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设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为Sn，已知点Pn（xn，Sn）在直线y=kx+b上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又yn=log0.5xn．（1）求证：数列{xn}是等比数列；（2）如果yn=18-3n，求实数k，b的值；（3）如果存在t，s∈N*，s≠t，使得点（t，ys）和（s，yt）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：杭州二模
（1）∵点Pn（xn，Sn），Pn+1（xn+1，Sn+1）都在直线y=kx+b上，∴Sn=kxn+b，Sn+1=kxn+1+b两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn，即xn+1=kxn+1-kxn，∵常数k≠0，且k≠1，∴xn+1xn=kk-1（非零常数）∴数列xn是等比数列．（2）由yn=log0.5xn，得xn=(12)yn=8n-6=8-58n-1，∴kk-1=8，得k=87．又Pn在直线上，得Sn=kxn+b，令n=1得b=S1-87x1=-17x1=-8-57．（3）∵yn=log0.5xn∴当n＞M时，xn＞1恒成立等价于yn＜0恒成立．又yn=log0.5xn=log0.5（x1oqn-1）=nlog0.5q+log0.5x1q∴数列{yn}为等差数列∵存在t，s∈N*，使得（t，ys）和（s，yt）都在y=2x+1上，∴ys=2t+1 ①，yt=2s+1 ②．①-②得：ys-yt=2（t-s），∵s≠t∴yn是公差d=-2＜0的等差数列①+②得：ys+yt=2（t+s）+2，又ys+yt=y1+（s-1）o（-2）+y1+（t-1）o（-2）=2y1-2（s+t）+4由2y1-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y1=2（t+s）-1＞0，即：数列{yn}是首项为正，公差为负的等差数列，∴一定存在一个最小自然数M，使yM≥0yM+1＜0，即2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥02(t+s)-1+M(-2)＜0解得t+s-12＜M≤t+s+12．∵M∈N*，∴M=t+s．即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，xn＞1恒成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为Sn，已知点Pn（x..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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与“设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为Sn，已知点Pn（x..”考查相似的试题有：
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lim（n趋无穷）Xn=a,显然存在{Xn}的子列{X&nk&}满足lim（nk趋无穷）X&nk&=a.
{Xn}是一单调数列,不妨设{Xn}是增数列。若存在...
方程x^n+x=1变为x^n=1-x,设f&n&(x)=x^n,g(x)=1-x.
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display: 'inlay-fix'知识点梳理
导数的运算：1、常见函数的导数：&（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）2、导数运算法则：&（1）和差：（2）积：（3）商：复合函数的导数：&运算法则复合函数导数的运算法则为：4、复合函数的求导的方法和步骤：&（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；&（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；&（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=e-x（cosx+sinx），将满足f'（...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx)，将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．(Ⅰ)证明数列{f{xn}}为等比数列；(Ⅱ)记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求\mathop {lim}\limits_{n→∞}\frac{S_{1}+S_{2}+…+S_{n}}{n}．
已知函数f(x)=x2-4，设曲线y=f(x)在点(xn，f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1，0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(Ⅰ)用xn表示xn+1；(Ⅱ)若x1=4，记a_{n}=lg\frac{x_{n}+2}{x_{n}-2}，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；(Ⅲ)若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3．
已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx)，将满足f′(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．求证：数列{f(xn)}为等比数列．设函数f（x）=+cosx的所有正的零点从小到达排成的数列为{xn}，则数列{xn}的通项公式为-43π+2kπ，n=2k-1，k∈N*-23π+2kπ，n=2k，k∈N*xn=*-23π+2kπ，n=2k，k∈N*．【考点】；．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过f（x）=+cosx=0，得x=2kπ±π（k∈Z），进而可得结论．【解答】解：令f（x）=+cosx=0，得cosx=-，∴x=2kπ±π（k∈Z），又∵xn为函数f（x）=+cosx的正的零点，∴xn=*-23π+2kπ，n=2k，k∈N*．【点评】本题是一道数列与三角函数的综合题，考查求数列的通项，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：cst老师　难度：0.71真题：0组卷：7
解析质量好中差
&&&&，V2.26958设数列{Xn}有界,又lim(n->正无穷)Yn=0,证明：lim(n->正无穷)XnYn=0.定义法
如果存在M>0,对任意的n都有：|xn|≤M,称数列{xn}有界.所以lim(n->正无穷) Xn=M故lim(n->正无穷)XnYn=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]=M*0=0
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