复合函数的定义域复合函数的定义域内层函数的定义域 内层函数的值域外层函数的定义域 外层函数的值域他们之间有什么关系？还有f（2x-3）的定义域是x大于5，是x大于5。那么请问，这是_百度作业帮
复合函数的定义域复合函数的定义域内层函数的定义域 内层函数的值域外层函数的定义域 外层函数的值域他们之间有什么关系？还有f（2x-3）的定义域是x大于5，是x大于5。那么请问，这是
复合函数的定义域复合函数的定义域内层函数的定义域 内层函数的值域外层函数的定义域 外层函数的值域他们之间有什么关系？还有f（2x-3）的定义域是x大于5，是x大于5。那么请问，这是一个复合函数吗（我觉得是，但是做题多了反而晕了，那么，这个函数（即复合函数）的定义域是什么，是x大于5，还是x大于7？当f后的括号里不是一个x，而像是上面那样的一个代数式，那么它的定义域是什么，值域是什么？
首先,一个复合函数成立的条件是外函数的定义域与内函数的值域的交集不为空集.复合函数的定义域是综合内外函数来确定的.你提到的 y=f(2x-5),如果我们把u=2x-5看作是一个函数,那么y=f(u(x))就是一个复合函数,不是你晕,看问题的角度不同,是能出现不同的问题.这个复合函数的定义域还是x>5.嗬嗬,至于最后一个问题.我们确定一个函数的解析式之后,我们确定这个函数的定义域就是我们学过的那些方法.记着,复合函数就是一个函数,高等数学中为了给我们以后学习初等函数的极限,连续,求导而引进了初等函数的定义.
内层函数值域是外层函数的定义域
若f（2x-3）的定义域是（5，+∞）x>52x-3>7所以：f(x)的定义域是（7，+∞）成人高考考试辅导《高等数学（二）》
　　四、反函数
　　定义 设已知函数为y=f（x）　（1）
　　如果由此解出的　　（2）
是一个函数，则称为y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y），并称y=f（x）为直接函数。
　　注意：习惯上常用x表示自变量，用y表示因变量，因此将x=f-1（y）中的y换为x，而将x换为y，记作y=f-1（x）。
　　定理　如果函数y=f（x） ，D（f）=X，Z（f）=Y是严格单调增加（或减少）的，则它必定存在反函数
　　并且也是严格单调增加（或减少）的。
　　求反函数的步骤：
　　第一步：从直接函数y=f（x）中解出，看它是否能成为函数；
　　第二步：如果是函数，将字母x换成y，将字母y换成x得这就是y=f（x）的反函数。
　　（1）直接函数y=f（x）与它的反函数y=f-1（x）的图形，必定对称于直线y=x（一般地，二者是不同的函数，其图形是不同的曲线）；
　　（2）直接函数y=f（x）与它的反函数x=f-1（y）是同一条曲线（二者是不同的函数，但是，它们的图形是同一条曲线）。
　　根据这个结论，当我们知道了直接函数y=f（x）的图形之后，就可利用对称于直线y=x的性质画出其反函数y=f-1（x）的图形。
　　例6.反函数
　　（1）[9402]函数f（x）=2x-1的反函数f-1（x）等于
　　（A）log2（x+1）　　　（B）1+log2x
　　（C）　　（D）2log2x
　　[答] B。
手写板图示0002-01
　　（2）函数的值域是______。
　　[答]（0，1）∪（1，+∞）
手写板图示0002-02
　　（3）函数的反函数f-1（x）=______。
　　五、基本初等函数
　　1.常数函数
　　它的定义域是（-∞, +∞），图形是一条平行于x轴的直线，显然这是个偶函数。
　　2.幂函数
　　它的定义域随值的不同而不同，但不管值是多少，它在（0,
+∞）内总是有定义的。
　　当时，它的图形如图1，不论为何值，它的图形都通过原点（0,0）和点（1,1），在
（0, +∞）内严格单调增加且无界。
　　当时，它的图形如图2，在（0,
+∞）内严格单调减少且无界，曲线以x轴和y轴为渐近线，都通过点（1,1）。
手写板图示0002-03
　　3.指数函数
　　y=ax（a＞0，a≠1）
手写板图示0002-04
　　它的定义域是（-∞, +∞），由于不论x为何值，总有ax＞0，且a0=1，所以它的图形总是在x轴的上方，
　　且通过点（0，1）。
　　当a＞0时，函数严格单调增
　　加且无界，曲线以x轴的负半轴为
　　渐近线；
　　当0＜a＜1时，函数严格单
　　调减少且无界，曲线以x轴的正半
　　轴为渐近线，如图3
　　以无理数e=2.7182818…为底的指数函数y=ex，是微积分中经常用到的。
　　4.对数函数
手写板图示0002-05
　　y=logax（a＞0，a≠1）
　　它的定义域为（0, +∞），不论a为何值，对数曲线都通过点（1，0）。
　　当a＞1时，函数严格单调增加且无界，曲线以y轴的负半轴为渐近线；
　　当0＜a＜1时函数严格单调
　　减少且无界，曲线以y轴的正半轴
　　为渐近线，如图4所示。
　　以无理数e为底的对数函数
　　y=logex叫自然对数函数，简记作
　　y=lnx。
　　自然对数函数在微积分中是经常用到的。
　　5.三角函数
　　三角函数有以下六个：
　　y=sinx　　y=cosx　　y=tanx
　　y=cotx　　y=secx　　y=cscx
　　在微积分中，三角函数的自变量x一律以“弧度”为单位。例如x=1就表示x等于一个弧度（57°17′44.8″）。
　　函数y=sinx的定义域为（-∞, +∞），是奇函数，且是周期等于2π的周期函数，其图形如图5所示。
　　函数y=cosx的定义域为（-∞, +∞），是偶函数，且是周期等于2π的周期函数，其图形如图6所示。
　　因为|sinx|≤1，|cosx|≤1，所以它们都是有界函数。
　　函数y=tanx的定义域是的一切实数。它是奇函数，且是周期为π的周期函数，其图形如图7所示。
　　函数y=cotx的定义域是的一切实数。它也是奇函数，且是周期为π的周期函数，其图形如图8所示。
　　6.反三角函数
　　常见的反三角函数有以下四个：
　　y=arcsinx　　y=arccosx
　　y=arctanx　　y=arc cotx
　　它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的，由于y=sinx，y=cosx在定义域内不单调，所以对于y=sinx，只考虑，对于y=cosx，只考虑x∈[0，π]使他们单调，并使其反函数存在。此时我们称反正弦函数和反余弦函数取主值，
　　它们的图形分别为图9和图10中的实线部分。
　　y=arcsinx和y=arccosx的定义域都是[-1,1]。
　　同理，对于反正切函数y=arctanx，也取主值，即
，它的定义域为（-∞，+∞），其图形如图11所示。
　　六、复合函数与初等函数
　　1.复合函数
手写板图示0002-06
　　定义：设y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数 ，又设X表示函数
的定义域的一个子集，如果对于X上的每一个取值x所对应的u值，函数y=f（u）有定义，则y通过而成为x的函数，记为这个函数叫做由函数y=f（u）及复合而成的复合函数，它的定义域为X，其中x称为自变量，u称为中间变量，y称为因变量或函数。
　　所以复合函数实际就是将中间变量代入后所构成的函数。
　　注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。
　　例如y=arcsinu及u=x2+2就不能复合成一个复合函数。因为对于u=x2+2的定义域
（-∞, +∞）内的任何值x所对应的u值（都大于或等于3）都不能使y=arcsinu有意义。
手写板图示0002-07
　　复合函数不仅可以由一个中间变量，还可以有更多的中间变量，如u、v、w、t等，即可以经过多次复合得到一个函数。
　　在求函数的导数时，往往要反过来考虑问题，即一个函数是有哪几个基本初等函数（或简单函数）复合而成的？
　　例7.复合函数
　　（1）[0206] 设f（x）=lnx,g（x）=e2x+1，则f[g（x）]=______。
　　[答] lne2x+1=2x+1。
手写板图示0002-08
　　（2）[0401]设，则f[g（x）]=______。
　　[答]。
手写板图示0002-09
　　 （3）[9906] 设y=3u,u=v2,v=tanx，则复合函数y=f（x）=_______。
　　[答]。
手写板图示0002-10
　　 （4）设f（x）的定义域是[1,10]，复合函数f（10x）的定义域是_______。
　　[答] [0,1]。
手写板图示0002-11
　　2.初等函数
　　定义　由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）或有限次复合所构成、并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
　　例如，y=sin（3x-1），y=tan2（lnx）等都是初等函数。
手写板图示
　　在微积分中所研究所讨论的主要是初等函数。
　　附录：常用的初等数学基本公式
　　一、乘法公式；反之，因式分解公式
　　（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab
　　（a+b）（a-b）=a2-b2
　　（a±b）2=a2±2ab+b2
　　（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3
　　（a±b）（a2 ab+b2）=a3±b3
　　二、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
　　求根公式
　　三、指数
　　1.指数有关概念 ：a0=1　　　
　　2.指数运算法则
　　　　　
　　四、对数
　　1.对数定义 若ab=N,则b=logaN（a＞0,a≠1）
　　2.对数性质：loga1=0，logaa=1，（elnN=N）
　　3.对数运算法则
　　五、数列
　　1.等差数列：
　　通项公式 an=a1+（n-1）d
　　前n项和公式
　　 2.等比数列：
　　通项公式 an=a1qn-1
　　前n项和公式
　　六、常用三角函数公式
　　1.同角三角函数间基本关系式
　　2.二倍角公式
　　3.降幂公式
　　七、特殊角的三角函数值
　　八、旋转体的面积与体积公式
　　1.正圆柱体：　　
　　2.正圆锥体：　　
　　3.球体：　
　　九、直线
　　1.直线的倾角和斜率：
　　2.直线的斜截式方程：
　　3.两直线的平行与垂直：己知两条直线
　　若;若，则复合函数定义域_百度文库
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复合函数定义域
主​要​总​结​了​大​量​的​符​合​函​数​定​义​域​的​常​见​习​题
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你可能喜欢关于抽象复合函数定义域的求法
有同学反映，昨天上数学课讲解的关于定义域的求法，上课听懂了(其实我认为根本没有真正的懂)，但是不会做题，为此我把本节课的内容换个角度（用换元法）讲解一下，希望你能彻底理解。
y=f(x)xy=f(x)x
& y=f(x)yy=f(x)y
y=f(x)=2x2+3x-5
y=f(x)f(x)
y=f(x)xg(x)y=f(g(x))y=f(t)t=g(x)
y=f(x)[m,n]y=f(g(x))
y=f(x)xy=f(g(x))x
mg(x)ny=f(g(x))
1y=f(x)[0,3]y=f(3+2x).
t=3+2xy=f(x)[0,3]y=f(t)[0,3]t=3+2x[0,3]
g(x)=3+2xt=3+2xx=3+2xy=f(x)x
y=f(3+2x)xx=3+2xx
y=f(g(x))[m,n]y=f(x)
y=f(g(x))xy=f(x)x
t=g(x)[m,n]ty=f(x)
2y=f(2x-1)[0,3]y=f(x).
y=f(2x-1)[0,3]0x3t=2x-1t=2x-1[-1,5]
y=f(t)t[-1,5]
y=f(x)x[-1,5]
y=f(x)y=f(t)xt
y=f(g(x))[m,n]y=f(h(x))
y=f(g(x))xy=f(h(x))xg(x)h(x)y=f(x)
y=f(g(x))y=f(x)y=f(x)y=f(h(x))
3y=f(2x-1)[0,3]y=f(3+x).
y=f(2x-1)[0,3]0x3t=2x-1t=2x-1[-1,5]
y=f(t)t[-1,5]
y=f(x)x[-1,5]
t=3+xt=3+x[-1,5]
故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]
说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。②③④．（填序号即可）
已知函数f（x）=a-x-1（a∈R）．（1）用单调函数的定义探索函数f（x）的单调性：（2）求实数a使函数f（x）为奇函数．
用演绎法证明函数y=x3是增函数时的小前提是（　　）A．增函数的定义B．若x1＜x3，则f（x1）＜f（x2）C．函数y=x3满足增函数的定义D．若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2）
已知某二次函数f（x）图象过原点，且经过（-1，-5）和（2，4）两点，（Ⅰ）试求f（x）函数的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明．
如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是（　　）
A、并列关系B、从属关系C、包含关系D、交叉关系
1、29；2、=1，=20063、[-，]；4、（1）；& (2){3,2,6}；5、；6、2n+2；7、a≥4时，定义域为[-2,2];2≤a&4时，定义域为{x|2-a≤x≤a-2};0&a&2时，构不成函数&&&&&&&&&&&&&&&&&
2.1.1(3)&&& 函数的图象[三维目标]一、知识与技能1、进一步理解函数图象的描点画法；& 2、了解并识记图象的平移、对称规律； 3、初步掌握用相关点法求函数解析式的思路与方法& 二、过程与方法：通过具体图象特征得到一般的情况，并由一般再到特殊进行应用& 三、情感态度与价值观：由特殊→一般→特殊，使学生意识认识事物的一般规律[重点]平移、对称规律[难点]平移、对称的应用――相关点法[过程]一、问题情景1：如果f:A→B是集合A到B的一个函数,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}的几何意义是什么?（函数y=f(x)图象上的点，这样可以将函数图象上的点描出）问题情景2：初中阶段作函数的方法步骤是什么？（列表――描点------连线）。&&& 二、新课：引入主题――函数的图象例1、作出下列函数的图象⑴y=x(|x|≤1)&& ⑵y=1-x（-1≤x≤2,x∈Z）& ⑶y=&&& ⑷y=解：⑴⑵⑶定义域{x|x≠1，x∈R},y==x⑷y=|x|,当x≥0时，y=x；当x&0时，y=-x说明1：作函数图象的方法步骤：列表――描点------连线。其中列表是为了描点，可以略去；连线看具体函数是否需要，故主要在于描点。也就是说，函数图象的一般作法是描点法 说明2：作函数图象一定要注意定义域，复杂的要先化简后画图，画图时要体现三要素：原点、正方向（用箭头表示）、长度单位（可以用一个点的坐标来体现）例2、画出函数y=x2+1的图象，（1）将f(-2),f(1)与f(3)从小到大用&号连接起来；（2）对于0&x1&x2,比较f(x1)与f(x2)的大小（教材例2）例3、在同一坐标系内作出f(x)=x2,g(x)=(x-1)2,h(x)=x2+1的图象，由之可以看出什么规律？解：图象可以看出，将f(x)=x2的图象向右平移一个单位得到g(x)=(x-1)2=f(x-1)的图象；将f(x)=x2的图象向上平移一个单位得到h(x)=x2+1=f(x)+1的图象说明：一般的，将y=f(x)向右平移m个单位得到y=f(x-m)的图象；将y=f(x)的图象向上平移n个单位得到y=f(x)+n的图象。例4、设f(x)=(x&0)，作出它以及y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)的图象解：说明：y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于原点对称三、总结：本节主要讲了三点内容1、描点法画函数的图象（注意三要素的描出）；2、图象的基本变换:y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m),3、y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于原点对称四、练习：教材28页内容作业： P29____3,6，11[补充习题]1、在同一坐标系内，函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象可以是下列中的（&&& ）2、函数y=x+的图象是下列中的（&&&&& ）3、函数f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),则f(1),c,f(-1)从小到大的顺序是_____________;f(1),f(2),f(4)从小到大的顺序是__________________4、垂直于x轴的直线x=a与一个函数y=f(x)交点的个数为_______________5、y=f(x)图象向左平移一个单位后如图，比较f(1.5)与f(2)的大小6、求函数y=x2-4x+6,x∈与y=2x-的值域区间7、写出函数f(x)=x2-x关于y轴对称、x轴对称及原点对称的函数关系式*8（选作）根据函数y=(k&0)的对称中心为(0,0),求函数y=(b&a)的对称中心[参考答案]1、C；2、C；3、f(1)&c&f(-1),f(1)&f(2)&f(4);4、至多一个；5、f(2)&f(1.5);& 6、(1);(2)。7、关于y轴对称f(-x)=x2+x；关于x轴对称-f(x)=-x2+x；关于原点对称-f(-x)=-x2-x*8、y=1+,设f(x)=,则1+=f(x+a)+1,y=f(x)向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到y=f(x+a)+1的图象；而y=f(x)的对称中心为(0,0),原函数的对称中心为(-a,1)&&&&&&&&&&
&2.1.2(1)&&& 具体函数的表示方法[三维目标]一、知识与技能：1、了解具体函数表示法是对应法则的三种方式； 2、会根据分段函数、常数函数求值，并会画其图象二、过程与方法：1、通过复习函数要素的条件，来说明函数表示的三种形式；2、通过实例说明常数函数与分段函数，进而会分段函数表示与求值三、情感态度和价值观：1、由要素到表示法，体会联系变化的观点；2、实例说明常数函数与分段函数，来体会发展的观念[重点与难点]分段函数的应用[过程]一、复习函数的三要素：定义域、值域、对应法则二、问题情景：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，试表示x∈{1,2,3,4}时的函数关系。表示一：x（听）1234y（元）2468（说明：这一表示方法称列表法）表示二：在坐标系内作出函数的图象，有：&& 这一方法称图象法&& 表示三：y=2x, x∈{1,2,3,4};&& 这一方法称解析法一般具体函数的表示，可以用图表形式来体现对应关系――列表法；可以用图象形式来体现对应关系――图象法；可以用初中阶段的关系表达式体现对应关系――解析（式）法。引入主题：具体函数的表示方法二、典例剖析例1、国内投寄信件（外埠），每封信不足20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，依此类推，写出以每封信x克(x≤60)为自变量，以应付邮资y（分）为函数值的函数关系式并画出函数的图象解：y=,图象如图象这样，将定义域分成几个不同的范围，在不同范围上对应法则也不同，反应到图象上分成了数段，称分段函数.注意：分段函数是一个函数而不是多个函数，所以书写时用单向大括号分别列出不同的对应情况。练习1：作出下列函数的图象：(1)y=|x|; (2) f(x)=|x+3|;(3) y=|x+5|+|x-3|练习2：y=1(x∈R)是否为一个函数，是作出其图象（是函数，图象如图(1), 函数值恒为某一个值，这样的函数称常数函数）例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费，试写出收费关于路程的函数解析式解：设路程为xkm时，收费为y元，则y=练习：教材P31---1,3思考：是否所有的函数都有图象？（未必，如D(x)=就没有图象）&&&& 例3、已知f(x)=,求f(0)、f(7)的值&&&& 解：f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=12+3=15,f(7)=f(11)=14&&& 三、总结及作业：函数的表示方法有列表法、图象法、解析式法，分段函数与常数函数式是两种特殊的函数。作业P32_1、2、5、6、7、8、11[补充习题]1、国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过1600元的，免征个人所得税；超过1600元的部分需要争税，设全月纳税所得额为m，m=全月总收入-1600元，税率见下表：级数全月纳税所得额税率%级数全月纳税所得额税率%1不超过500元部分56超过4至元部分302超过500元至2000元部分107超过6至元部分353超过2000元至5000元部分158超过8至元部分404超过5000元至20000元部分209超过100000元至200000元部分455超过20000元至40000元部分2510超过200000元部分50若某人月收入为x元，所纳税为y元，则y是x得函数的大致图象可能是（&& ）&&&&&& && 2、入图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm,动点P从A出发，在折线AD-DC-CB上以1cm/s的速度向B匀速移动，则△ABP面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系是图中的（&& ）&4、函数f(x)=,若f(x)=3,则x=_____________5、函数f(x)=,则f[f()]=________________6、根据函数f(x)的图象，写出其解析式_____________________7、作出函数y=|x2-2x|+1的图象8*（选作）说明方程|x2-4x+3|=a实数根的解的个数[参考答案]1、B；2、A；3、B；4、；5、3/2；6、f(x)=7、略；8*、作图象知道，a&0时，无解；a=0或a&1时，方程有两个不同的实数解；a=1时，有三个实数解；0&a&1时，有四个解&&&&&&&&&&&&&&&
&2.1.2(2)函数解析式的求法[三维目标]一、知识与技能1、掌握求函数解析式的直接法、待定系数法、拼凑与换元的一般方法2、理解求函数解析式的消元法、赋值法特殊方法3、在赋值法基础上，了解抽象函数的有关概念二、过程与方法通过复习引入直接法与待定系数法，通过差异分析找出拼凑、换元、赋值法三、情感态度与价值观通过推陈出新，来体会联系发展的辨证关系[重点、难点]解析式求法[备注]本节是一个课件03[过程] 一、情景引入：复习函数的表示方法有哪些？最常用的是什么方法？（答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。解析式法是最常用的表示方法。）&问题：函数的解析式怎样求呢？（标题：函数解析式求法）& 二、典例分析例1，已知f(x)=,求g(x)=的解析式分析：f(x)是分类定义的，相应的f(x-1)与f(x-2)也是分类定义的解：f(x-1)=,f(x-2)= g(x)=说明：这一方法，根据f(x)的定义而直接求g(x)的解析式，称直接法练习：
已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[g(x)]（解：f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；）说明：[f(x)]2常常写成f2(x)例2、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式解：[方法一]f(x+1)= 4[(x+1)-1]2+8[(x+1)-1]+7=4[(x+1)2-2(x+1)+1]+8(x+1)-8+7=4(x+1)2+3&&&&&&&&&&&
∴f(x)=4x2+3说明：该题因为左边自变量为x+1，右边也变成含有它的式子，这一方法称拼凑法，拼凑的技巧是“先写后算”，即先写上要拼凑的结果x+1,再看多算了什么，进行加、减、乘、除四则运算，以保持式子的值相等[方法二]令x+1=t则x=t-1 &&f(t)=4(t-1)2+8(t-1)+7=4t2-8t+4+8t-8+7=4t2+3∴f(x)=4x2+3说明：这一方法是将x+1看作一个变量t，称代换法或换元法，这也是已知f[g(x)]的解析式求f(x)解析式的一种方法。练习：若,求f(x) （& (x≥1)）例3、已知f(x)是x的一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1有解得或∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1之一说明：象这样已知f(x)的结构形式时，可以先设成其结构式（如：一次函数设为ax+b二次函数设为ax2+bx+c,其中a≠0），在根据条件求出相应的系数，代回到原设的式子中，而得出解析式，这一方法称待定系数法。例4，对一切非零实数x，有f(x)+2f()=3x,求f(x)分析：该式有两个变量f(x)和f()，要解出f(x)，不可能；需要再造出一个f(x)和f()的方程，如何造呢？观察式子的特征：再f作用下仅有两个量x及，于是想到能否用一个代替另一个而得到一个方程呢？解：由f(x)+2f()=3x&&& ①&& 以代替x得f()+2f(x)=3&& ②由①②消去f()得f(x)=-x(x≠0)说明：当发现“f”作用下，仅有x及另外一个与x有关的式子时，可以用该式代替x，得到另一个关系式，消去其他即可得到f(x)的解析式，这一方法与解方程组方法类似，称消去法。练习：已知f(x)满足f(0)=1,对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式（令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)故f(x)=x2+x+1;另法：令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1),从而f(-y)=1-y(-y+1),f(x)=x2+x+1说明：这一解法是对x、y取一定值而求出的，也称赋值法，解时要分析已知与结论之间的差异进行赋值，这是求抽象函数解析式的常用方法）1、这种通过比较已知与结论间的差异，再消除差异，从而使问题获得解决的思想方法称差异分析法。它是求数学计算性题最常用的方法。2、该题消除差异的具体方法是对x、y取一定值而求出的，称赋值法。三、[总结]求f(x)解析式的常用方法有1，直接法2，待定系数法：已知f(x)的结构形式时3，拼凑或换元法：已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式时4，代入消元法：当“f”作用下，时，仅有x及另外一个与x有关的式子，可以用代换法得到另一式,消去其他，解出f(x)（有时用差异分析的赋值法）四、作业：教材P32----3,4,10,13[补充习题]1，已知f(x)图象如图，则f(x)的解析式为（&&&&&
）&&&&&&&&&&
A,&& B, &&&&C,&&& D,x2-2|x|+12,对任意x、y∈R,有f(xy)=f(x)+f(y),则下列结论中正确的序号为____（可以填多个）①f(1)=0;& ②f()=-f(x)&& ③f()=f(x)-f(y)&&&
④f(x)&f(x)+f(1)3，已知函数f(+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为(&&& )?A.f(x)=x2 B.f(x)=x2+1(x≥1)?C.f(x)=x2－2x(x≥1)D.f(x)=x2－2x+2(x≥1)4，⑴f(3x-4)=9x2-12x+16,则f(x)=____________;⑵f(2x+1)=x2-2x,则f()=___________;⑶f(x-)=x2+,则f(x)=_______________5,一个实系数的一次函数f(x),满足f{f[f(x)]}=8x+7,则f(x)=______________6,已知f(x)=,f(a)=3,则a=__________7、已知f(x)=3x-1,g(x)=2x+3,求f[g(x)],g[f(x)]8，已知f(x)是x的二次函数，f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x)9、f(x)对x&0时有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且f(27)=8,求f()的值10（选作）已知f(x)满足af(4x-3)+bf(3-4x)=2x(其中a2≠b2)条件时，求其解析式& &[答案]1，B;&& 2,①②③;&& 3，C；4,⑴x2+4x+16;⑵;⑶x2+2;&& 5,2x+1&&&&& 6,；7，f[g(x)]=6x+8,g[f(x)]=6x+1；8、f(x)=x2+1；9、f(27)=f(3×3×3)=f(3)+f(3)+f(3)=3f(3)=6f()=8,f()=；8,设4x-3=t,有af(t)+bf(-t)=,以-t代替t得af(-t)+bf(t)= ,从中消去f(-t)得f(t)=
;f(x)= &&&&&& &&&&2.1.3(1)函数的单调性定义及图象观察法[三维目标]一、知识与技能1、理解函数单调性的概念2、掌握图象观察法确定函数的单调区间二、过程与方法通过图象引入函数单调性的定义，并指明判断函数单调性的图象方法及注意事项三、情感态度与价值观&&& 通过具体→抽象的汇总，培养学生的抽象能力及应用能力，体验认识事物的具体→抽象→具体的过程[教学重点难点]在某个区间上单调增（或减）与单调增（或减）区间的区别[授课类型]：新授课[教学过程：]一、问题情景：作出函数y=|x2-2x-3|的图象，从图象观察，x在什么区间上y随x的增大而增大，在什么区间上y随x的增大而减小？( 在区间[-1,1] 及[3，+∞)上y随x的增大而增大，在区间(-∞,1]及[1,3]上y随x的增大而减小)象这样，y随x的增大而增大（减小）的区间，我们称函数在这个区间上单调增（减），相应的函数称增函数（或减函数）。若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.二、要点内容：通过图象得到的这样的区间，我们称图象观察法。问：上面引例中的函数，在区间[4,+∞）上单调性如何？能否说这个函数的单调增区间是[4,+∞）？（单调增，不能，说“函数的单调区间是…”是针对整个定义域而言的，既不能多，也不能少，那怕是一个值；而“函数在××区间上单调增（或减）”或“函数在××区间上是增（或减）函数”，可以是其中一部分区间。注意区分这种说法的不同）练习1：教材P37----6,练习2：练习：作出函数y=|x2-x-6|的图象，并指出其单调区间（解答：增区间[-2,]及,减区间及[，3]）说明1：函数的单调性是对某个区间而言的，有多个增（或减）区间时，是在各自单独的区间列上单调，而不是取并集后形成的一个集合上单调。说明2：中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，在考虑它的单调区间时，能包括的尽量包括端点；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例：对于函数f(x)=x2-2ax+2,求下列条件下实数a的值或范围⑴函数的单调增区间为；⑵函数在上单调增解：⑴函数f(x)的对称轴为x=2,因其增区间为，对称轴应为x=2,而二次函数只有一个对称轴，故a=2⑵函数在上单调增,只要对称轴不在区间的右侧，故a≤2思考：知道函数图象的，可以用图象观察法得到单调区间，但有的函数不知道函数图象，那么如何给函数单调性下个定义呢？定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当&时，都有&,则说在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当&时，都有&,则说在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓练习1：教材P37----6练习2：x&0时，f(x)&f(0),则f(x)单调增。正确吗？（不正确）三、小结& 1、函数的单调区间是区间列，不是一个集合，所以在多个区间时，不能用并相连。书写时能包含的尽量包含端点。2、函数在那个区间上单调增（或减），这个区间可能比增（或减）区间要“小”；而函数的增（或减）区间是谁，是指该区间恰好是增（或减）区间，不能“多”，也不能“少”，它们是两个不同的概念。3，图象观察法判断函数单调性也就是看函数的图象从左到右是上升还是下降。4、函数单调性定义注意是针对的任意点四、课后作业：课本P43-----1，2，[补充习题]1、填表函数单调区间单调性y=+bk&0&&k&0&&y=ax2+bx+ca&0&&a&0&&2、函数y=|x-1|+|x-4|的单调增区间是__________,单调减区间为___________3、函数y=的单调区间是___________4、⑴函数f(x)=x2+ax+1在上单调减，则实数a的范围是__________⑵函数f(x)=-x2+ax+2+a2在上是增函数，在上是减函数，则a=___5、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥f(0),则实数a的范围是________________6、根据自己举出的函数例子或画图填空⑴若y=f(x)在区间I上单调增，则A&0时y=Af(x)+B在区间I上的单调性为__________, A&0时y=Af(x)+B在区间I上的单调性为__________⑵若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且在区间[a+c,a+3c]上单调减，则在其对称区间[a-3c,a-c]上的单调性为_____________⑶若y=f(x)关于点(0,0)对称，在区间(a,b)（a&0）上单调增,则在点(0,0)的对称区间(-b,-a)上，f(x)的单调性为_____________7、函数f(x)=mx2-(5m-2)x+m2-4在上是增函数，求实数m的取值范围8、画出下列函数的图象，并指出其单调区间⑴y=3&& ⑵y=||x|-3|9*（选作）若函数f(x)=a|x-b|+2在上为增函数，求实数a、b的取值范围函数单调区间单调性y=+bk&0(-∞,0)及（0，+∞）↓k&0（-∞,0）及(0,+∞)↑y=ax2+bx+ca&0↓&&&↑a&0↑&&&↓&[参考解答]：1、2、，；&&&&& 3、单调减区间为(-∞，-1)及(-1,+∞)4、⑴a≤-2；⑵6；& &5、[0，4]；&&&&& 6、⑴增，减；⑵增；⑶减7、m=0时，f(x)=2x-4满足条件；m≠0时，，0&m≤2；总之m的范围是[0，2]8、⑴无单调区间⑵单调增区间[-3,0]、单调减区间、[0，3]9*、f(x)= 在上为增函数,作出图象2.1.3(2)函数的单调性定义验证法[三维目标]一、知识与技能1、了解函数单调性的定义有原始定义和变形定义两种2、会用定义验证函数的单调性二、过程与方法通过具体的例子说明函数单调性证明的定义验证法的一般步骤：设值----作差变形-----判断，并由此导出变形的具体常见技巧三、情感态度和价值观体会变形的具体技巧[重点]单调性定义验证法的步骤[难点]变形的技巧[过程]一、复习引入：问题1：函数单调性判断的方法是什么？定义是什么？答：、图象观察法；对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当&时，都有&,则说在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当&时，都有&,则说在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓&& 问题2：如果不知函数的图象，怎么知道其单调性？（答：定义验证）问题3：如何进行定义验证？（引入主题函数单调性的定义验证法）二、新课内容例1、证明函数f(x)=在定义域内单调增证明：函数的定义域为[方法一]设x1,x2为上任意两个值，x1&x2,则f(x2)-f(x1)=-=∵x2&x1&& ∴x2-x1&0
而+&0& ∴f(x2)&f(x1) ∴函数f(x)=在定义域内单调增&& [方法二]f2(x2)-f2(x1)=x2-x1&0,∴f2(x2)&f2(x1)& ∵f(t)=t2在t≥0上单调增&&& ∴f(x2)&f(x1)
∴函数f(x)=在定义域内单调增说明：证明一个函数单调性的一般步骤为：设值――作差变形――判断结论例2、证明函数y=x3在(-∞,+∞)上单调增证明：任意实数x1,x2,x1&x2,有y2-y1=x23-x13=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)=(x2-x1)[(x2+)2+]∵x1&x2& ∴x2-x1&0,
(x2+)2+&0& ∴y2&y1&
∴函数y=x3在(-∞,+∞)上单调增说明：证明一个函数单调性的常见变形有：分解因式、配平方、乘方及开方（限于非负数）、有理化例3、求函数f(x)=x+在（2，+∞）及(0,2)上的单调性解：对于任意x2&x1&2,f(x2)-f(x1)=
(x1x2-4),x1x2&x12&4,f(x2)&f(x1),∴f(x) 在（2，+∞）上↑对于任意x1,x2∈(0,2)；0&x1&x2,f(x2)-f(x1)=x2+-(x1+)=(x1x2-4)&0,x12&x1x2&x22,&&& &&∴x1x2-4&x22-4≤0，即x2≤2时，f(x2)-f(x1)&0,f(x)在(0,2)上单调增说明：仿此同理还可以证出，函数y=x+(k&0)在↑，在↓这是一个很常见的结论，也是高考命题的高频点，请记住该结论三、总结：验证一个函数的单调性，一般用定义进行，定义含有原始定义和变形定义；其步骤为：设值――作差变形――判断结论，常见变形有：分解因式、配平方、乘方及开方（限于非负数）、有理化证明一个函数的单调性，目前只能用定义。四、作业：教材P43----4，7[补充习题]1、判断函数f(x)=x2-在区间（0，+∞）上的单调性，并证明2、用定义证明f(x)=-x在R上是减函数3、当a≠0时，讨论函数f(x)=(-1&x&1)的单调性4、已知函数f(x)对任意实数x,y，有：f(x+y)=f(x)+f(y),且x&0时有f(x)&0（1）求f(0)的值；(2)判断f(x)与f(-x)的大小关系；(3)判断f(x)的单调性并证明；(4)如果定义域变为(0,+∞)，其余条件不变，而且已知f(2)=1,解关于x的不等式f(x)+f(x-3)&3[解答参考]1、增；2、证明时分子有理化；3、a&1时，减；a&1时，增；4、(1)令x=y=0,可以得到f(0)=0；(2)f(-x)=-f(x)；(3)对于任意x2,x1,x2&x1,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)&0,f(x2)&f(x1),f(x)↑(4)由已知可以导出f(6)=3，f(x+x-3)&f(6)即f(2x-3)&f(6),3&x&总之，f(x)↓&&& 练习：判断下列函数的单调性⑴f(x)=&&&&&
⑵y=& x∈（0，+∞）（答⑴↓；⑵↑）2.1.3(3)函数单调性的解析式观察法[三维目标]一、知识与技能1、了解函数单调性的意义是函数值y随自变量x的增大而变化的意义2.能应用常见结论及解析式观察法判断函数的单调性3、了解复合函数单调性的规律二、过程与方法通过化为生为熟，体现化归与转化的思想方法三、情感态度与价值观通过化难为易，体会联系与变化的辨证关系[重点、难点]解析式观察法判断函数的单调性&[教学过程：]一、1、复习判断函数单调性的方法是什么？（定义验证法与图象观察法）2、函数单调性的实质是什么？（y随x的增大而变化的情况，因此我们可以通过观察这一变化情况，直接得到函数的单调性，这一方法称解析式观察法。）二、新课内容引例：判断函数y=x3+x在R上的单调性（解答：y=x3↑，y=x↑，y=x3+x↑）一般的有：f(x)与g(x)具有相同的单调性,则f(x)+g(x)、f(x)+A(常数)与它们的单调性相同将引例变形为1、y=2(x3+x)+1及y=-2(x3+x)+1，单调性又如何？（y=2(x3+x)+1↑，y=-2(x3+x)+1↓）一般的有：Af(x)+B(A为常数)在A&0时,与f(x)在同一区间上具有相同单调性,在A&0时具有相反的单调性;& 再将引例变形为2：f(x)=呢？（此时定义域为{x|x∈R,且x≠0}；当x&0时，x3+x&0且随x的增大而增大，f(x)↓；当x&0时，x3+x&0且随x的增大而增大，f(x)↓。所以f(x)的单调减区间为(-∞，0)及(0,+∞)）思考：一般的，与f(x)在同一区间上一定具有相反的单调性吗？如果不是，加什么条件可以使之成立？（不一定，如-1&2但其倒数-1并不大于1/2，加上同号条件方可） 于是有：f(x)恒正或恒负,则与f(x)在同一区间上具有相反的单调性;&&&&&&&&&&&&
证明：不妨设f(x)