在数列an中 a1{An}中,A1=1,An>0,并...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-21 16:31 标签： 在数列an中 a1
（Ⅱ）设{cn}为首项是c1，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥﹣1，使c1=md”．
考点：
数列递推式；等差数列的性质．.

专题：
计算题；压轴题．

分析：
（Ⅰ）由题意知，，所以．再由题设条件可以导出，由此可知b4 b6不在数列{bn}中．
（Ⅱ）先证充分性：若存在整数m≥﹣1，使c1=md．再证必要性：若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项，则cs=c1 （s﹣1）d，ct=c1 （t﹣1）d．

解答：
解：（Ⅰ）因为，
所以，
即，，
即．（4分）
因为，
当n=1时，，
当n≥2时，，
所以．（6分）
又因为，
所以令，
则；
得到与t∈N*矛盾，
所以b4 b6不在数列{bn}中．（8分）
（Ⅱ）充分性：若存在整数m≥﹣1，使c1=md．
设cr，ct为数列{cn}中不同的两项，
则cr ct=c1 （r﹣1）d c1 （t﹣1）d=c1 （r m t﹣2）d=c1 [（r m t﹣1）﹣1]d．
又r t≥3且m≥﹣
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＞＞＞已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的..
已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1] x＋1(n≥2)的一个极值点．数列{an}中a1＝t，a2＝t2(t＞0且t≠1) ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn＝2(1－)，当t＝2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值；（3）若cn＝，证明：( n∈N﹡)．
题型：解答题难度：中档来源：不详
解：（1）f ′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1]，所以f ′()＝3an－1t－3[(t＋1)an－an＋1]＝0．整理得：an＋1－an＝t(an－an－1) ．…………………………………………2分当 t＝1时，{an－an－1}是常数列，得；当 t≠1时{an－an－1}是以 a2－a1＝t2－t为首项， t为公比的等比数列，所以 an－an－1＝(t2－t)·t n－2＝(t－1)·t n－1．方法一：由上式得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(t－1)(tn－1＋tn－2＋…＋t)，即 an－a1＝(t－1)·＝tn－t，所以 an＝tn(n≥2) ．又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．………………………4分方法二：由上式得： an－tn＝an－1－tn－1，所以{an－tn}是常数列，an－tn＝a1－t＝0 an＝tn(n≥2) ．又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ． （2）当t＝2， bn＝＝2－．∴Sn＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－＝2n－2(1－)＝2n－2＋2·由Sn＞2010，得2n－2＋2()n＞2010， n＋()n＞1006， 当n≤1005时， n＋()n＜1006，当 n≥1006时， n＋()n＞1006，因此 n的最小值为1006．………………………………………………8分（3）cn＝且c1＝，所以．因为＝＝＝≥，所以＝．从而原命题得证．…………………………………………………………14分略
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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与“已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的..”考查相似的试题有：
802217753363794505868215790491772753（12分）已知数列{an}中，a1=1，an＞0，an+1是函数f（x）=x3+的极小值点．（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式an；（2）设bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Sn，..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！名师解析高考押题名校密卷高考冲刺高三提分作业答案学习方法问题人评价，难度：0%（12分）已知数列{an}中，a1=1，an＞0，an+1是函数f（x）=x3+的极小值点．（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式an；（2）设bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．马上分享给朋友：答案本题暂无网友给出答案，期待您来作答点击查看答案解释（1）求导函数可得=∵an＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）、（，+∞）上递增，在（﹣1，）上递减 ∴f（x）的极小值点为，∴ （4分） ∵a1=1，∴数列{an}为首项为1，公比为的等比数列，∴通项公式an=；（6分）（2）bn=nan2=∴Sn=①∴Sn=②①﹣②：Sn== （8分∴Sn=＜．（12分）点击查看解释相关试题当前位置：
＞＞＞在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则s100=__..
在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则s100=______．
题型：填空题难度：中档来源：上海模拟
据已知当n为奇数时，an+2-an=0=>an=0，当n为偶数时，an+2-an=2=>an=n，故an=0(n奇数)n(n这偶数)，S100=0+2+4+6+…+100=0+50×2+1002=2550．故答案为：2550
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则s100=__..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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