求函数的值域值域的求法有什么？【详解】

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-19 14:58 标签： 反函数怎么求
黄冈中学高考数学典型例题6---函数值域及求法_中华文本库
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高考数学典型例题详解
函数值域与求法
每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?
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函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考 生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题。
●难点磁场 (★★★★★)设 m 是实数，记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+
(1)证明：当 m∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 m∈M. (2)当 m∈M 时，求函数 f(x)的最小值. (3)求证：对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1.
●案例探究 ［例 1］ 设计一幅宣传画， 要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的上、下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 空白，怎样确定画面的高 与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ ∈［ , ］ ，那么λ 为 何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运 用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 错解分析：证明 S(λ )在区间［ , ］上的单调性容易出错，其次不易把应 用问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函 数的最值问题来解决. 解：设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160,将 x=
代入上式得： S=
),当 8 ? =
,即λ = ( <1)时 S 取得最小值.此时高： x=
宽：λ x= ×88=55 cm.
如果λ ∈［ , ］可设 ≤λ 1<λ 2≤ ,则由 S 的表达式得：
S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5 5 ? 8 ?2 ? 5 )
又 ?1?2 ≥ ? ,故 8－
∴S(λ 1)－S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间［ , ］内单调递增.? 从而对于λ ∈［ , ］,当λ = 时，S(λ )取得最小值. 答： 画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时， 所用纸张面积最小.如果要求λ ∈ , ］ ［ , 当λ = 时，所用纸张面积最小.
［例 2］已知函数 f(x)=
x2 ? 2x ? a ,x∈［1,+∞ ) x
(1)当 a= 时，求函数 f(x)的最小值. (2)若对任意 x∈［1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围. 命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单
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求函数值域的方法（一种方法对应讲解和例题）力求精简
提问者采纳
形如y=cx+d&#47,4](2)y=2x+根号1-2x此题用换元法;2即x=3/8时,ymax=5&#47,∴y≠-1&#47，推出y=f（x）的取值范围：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法；（2）配方法，得到原函数的值域;2&#47，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解;2&#47,ymax=4，均可使用配方法（3）反函数法;2x+5≠0,则x=1-t^&#47：运用代数或三角代换：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,∴当x=1时.∵y=4-根号-1(x-1)^+4,7&#47.∴函数值域为[2;2∵y=-t^+t+1=-(t-1&#47，通过反函数的定义域：从变量x的范围出发。举些例子吧:由3+2x-x^≥0,ymin=4-2=2。此外。（4）换元法;2+7&#47.当x=-1或3时,5&#47，从而求得原函数的值域、d均为常数。形如y=ax+b±根号cx+d（a;2x+5、b、c,无最小值;2x+5用分离常数法∵y=-1&#47，且a≠0）的函数常用此法求解;4)
(3)y=1-x&#47！（1）y=4-根号3+2x-x^此题就得用配方法,得-1≤x≤3:令t=根号1-2x(t≥0);4;2)^+5&#47,∵当t=1/4.∴函数值域为(-∞（1）直接法;ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法
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出门在外也不愁函数解析式求法和值域求法总结_中华文本库
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函 数 解 析 式 及值域专题
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例 1 设 f ( x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ，求 f ( x) ．
解：设 f ( x) ? ax ? b ( a ? 0) ，则 f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a2 x ? ab ? b
a2 ? 4 ， ?ab ? b ? 3
?a ? ?2 ． 　或　　 ? ? b?3 ?b ? 1
? f ( x) ? 2x ? 1　　或　　 f ( x) ? ?2x ? 3 ．
配凑法：已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式，求 f ( x ) 的解析式常用配凑法．但要注
意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g ( x) 的值域．
1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ，求 f ( x) 的解析式． x x 1 1 2 1 2 解：? f ( x ? ) ? ( x ? ) ? 2 ， x ? ? 2 ， ? f ( x) ? x ? 2 x x x
例 2 已知 f ( x ?
( x ? 2) ．
三、换元法：已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ，求 f ( x ? 1) ． 解：令 t ?
x ? 1 ，则 t ? 1 ， x ? (t ? 1) 2 ．
f ( x ? 1) ? x ? 2 x ， ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ， ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ( x ? 0) ．
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例 4 已知：函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称，求 g ( x) 的解析式．
解：设 M ( x, y ) 为 y ? g ( x) 上任一点，且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点．
? x? ? x ? ?2 ? ? x? ? ? x ? 4 则 ? 2 ，解得： ? ， y? ? y ? y ? 6 ? y ? ? ?3 ? 2
? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上 ， ? y? ? x? 2 ? x? ．
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? x? ? ? x ? 4 代入得： 6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4) ． ? y ? 6 ? y ?
整理得 y ? ? x 2 ? 7 x ? 6 ，
? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6 ．
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) ． 解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x 显然 x ? 0, 将 x 换成
1 1 1 ，得： f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x x 2 解① ②联立的方程组，得： f ( x) ? ? ? ． 3 3x
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例 7 已知： f (0) ? 1 ，对于任意实数 x、y，等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1
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