1.2.2)&&&&&&&&d2A(u)等，可以类似地定义。du2&&&&&&&&（2）如果A(x,y,z)=A1(x,y,z)i+A2(x,y,z)?+A3(x,y,z)k，则A的微分是j&&&&dA(x,y,z)=?A(x,y,z)?A(x,y,z)?A(x,y,z)dx+dy+dz?x?y?x&&&&(1.2.3)&&&&&&&&偏导数?&&&&&&&&?x&&&&&&&&表示只对矢量函数A(x,y,z)中的变量x求导，而变量y、z则不变；类似的性质&&&&&&&&之于偏导数?&&&&&&&&?y&&&&&&&&和?&&&&&&&&?z&&&&&&&&，其求导规则与普通函数求导规则类似。r&&&&&&&&（3）标量、矢量间乘积的导数&&&&&&&&d(φA)=φdA+dφAx(u),y(u),z(u)dududu?(A?B)=?A?B+AB?x?x?x&&&&?(A×B)=?A×B+A×?B?y?y?y&&&&乘积的导数服从类似于标量函数的导数规则，但要注意，计算叉积时，叉积的次序不能随意改变。&&&&&&&&矢量导数的几何意义&&&&如果是连接坐标原点O和点(x,y,z)的矢量，则矢量函数r(u)定义了x,y和z作为u的函数。当u变化时，r的变化其箭头在坐标轴空间画出一条空间曲线，它的参数方程为。&&&&&&&&图1-14矢量导数几何意义若参量u是从曲线上某点起量的弧长s，则&&&&&&&&dr?≡Tds&&&&是曲线切线方向的单位矢量，称为单位切向量。若u是时间t，则&&&&&&&&(1.2.4)&&&&&&&&dr=vdt&&&&&&&&(1.2.5)&&&&&&&&是r的箭头画出这条曲线的速度。物理学上r(t)通常用于描述质点的位置矢量，dr/dt则而是描述质点运动的速度。由于&&&&&&&&v=&&&&&&&&drdrdsds=?=T=vTdtdsdtdt&&&&&&&&(1.2.6)&&&&&&&&这个式子说明质点运动的速度的方向沿着运动曲线的切线方向，而v显然是质点运动的速率，即速度的模。记住一个矢量总可以表示为该矢量的模与其方向的单位矢量相乘。类似地，&&&&&&&&a≡&&&&&&&&d?dr?dt?dt&&&&&&&&2?dr=2dt&&&&&&&&(1.2.7)&&&&&&&&是质点的速度随时间的变化，为质点运动的加速度。&&&&&&&&【例1-2】一质点沿空间曲线r=r(t)运动，其中t表示时间。若v=&&&&&&&&dvds=是质点速度dtdt&&&&&&&&的大小（s是沿着空间曲线从初始位置起量的弧长）。证明质点的加速度是&&&&&&&&a=&&&&&&&&dv?v2?T+N,dtρ&&&&&&&&其中T和N是空间曲线的单位切向矢量和单位法向矢量，而&&&&d2rρ=2ds&&&&?1&&&&&&&&d2x?2?d2y?2?d2z?2?=2?+?2?+?2dsdsds&&&&&&&&?1/2&&&&&&&&。&&&&&&&&?【解】质点的速度为v=vT=dr/dt，则加速度为&&&&&&&&a=&&&&&&&&?dvddv?dTdv?dTdsdv?2dT?。=vT=T+v=T+v=T+vdtdtdtdtdtdsdtdtds&&&&&&&&()&&&&&&&&?因为T是单位矢量，我们有T?T=1。于是对于s求导数我们有&&&&dT+dT?T=2T?dT=0。T?dsdsds&&&&&&&&也就是说，T与dT/ds相互垂直。用N表示dT/ds方向的单位矢量，有时也称为空间&&&&曲线的主法向矢量，我们有&&&&&&&&?dT?=κN,ds&&&&?其中κ是dT/ds的模。利用(1.2.4)式T=dr/ds，我们有dT/ds=dr/ds，因此&&&&xd2yd2zκ=2=2?+?2?+?2dsdsdsds1/2&&&&&&&&令ρ=&&&&&&&&1&&&&&&&&κ&&&&&&&&，则有&&&&&&&&?dT1?=N,故dsρ&&&&a=dv?v2?T+N。ρdt&&&&&&&&式中dv/dt称为的切向加速度分量，v/ρ为法向加速度分量，或向心加速度；而ρ和κ&&&&2&&&&&&&&分别是空间曲线的曲率半径和曲率。&&&&&&&&§1.2.2梯度、散度和旋度及相关等式&&&&物理学中有不同类型的矢量场和标量场，为了描述这些场的性质，数学上引进一个运算符号?（Del）?在笛卡尔坐标系下的定义如下：。&&&&&&&&++k?≡ij?x?y?z&&&&&&&&(1.2.8)&&&&&&&&若在一区域内，标量函数Φ(x,y,z)和矢量函数F(x,y,z)有连续的一阶导数，则可定义相应的梯度、散度和旋度。&&&&&&&&（1）梯度（gradient）&&&&标量函数Φ的梯度定义为?Φ。在笛卡尔坐标系下梯度为&&&&&&&&?ΦΦΦ?+j+k?Φ=i+j+kgradΦ=?Φ=?i?y?zx?y?zx&&&&&&&&(1.2.9)&&&&&&&&我们下面证明梯度的一个很重要的性质：若Φ(x,y,z)=c（c是常数）是一个曲面的方程，则?Φ是这个曲面的法向量，换句话说，?Φ是垂直于曲面Φ(x,y,z)=c的向量。&&&&&&&&设r=xi+yj+zk是曲面上任一点P(x,y,z)的位置矢量。那么dr=dxi+dyj+dzk是&&&&在曲面上过P点的切平面上。但是，由于c是常数，必有&&&&&&&&dΦ=&&&&或者&&&&&&&&?Φ?Φ?Φdx+dy+dz=0?x?y?z&&&&&&&&ΦΦΦi+j+kdxi+dy?+dzk=?Φ?dr=0。jx?y?z&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&这个式子表示两个矢量的点积为零，即它们相互垂直?Φ⊥dr，因此?Φ也垂直于曲面。一般情况下，位移dr可以是任意的，即不一定在Φ(x,y,z)=c的曲面上。这时Φ从&&&&&&&&r→r+dr的变化是&&&&&&&&dΦ=Φ(r+dr)?Φ(r)=&&&&&&&&?Φ?Φ?Φdx+dy+dz=?Φ?dr，?x?y?z&&&&&&&&(1.2.10)&&&&&&&&即Φ的变化是dΦ=?Φdrcosθ，其中q是?Φ与dr之间的夹角。显然当θ=0时，Φ的变化最大。换句话说，?Φ指向Φ的增加最大的方向（见图1-15）?Φ的大小是在该方。&&&&&&&&向上Φ的变化率。&&&&&&&&图1-15梯度沿标量函数变化率最大的方向。&&&&&&&&（2）散度（divergence）&&&&矢量函数F(x,y,z)的散度定义为F，读作“DeldotF”。在笛卡尔坐标系下散度为&&&&&&&&F?F?F?+j+kFxi+Fy?+Fzk=x+y+zdivF=F=?ij?y?zx?y?zx&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(1.2.11)&&&&&&&&F度量矢量函数F(x,y,z)如何从r处分散开来的。&&&&&&&&图1-16无限小立方体。考虑矢量场通过立方体&&&&的通量推导散度坐标无关的定义。&&&&&&&&矢量场在整个空间有一个分布，不同位置的大小和方向可能不同。设想在空间作一个任意的曲面，那么矢量场必然会穿过这个曲面。如果考虑场F经过某点r射向其它方向，为方便起见，我们作一个如图1-16中心在点r处、边长ε充分小的小立方体，其体积为&&&&&&&&ε×ε×ε=ε3。矢量场F（图中没有画出）穿过以r点为中心距离x,y,z方向分别为±ε/2&&&&的六个平面，每个平面的面积是ε。平面所处的位置对应于坐标r±eiε/2，其中ei（i=1,&&&&2&&&&&&&&?j?。矢量场F通过六面体的六个面的通量2,3）分别对应于笛卡尔坐标的单位矢量（i,?,k）&&&&（flux）可以表示为F在各个面上的值乘以相应的面积，即&&&&&&&&DA&&&&&&&&∫&&&&&&&&F?dA=∑[Fi(r+εei/2)?Fi(r?εei/2)]ε2=∑&&&&i=1i=1&&&&&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&?Fi3ε=(F)ε3?xi&&&&&&&&(1.2.12)&&&&&&&&式中DA为六个面组成的闭合曲面。第二个等式由泰勒级数展开即可得，比较(1.2.12)式左右两边不难理解，其实散度就是穿过无限小闭合面单位体积的通量。这个表述可以看作是坐标系统无关的散度的定义。让A为小体积V的边界，则有&&&&&&&&F=lim&&&&V→0&&&&&&&&1V&&&&&&&&∫F?dA&&&&A&&&&&&&&(1.2.13)&&&&&&&&（3）旋度（curl）&&&&矢量函数的旋度记为?×F（Del叉乘F”。显然按照矢量的叉积的定义，在笛卡尔“）坐标系下的旋度用行列式的形式表示是&&&&&&&&?ijk?F?F×F=?/?x?/?y?/?z=i?z?y?+?z?yFxFyFz&&&&&&&&?FxFz?+kFyFx?(1.2.14)?j?z?xyx&&&&&&&&或者等价地用Levi-Civita张量表示，旋度?×F的第i个分量是&&&&&&&&(?×F)&&&&&&&&i&&&&&&&&=εijk&&&&&&&&?Fk=εijk?jFk?xj&&&&&&&&(1.2.15)&&&&&&&&如前所述，这里j和k从1到3求和，后一等式采用了简单记号?j≡?/?xj。旋度是度量矢量的旋性（vorticity）的，即矢量函数如何绕点r旋转。一如江河里的水，如果用v表示水流的速度，由于水流各点的速度不同，可以称为速度场。当水流比如从东到西正常流动时，水流动的方向“划出”速度场的方向。此时，速度场不具有旋性。但是如果当船只航过，船尾的螺旋桨搅起了水的阵阵漩涡，这时船尾水的速度场就具有旋性，或者说其旋度不为零。为讨论旋量的特性，我们以点r为中心取边长为ε×ε的无限小矩形h路dS，dS在笛卡&&&&&&&&?j?尔坐标系下沿着方向ei和ej（即对应于i,?,k的相应方向）。沿着正方形周长DL(i,j)逆时针&&&&旋转的线积分，如图1-17所示，表示为F的环量如下&&&&&&&&图1-17无限小矩形。矢量场逆时针h路&&&&&&&&DL(i,j)&&&&&&&&∫&&&&&&&&F?dS=εFi(r?εej/2)+εFj(r+εei/2)?εFi(r+εej/2)?εFj(r?εei/2)&&&&&&&&推导旋度的坐标无关定义&&&&&&&&F?F=?j?ixi?xj?&&&&&&&&?22?ε=(?×F)kε&&&&&&&&(1.2.16)&&&&&&&&此处（i,j,k）是（1，2，3）的循环置换，积分限DL(i,j)表示（ij）平面积分h路。第二个表示中的四项来自于正方形四个边的矢量积分，符号取决于积分是顺轴方向还是逆轴方向，出发点从底部逆时针进行。e也是看作为无限小，并作泰勒展开取到导数的一次项。比如第二&&&&&&&&?表示式中的第一项Fi(r?εej/2)展开为Fi(r)+(?ε)?Fi/?xj，其余各项类推。比较等2&&&&式两边的表示，(1.2.16)意思是旋度?×F等于环绕一个无限小的h路F的单位面积的环量（环量即为。为了确定?×F在给定方向n的分量，设C为包围面积为A的平面的∫F?dS）&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&闭合h线，此积分h线右手螺旋确定的该面积A的法线方向是n，那么&&&&&&&&n?(?×F)=lim&&&&A→0&&&&&&&&1∫F?dS。AC&&&&&&&&(1.2.17)&&&&&&&&旋度的这个定义与坐标选取无关。&&&&&&&&（4）相关等式&&&&微分算子的另一形式是Laplace算子，?=?，读作“Del的平方”。它作用在标&&&&2&&&&&&&&量函数f(r)上是定义为&&&&&&&&?2f=(?f)&&&&即Laplace算子是函数的梯度的散度。在笛卡尔坐标系下，直接运算立即可得&&&&&&&&(1.2.18)&&&&&&&&?2f?2f?2f?f=2+2+2。?x?y?z&&&&2&&&&&&&&(1.2.19)&&&&&&&&假定f和g是位置r的标量函数，而F和G是r的矢量函数，我们以表格形式列出相关Del的运算的恒等式：&&&&&&&&表1-1Del等式乘积的导数:(a)?(fg)=f?g+g?f&&&&(b)&&&&&&&&(fG)=fG+?f?G?×(fG)=f?×G+?f×G(F×G)=(?×F)?G?F?(?×G)&&&&&&&&(c)&&&&&&&&(d)&&&&&&&&(e)&&&&&&&&?×(F×G)=(G)F?(F)G+F(G)?G(F)&&&&&&&&导数的乘积:&&&&(f)(g)(h)&&&&&&&&?×(?f)=0&&&&&&&&标量函数的梯度是无旋的矢量函数的旋度是不发散的&&&&&&&&(?×F)=0&&&&&&&&?×(?×F)=?(F)2F&&&&&&&&【例1-3】证明表格1-1中(d)、e）式。（【解】（d）式证明如下：&&&&&&&&(F×G)=?iεijk(FjGk)=εijk(?iFj)Gk+εijkFj(?iGk)=Gkεkij(?iFj)?Fjεjik(?iGk)=G?(?×F)?F?(?×G)。&&&&注意在LeviCivita符号表示中，其实i,j,k哪个符号顺序并不是固定不变的，重要的是满足点积和叉积的表示规则。比如εkij?iFj显然是等于?×F&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&k&&&&&&&&，即这个旋量的k分量。旋量&&&&&&&&的k分量与Gk相乘表示两矢量分量乘积之和，故为点积。所以自然有最后的等式成立。（e）式的证明用LeviCivita符号，先取表达式的第i分量&&&&&&&&×(F×G)?=εijk?j(εklmFlGm)=εijkεklm?j(FlGm)=(δilδjm?δimδjl)?j(FlGm)i&&&&&&&&=?j(FGj)j(FjGi)=(Gj?j)Fi+Fi(?jGj)?Gi(?jFj)?(Fj?j)Gii=(G)Fi+Fi(G)?Gi(F)?(F)Gi&&&&所以我们有&&&&&&&&?×(F×G)=(G)F?(F)G+F(G)?G(F)。&&&&&&&&§1.3&&&&&&&&积分定理&&&&?P?Q,在以简单闭合曲线C为边界的单连通区域?是单值和连续的，则?y?x&&&&&&&&（1）平面格林定理设P,Q,&&&&&&&&C&&&&&&&&∫(Pdx+Qdy)=∫∫xy?dxdy。&&&&?&&&&&&&&Q&&&&&&&&?P?&&&&&&&&(1.3.1)&&&&&&&&证明：设对于闭合曲线C，用任意平行于坐标轴的直线切割C至多得两个交点，如图1-18所示。设曲线AEB和AFB的方程分别是y=Y1(x)和y=Y2(x)，?是由C围成的区域。我&&&&&&&&们有&&&&&&&&∫∫?ydxdy=∫&&&&?&&&&&&&&?P&&&&&&&&b?Y2(x)?P?Y(x)dy?dx=∫P(x,y)y2=Y(x)dx?∫y=Y1(x)1x=ax=a?yb&&&&&&&&=∫&&&&&&&&b&&&&&&&&x=ab&&&&&&&&[P(x,Y2)?P(x,Y1)]dx&&&&abC&&&&&&&&=?∫P(x,Y1)dx?∫P(x,Y2)dx=?∫Pdx&&&&a&&&&&&&&图1-18平面格林定理。&&&&&&&&故&&&&&&&&C&&&&&&&&∫Pdx=?∫∫?ydxdy&&&&?&&&&&&&&?P&&&&&&&&（a）&&&&&&&&类似地，设曲线EAF和EBF的方程分别为x=X1(y)和x=X2(y)，则&&&&&&&&∫∫?xdxdy=∫&&&&?&&&&&&&&?Q&&&&&&&&fX(y)?X2(y)?Q?dx?dy=∫Q(x,y)x=2X(y)dy?∫x=X1(y)1y=ey=e?xf&&&&&&&&=∫[Q(X2,y)?Q(X1,y)]dy=∫Q(X1,y)dy+∫Q(X2,y)dy=∫Qdy&&&&fefy=efeC&&&&&&&&故&&&&&&&&C&&&&&&&&∫Qdy=∫∫?xdxdy&&&&?&&&&&&&&?Q&&&&&&&&（b）&&&&&&&&将(a)、(b)二式相加得&&&&&&&&C&&&&&&&&∫(Pdx+Qdy)=∫∫xy?dxdy。&&&&?&&&&&&&&Q&&&&&&&&?P?&&&&&&&&定理证毕。（2）积分与路径无关的条件定理1设P(x,y)和Q(x,y)在单连通区域?的每一点处连续且有连续的导数，则沿&&&&&&&&任意闭合路径C，在域?上&&&&&&&&C&&&&&&&&∫(Pdx+Qdy)=0的必要和充分条件是?y=?x。&&&&&&&&?P&&&&&&&&?Q&&&&&&&&定理不难由格林定理证明，此处略。定理2使(F1dx+F2dy+F3dz)与积分路径无关的充要条件是在域?内有&&&&C&&&&&&&&∫&&&&&&&&?F1?F2?F3?F1?F2?F3,,。===?y?x?x?z?z?y&&&&&&&&(1.3.2)&&&&&&&&不难看出，条件(1.3.2)等价于?×F=0。线积分也可以写成F?dr的形式。F?dr可以&&&&C&&&&&&&&∫&&&&&&&&这时，若曲线C的端点是(x1,y1,z1)写成全微分的形式，则存在一个函数Φ使得F?dr=dΦ。和(x2,y2,z2)，则线积分的值为&&&&&&&&∫&&&&&&&&(x2,y2,z2)&&&&&&&&(x1,y1,z1)&&&&&&&&F?dr=∫&&&&&&&&(x2,y2,z2)&&&&&&&&(x1,y1,z1)&&&&&&&&dΦ=Φ(x2,y2,z2)?Φ(x1,y1,z1)&&&&&&&&（3）斯托克斯（Stokes）定理矢量函数F绕闭合曲线C的环流等于通过以C为边界的面A的矢量的旋量的通量，即：&&&&&&&&C&&&&&&&&∫F?dl=∫∫(?×F)?dA&&&&A&&&&&&&&(1.3.3)&&&&&&&&n而积分面积元dA=ndA，是dA的单位法线矢量，dl的方向沿着曲线C绕行的切线方向；&&&&（此处证明略，因为我们在电磁学中会有类似的证明。）由dl绕C的右手螺旋规则来确定。（4）高斯（Gauss）定理矢量通过闭合曲面A的通量等于该矢量函数的散度在A所包围的体积V内的积分，即：&&&&&&&&∫F?dA=∫(F)d&&&&AV&&&&&&&&3&&&&&&&&x。&&&&&&&&(1.3.4)&&&&&&&&?面元dA=ndA，通常用矢量表示为n=cosαi+cosβ?+cosγk，a,b,g分别是n与x,y,zj&&&&三个轴的夹角，而F=F1i+F2?+F3k。高斯定理也称为散度定理。j&&&&定理证明：假定闭合曲面A是这样的一个曲面，用任何平行于坐标轴的直线去切割A最多得两个点。假设平行于xy平面切割的下部曲面A1的方程z=f1(x,y)，以及上部曲面A2的方程是&&&&&&&&z=f2(x,y)。曲面在xy平面的投影为?。&&&&对于&&&&&&&&F=&&&&&&&&?Fx?Fy?Fz，先考虑z分量积分有++?x?y?z&&&&&&&&∫∫∫&&&&V&&&&&&&&?Fz?f2(x,y)?Fz?dxdydz=∫∫?∫dzdxdyz?z=f1(x,y)?z&&&&f2f1&&&&?&&&&&&&&图1-19高斯定理证明&&&&&&&&=∫∫Fz(x,y,z)&&&&&&&&dxdy=∫∫[Fz(x,y,f2)?Fz(x,y,f1)]dxdy。&&&&?&&&&&&&&对于上部曲面A2，dA2在xy平面的投影是dxdy=cosγ2dA2=k?n2dA2，dA2的单位法向量n2与z方向的单位矢量k构成锐角γ2。而对于下部曲面A1，dA1在xy平面的投影是&&&&&&&&dxdy=cosγ1dA1=k?n1dA1，dA1的单位法向量n1与z方向的单位矢量k构成钝角γ1。因&&&&此，我们有&&&&&&&&∫∫∫∫&&&&?z2z1&&&&&&&&?&&&&&&&&Fz(x,y,f2)dxdy=∫∫Fzk?n2dA2&&&&A2&&&&&&&&?&&&&&&&&Fz(x,y,f1)dxdy=?∫∫Fzk?n1dA1&&&&A1A2&&&&&&&&∫∫[F(x,y,f)?F(x,y,f)]dxdy=∫∫&&&&所以&&&&&&&&Fzk?n2dA2+∫∫Fzk?n1dA1=∫∫&&&&A1&&&&&&&&A=A1+A2&&&&&&&&Fzk?ndA&&&&&&&&∫∫∫&&&&V&&&&&&&&?Fzdxdydz=∫∫Fzk?ndA。A?z&&&&&&&&（a）&&&&&&&&类似地，把A向yz和xz平面的投影分别可得&&&&&&&&∫∫∫&&&&V&&&&&&&&?Fxdxdydz=∫∫Fxi?ndA，A?x&&&&&&&&（b）&&&&&&&&∫∫∫&&&&V&&&&&&&&?Fy?y&&&&&&&&dxdydz=∫∫FyndAj?&&&&A&&&&&&&&（c）&&&&&&&&把（a）（b）（c）三式相加、、&&&&&&&&∫∫∫x?&&&&V&&&&&&&&Fx&&&&&&&&+&&&&&&&&?Fy?y&&&&&&&&+&&&&&&&&?Fz?z&&&&&&&&dxdydz=?&&&&&&&&j∫∫(Fi?+F?+Fk)?ndA&&&&123A&&&&&&&&或者&&&&&&&&∫F?dA=∫(F)d&&&&AV&&&&&&&&3&&&&&&&&x&&&&定理证毕。&&&&&&&&§1.4&&&&&&&&正交曲线坐标系&&&&&&&&§1.4.1曲线坐标系的定义&&&&描述物体运动除了笛卡尔坐标系统外，还可以用其它正交坐标系来描述。不像笛卡尔坐标位置和单位矢量的方向都是固定不变的，而一般曲线坐标随着质点的运动而变化。若笛卡尔坐标系描述质点位置的坐标是(x,y,z)，而在其它正交坐标系中用(u1,u2,u3)描述。记它们之间的变换方程为&&&&&&&&x=f(u1,u2,u3),y=g(u1,u2,u3),z=h(u1,u2,u3)&&&&&&&&(1.4.1)&&&&&&&&这里假定f,g,h是连续的，且有连续的导数和单值的逆。这样某点P的位置矢量用相应的坐标描述是&&&&&&&&?j?r=xi+y?+zk=f(u1,u2,u3)i+g(u1,u2,u3)?+h(u1,u2,u3)kj&&&&&&&&(1.4.2)&&&&&&&&我们称(u1,u2,u3)是P点的曲线坐标。如图1-20，假定u2,和u3不变，而u1变化，这时r画出的曲线称为u1坐标曲线。类似地可以定义经过P点的u2,和u3的坐标曲线。位置矢量的导数由(1.4.2)式可得&&&&&&&&图1-20曲线坐标系&&&&&&&&dr=&&&&&&&&?r?r?rdu1+du2+du3?u1?u2?u3&&&&&&&&(1.4.3)&&&&&&&&?r矢量?r/?ui在P点处与坐标曲线ui相切；若定义该方向的单位矢量为ei，则可以写?ui=hiei&&&&&&&&?r?r?r其中hi=?u=?uuiii&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&1/2&&&&&&&&。这样(1.4.3)可以改写为&&&&&&&&dr=h1du1e1+h2du2e2+h3du3e3&&&&&&&&(1.4.4)&&&&&&&&式中(h1,h2,h3)称为标度因子。注意dr并非简单地等于三个曲线坐标的微分乘相应的单位矢量，还要乘相应的标度因子才对。由于ei（i=1,2,3）相互垂直，故这个曲线坐标是正交质点位置从P点位置r处运动到r+dr的。1-20的平行六面体就是以dr为对角线画的。图处。由于dr无限小，它的模对应于曲线运动的元弧长，即平行六面体对角线长度的平方为&&&&2ds2=dr?dr=h12(du1)2+h2(du2)2+h32(du3)2。&&&&&&&&(1.4.5)&&&&&&&&在正交曲线坐标下，平行六面体的体积为（回顾混合积的意义）&&&&&&&&dV=(h1du1e1)?[(h2du2e2)×(h3du3e3)]==?(x,y,z)du1du2du3?(u1,u2,u3)&&&&?x?u1&&&&&&&&?rr?r?×?du1du2du3?u1u2?u3?&&&&(1.4.6)&&&&&&&&根据混合积的行列式表达形式，这里定义的变换称为雅可比行列式&&&&&&&&?(x,y,z)?y=?(u1,u2,u3)?u1&&&&?z?u1&&&&&&&&?x?u2?y?u2?z?u2&&&&&&&&?x?u3?y。?u3?z?u3&&&&(1.4.7)&&&&&&&&§1.4.2曲线坐标系中的梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子&&&&?若标量函数Φ和矢量函数F=F1e1+F2e2+F3e3均为正交曲线坐标(u1,u2,u3)的函数，&&&&则有如下结果（1）梯度对于标量函数Φ的梯度可以由微分来定义，见(1.2.10)式，有dΦ=?Φ?dr。由于&&&&&&&&dΦ=&&&&&&&&?Φ?Φ?Φdu1+du2+du3，?u1?u2?u3&&&&&&&&（a)&&&&&&&&?Φ?dr=((?Φ)1e1+(?Φ)2e2+(?Φ)3e3)?(h1du1e1+h2du2e2+h3du3e3)&&&&&&&&=(?Φ)1h1du1+(?Φ)2h2du2+(?Φ)3h3du3。&&&&比较上面（a）（b）两式，即得、&&&&&&&&(b)&&&&&&&&?Φ=∑&&&&i=1&&&&&&&&3&&&&&&&&1?Φ1?Φ1?Φ1?Φei=e1+e2+e3。hi?uih1?u1h2?u2h3?u3&&&&&&&&(1.4.8)&&&&&&&&（2）散度F根据(1.2.13)式可以计算坐标无关的散度的表达式。根据此式F的散度乘以无限小体积&&&&dV等于F穿过六个面的通量。参考图1-20分析，注意每个面的面积等于相应位置曲线边长&&&&&&&&×曲线边长(hldul)(hmdum)。比如F穿过u2+du2位置的通量为F2h1h3|u2+du2du1du3。不难得到全部通量关系为&&&&&&&&FdV=F1h2h3|u1+du1?F1h2h3|u1du2du3+F2h1h3|u2+du2?F1h1h3|u2du1du3+F3h1h2|u3+du3?F3h1h2|u3du1du2&&&&?=?(F1h2h3)+(F2h1h3)+(F3h1h2)?du1du2du3?u2?u3u1?&&&&根据体积的关系式(1.4.6)可知dV=h1h2h3du1du2du3，所以我们有&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&F=&&&&（3）旋度?×F&&&&&&&&1h1h2h3&&&&&&&&?(F1h2h3)+(F2h1h3)+(F3h1h2)?。u2?u3u1?&&&&&&&&(1.4.9)&&&&&&&&由于旋度是矢量，根据坐标无关的旋度的定义式(1.2.17)，先考虑旋度?×F的第三分&&&&&&&&?量，即(?×F)?e3。此处旋量积分包围无限小面积(h1du1)(h2du2)。根据定义式，该分量的&&&&&&&&环量积分是&&&&&&&&(?×F)3(h1du1)(h2du2)==&&&&&&&&((Fh)|&&&&22&&&&&&&&u1+du1&&&&&&&&?(F2h2)|u1du2?(F1h1)|u2+du2?(F1h1)|u2du1&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(F2h2)du1du2?(F1h1)du1du2?u1?u2&&&&图1-21无限小曲线h路。&&&&(1.4.10)&&&&&&&&注意式中符号取决于旋量的矢量方向与单位矢量方向的异同。消除等式两边相同因子，得&&&&&&&&(?×F)3=&&&&&&&&1(F2h2)?(F1h1)?。u2h1h2u1?&&&&&&&&类似的方法可以给出其它两个旋量分量。综合起来结果是&&&&&&&&(?×F)i=εijk&&&&或者用行列式的形式表示为&&&&&&&&1?j(Fkhk)，hjhj&&&&&&&&(1.4.11)&&&&&&&&?e1/h2h3&&&&?×F=&&&&（4）拉普拉斯算子&&&&&&&&e2/h3h1e3/h1h2&&&&?2F2h2?3F3h3&&&&。&&&&(1.4.12)&&&&&&&&?1F1h1&&&&&&&&拉普拉斯算子?，根据梯度和散度的表示，结合起来?Φ=(?Φ)在曲线坐标系下&&&&22&&&&&&&&是&&&&&&&&?2Φ=&&&&式中的求和遍历（123）三个循环置换。&&&&&&&&1h1h2h3&&&&&&&&(ijk)&&&&&&&&∑?u&&&&&&&&hjhk?Φui?i?hi&&&&&&&&(1.4.13)&&&&&&&&§1.4.3典型曲线坐标系&&&&（1）平面极坐标为简单起见，我们先讨论极坐标情况，如图1-22.。质点从A点位置矢量为ra运动到B点位置矢量为rb。在极坐标中u1=r,u2=?,u3=0。位置矢量的一般表示是图1-22极坐标&&&&&&&&?r=rr&&&&&&&&(1.4.14)&&&&&&&&其中r是矢径方向的单位矢量。定义?为切向方向的单位矢量。由于位置的变化，单位矢量&&&&&&&&?的方向也随之而变。因此dr/dt≠0。将(1.4.14)式对时间求导?drdrdr?=r+r。dtdtdt&&&&考虑单位矢量的变化&&&&&&&&drΔrΔ?d=lim=lim?=?,?Δt→0ΔtΔt→0Δtdtdt?，d?=limΔ?=lim?Δ(?r)=?d?r?dtΔt→0ΔtΔt→0?Δt?dt?&&&&因此，&&&&&&&&(1.4.15)&&&&&&&&drdrd?(1.4.16)?=rr+r。=r+rdtdtdtdrd?式中定义了字母上的小点表示对时间求导：r≡和?≡。相应的表示还可用于二阶导dtdt&&&&数。对(1.4.16)再对时间求导得&&&&&&&&d2r=(r?r?2)r+(2r?+r?)?。2dt&&&&（2）柱坐标柱坐标中u1=&&&&&&&&(1.4.17)&&&&&&&&ρ,u2=?,u3=z。为了避免与极坐标与位置矢量混淆，我们把径向分量&&&&&&&&用r表示。柱坐标与笛卡尔坐标的关系是x=ρcos?,y=ρsin?,z=z。柱坐标中位置矢量表示是&&&&&&&&r=ρρ+zk&&&&&&&&(1.4.18)&&&&&&&&（a）&&&&&&&&（b）&&&&&&&&图1-23（a）柱坐标系，b）柱坐标体积元（）利用(1.4.6)、(1.4.8)、(1.4.9)、(1.4.11)、(1.4.13)式不难证明表1-2中柱坐标中算子的关系。&&&&&&&&表1-2柱坐标中的矢量运算表示&&&&标度因子位移&&&&&&&&hρ=1,h?=ρ,hz=1?dr=ρdρ+?ρd?+kdz&&&&(a)&&&&&&&&体积元&&&&&&&&dV=ρdρd?dz&&&&Φ=ρ?Φ1?ΦΦ?+?+k?ρρ?z&&&&1?1?F(ρFρ)+ρ?+Fzρ?ρz1?Fz?Fρ?z&&&&&&&&(b)&&&&&&&&梯度&&&&&&&&(c)&&&&&&&&散度&&&&&&&&F=&&&&&&&&(d)&&&&&&&&(?×F)ρ=&&&&&&&&(e1)&&&&&&&&旋度&&&&&&&&(?×F)?=&&&&&&&&?Fρ?z&&&&&&&&?&&&&&&&&?Fz?ρ&&&&&&&&(e2)&&&&&&&&(?×F)z=&&&&&&&&1?1?F(ρF?)?ρρρ?ρ&&&&&&&&(e3)&&&&&&&&拉普拉斯算子&&&&&&&&?2Φ=&&&&&&&&1?Φ?1?2Φ?2Φ+?ρ?+ρ?ρρ?ρ2?z2&&&&&&&&(f)&&&&&&&&（3）球坐标球坐标是最常用的坐标系之一。坐标选为u1=r,u2=θ,u3=φ，如图1-25所示。&&&&&&&&（a）&&&&&&&&（b）图1-24（a）球坐标系，b）球坐标体积元（&&&&&&&&球坐标系中的位置矢量是&&&&&&&&?r=rr&&&&由图1-24容易给出球坐标与笛卡尔坐标之间的关系是&&&&&&&&(1.4.19)&&&&&&&&x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ&&&&&&&&(1.4.20)&&&&&&&&利用(1.4.6)、(1.4.8)、(1.4.9)、(1.4.11)、(1.4.13)式不难证明表1-3中柱坐标中算子的关系。&&&&&&&&表1-3球坐标中的矢量运算表示&&&&标度因子位移体积元&&&&&&&&hr=1,hθ=r,hφ=rsinθ?dr=rdr+θrdθ+φrsinθdφdV=r2drsinθdθdφΦ=r?Φ?1?Φ?1?Φ+θ+φ?rr?θrsinθ?φ&&&&1?211?F(rFr)+rsinθθ(sinθFθ)+rsinθ?φφ2r?r&&&&(a)(b)&&&&&&&&梯度&&&&&&&&(c)&&&&&&&&散度&&&&&&&&F=&&&&&&&&(d)&&&&&&&&(?×F)r=&&&&&&&&1rsinθ&&&&&&&&?Fθ?θ(sinθF?)φ?&&&&&&&&(e1)&&&&&&&&旋度&&&&&&&&?1?1?Fr?(?×F)θ=(rFφ)?r?sinθ?φ?rF?1(?×F)φ=?(rFθ)?r?rr?θ?&&&&&&&&(e2)&&&&&&&&(e3)&&&&&&&&拉普拉斯算子&&&&&&&&?2Φ=&&&&&&&&12?Φ?1?Φ?1?2Φsinθr+2+22r2?rr?rsinθ?θθ?rsinθ?φ2&&&&&&&&(f)&&&&&&&&第1章习题矢量代数&&&&1.1用行列式方法和LeviCivita反对称张量形式表示的叉积两种方法分别证明(1.1.27)式成立。（注意克罗内克Delta符号1.2用LeviCivita反对称张量和等式(1.1.25)证明(1.1.28)和(1.1.29)。&&&&&&&&可以起到消除自身下指标并使之变成另一下指标的作用，如δijuj=ui。），，1.3求顶点为（2，-3，1）（1，-2，2）（-1，2，3）的三角形的面积。1.4证明恒等式&&&&&&&&(A×B)?(C×D)=(A?C)(B?D)?(A?D)(B?C)&&&&1.5证明&&&&&&&&(A×B)?(C×D)+(B×C)?(A×D)+(C×A)?(B×D)=0&&&&jjj1.6若A=A1i+A2?+A3k,B=B1i+B2?+B3k,C=C1i+C2?+C3k，证明&&&&&&&&A1&&&&A?(B×C)=B1&&&&&&&&A2B2&&&&&&&&A3B3。C3&&&&&&&&C1C2&&&&&&&&矢量微积分&&&&1.7证明&&&&&&&&ddAdB(A?B)=?B+A?，其中A和B是u的可微函数。dududu&&&&&&&&1.8证明下面的恒等式：(a)(ΦF)=Φ(F)+(?Φ)?F(b)?×(ΦF)=Φ(?×F)+(?Φ)×F(c)&&&&&&&&(F×G)=G?(?×F)?F?(?×G)&&&&2&&&&&&&&(d)?×(?×F)=?(F)F(e)&&&&&&&&(?×F)=0&&&&2&&&&&&&&?j?1.9证明?×(rr)=0，其中r=xi+y?+zk，而r=r。?1.10（a）如果Φ=p?r/r，此处p是常矢量，r=r，计算?Φ，并对p=pk的情况&&&&3&&&&&&&&画出矢量函数?Φ的切线曲线。&&&&&&&&?（b）如果A(r)=m×r/r，此处m是常矢量，计算?×A，并对m=mk的情况画&&&&3&&&&&&&&出?×A的切线曲线。&&&&1.11设E和H是两个对位置和时间具有连续偏导数（至少是二阶）的矢量，并设E和H&&&&&&&&满足方程&&&&&&&&E=0,H=0,?×E=?&&&&证明E和H满足方程&&&&&&&&1?H1?E,?×H=,c?tc?t&&&&&&&&（a）&&&&&&&&?2Ψ=&&&&&&&&1?2Ψ，c2?t2&&&&&&&&（b）&&&&&&&&（此矢量方程在电磁学中非常重要，是麦克斯韦方程的特殊形式。麦克斯韦并据此预言了电磁波的存在。常数c等于光速。）&&&&1.12证明沿每条闭合曲线C，&&&&C&&&&&&&&∫A?dr=0的充分必要条件是?×A=0。&&&&&&&&1.13证明?×A=0的充分必要条件是A=?Φ。1.14（a）证明A1dx+A2dy+A3dz是全微分dΦ的充分必要条件是?×A=0，其中&&&&&&&&A=A1i+A2?+A3k；j&&&&（b）说明这时下式成立&&&&&&&&∫(x,y,z)(A1dx+A2dy+A3dz)=∫(x,y,z)&&&&111111&&&&&&&&(x2,y2,z2)&&&&&&&&(x2,y2,z2)&&&&&&&&dΦ=Φ(x2,y2,z2)?Φ(x1,y1,z1)。&&&&&&&&1.15若x=&&&&&&&&ρcosφ,y=ρsinφ，证明&&&&112∫(xdy?ydx)=2∫ρdφ，2&&&&&&&&并解释之。&&&&&&&&曲线坐标&&&&1.16验证表1-2中各式。1.17验证表1-3中各式。1.18证明在（a）柱坐标，（b）球坐标中，质点沿空间曲线的加速度分别为&&&&&&&&?a柱=ρ?ρ?2eρ+(2ρ?+ρ?)e?+zeza球=r?rθ2?rφ2sin2θer+rθ+2rθ?rφ2sinθcosθeθ?+2rφsinθ+2rθφcosθ+rφsinθeφ。&&&&1.19球坐标系和笛卡尔坐标系的单位矢量可以相互表示，或称为相互展开。即对于如图1-24&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&（a）中的笛卡尔坐标(x,y,z)和球坐标(r,θ,φ)的单位矢量满足下列关系&&&&&&&&（a）&&&&&&&&?=esinθcosφ+ecosθcosφ?esinφ?θ?φi?r?=esinθcosφ+ecosθsinφ+ecosφj?&&&&r&&&&&&&&θ&&&&&&&&φ&&&&&&&&?k=ercosθ?eθsinθ&&&&（b）&&&&&&&&ier=?sinθcosφ+?sinθsinφ+kcosθje=?cosθcosφ+?cosθsinφ?ksinθij&&&&θ&&&&&&&&?eφ=sinφ+?cosφij&&&&1.20用两种形式：笛卡尔坐标和球坐标下，计算下面矢量函数的散度和旋度：&&&&&&&&?(a)r;(b)r/r;(c)k×r，此处r=r。&&&&1.21若F(x,y,u,v)=0和G(x,y,u,v)=0，求（a）&&&&&&&&?u?u?v?v,(b),(c)),(d)),并用雅?x?y?x?y&&&&&&&&可比行列式表示，假定F和G对u和v的导数不等于零。&&&&1.22若F(P,V,T)=0，证明&&&&&&&&P?T?P?(a)=?,T?VV?PV?T&&&&&&&&P?T?V?(b)=?1T?VV?PP?T&&&&&&&&其中下指标表示相应的变量是保持不变的。这些结论在热力学中有用，其中(P,V,T)分别表示物体系统的压强、体积和温度。&&&&&&&&分享给好友:
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