如图①,C为BE上一点,分别作等边三角形△A...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-10 15:51 标签： 等边三角形
如图①，点A（m，0）是x轴的上一点，且|n|+m?1=0．以OA为一边，在第四象限内作等边△OAB．C是x轴负半轴上_百度知道
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出门在外也不愁（2010o永州）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABoCD+BCoDA=ACoBD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+P′D；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段AD的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
（2）①证明：由托勒密定理可知PBoAC+PCoAB=PAoBC
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
∴PB+PC=PA，
②P′D、AD，
（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离．
∵△BCD为等边三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，
∴AD=2+BD2
=5（km），
∴从水井P（即图中的D点）到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．
（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证．&②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．
（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解．如图，C是线段BD上一点，分别以BC，CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的全等三角形对数有A._答案网
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&如图，C是线段BD上一点，分别以BC，CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的全等三角形对数有A.时间:&&分类:&&&【来自ip:&14.114.198.95&的&热心网友&咨询】
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如图，C是线段BD上一点，分别以BC，CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的全等三角形对数有A.1对B.2对C.3对D.4对
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C解析分析：根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），进行证明．解答：△EBC≌△ACD，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角?△EBC≌△ACD．CD=EC，∠FCD=ECG，∠GEC=∠CDF?△GCE≌△FCD．BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB?△BCG≌△ACF．故选C．点评：本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．
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&1、&2、&3、&4、&5、&6、&7、&8、&9、&10、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为A.B.C.D.不能确定_答案网
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&如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为A.B.C.D.不能确定时间:&&分类:&&&【来自ip:&17.148.144.134&的&热心网友&咨询】
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B解析分析：过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．解答：解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．点评：此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．
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&1、&2、&3、&4、&5、&6、&7、&8、&9、&10、如图,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为边,在AB的同侧作等边△ACD和等边△CBE,联结A继续：E、BD分别交CD、CE于M、N点,若AC=5cm,CB=3cm,则MN长为_____cm.
唯爱一萌920824
过程有点复杂,先证明MN//AB,在通过相似,求出MN的长度.答案应该是：15/8CM如果我没算错误的话.
易证：三角形AEC全等于三角形DBC三角形ACM全等于三角形DCN MC=NC 角MCN=60度。 ∴三角形MNC是等边三角形∴角MCA=角CMN=60∴MN//AB 重点在下面：
AD//EC所以三角形ADM相似于三角形EMC 三角形DMN相似于三角形DCB 三角形EMN相似于三角形EAC然后设MN=NC=MC=X 最后：
设MN=NC=MC=X（可有可无）根据相似三角形的性质，得到以下等式： DM/CM=AM/EM=CN/ENDM/CM=CN/EN（5-X)/X=X/(3-x) 解得：X=15/8 即：MN=15/8
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