本题难度：0.65&&题型：解答题
如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
来源：学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷 | 【考点】等腰三角形的性质．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BDC=90°，那么图中互为余角有&&&&对，它们是&&&&，∠1=∠A的根据是&&&&．
如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？
如图，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，求证：AB-AC＞BD-CD．
如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA=AB，延长CA到E，使EA=2AC，延长CB到F，使FB=3BC．如果三角形ABC的面积是1，求出三角形DEF的面积．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，AC=3EC．已知△CDE的面积是6平方厘米，那么△ABC的面积是多少？
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】设∠BAD=x．由AD平分∠BAC得出∠CAD=∠BAD=x∠BAC=2∠BAD=2x．由AC=BC得出∠B=∠BAC=2x．根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=60°即2x+x=60°求得x=20°那么∠B=∠BAC=40°．然后在△ABC中根据三角形内角和定理得出∠C=180°-∠B-∠BAC=100°．
【解答】解：设∠BAD=x．∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD=x∠BAC=2∠BAD=2x．∵AC=BC∴∠B=∠BAC=2x．∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°∴2x+x=60°∴x=20°∴∠B=∠BAC=40°．在△ABC中∵∠BAC+∠B+∠C=180°∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°．
【考点】等腰三角形的性质．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=”主要考察你对
等考点的理解。
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知识点试题推荐
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如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
21．（9分）（2015&咸宁）如图，在△ABC中，&C=90&，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若&B=30&，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．.
（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC&AF，进而求出AD．
（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD&BC，
∴&ODB=90&=&C，
∴OD∥AC，
∵&B=30&，
∴&A=60&，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．
（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴，即8r=6（8r）．
∴⊙O的半径为．
如图2，连接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴&DAC=&ADO，
∴&ADO=&DAO，
∴&DAC=&DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴&ADF=90&=&C，
∴△ADC∽△AFD，
∴，
∴AD2=AC&AF，
∵AC=6，AF=，
∴AD2=&6=45，
∴AD==3．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
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＞＞＞在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段..
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．图①图②(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；(3)求证：AD⊥B′E.
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）（2）见解析（3）见解析(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝，B′O＝.所以S△ADC＝××1×＝.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝×S△ADC×B′O＝.(2)证明：因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED，&&&&&&B′E?平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因为HF平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.(3)证明：连结EO，由(1)知，B′O⊥AD.因为AE＝，AO＝，∠DAC＝30°，所以EO＝.所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，所以AD⊥平面B′EO.又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E.
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段..”主要考查你对&&柱体、椎体、台体的表面积与体积，球的表面积与体积，组合体的表面积与体积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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柱体、椎体、台体的表面积与体积球的表面积与体积组合体的表面积与体积
侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，&
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
多面体的侧面积与体积：
旋转体的侧面积和体积：
&球的体积公式：
球的表面积：
S球面=求球的表面积和体积的关键：
由球的表面积和体积公式可知，求球的表面积和体积的关键是求出半径。常用结论：
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的4倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是. 定义：
组合体的表面积与体积主要通过计算组成几何体的简单几何体的表面积与体积来求解。组合体的表面积和体积与球有关的组合体问题：
一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或”、点。求几何体的体积的几种常用方法：
（1）分割求和法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和；（2）补形法：把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积；常见的补形方法：&&
&&&&& （3）等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。
发现相似题
与“在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段..”考查相似的试题有：
876741445490281239276294620137399037当前位置：
＞＞＞如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且AD=14AC+λ..
如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且AD=14AC+λAB(λ∈R)，则AD的长为（　　）A．23B．33C．43D．53
题型：单选题难度：偏易来源：不详
如图所示．∵∠A的平分线交BC于D，且AD=14AC+λAB(λ∈R)，∴四边形AEDF是菱形．∵AE=14AC，∴CEAC=34．∵DE∥AB，∴EDAB=CEAC=34，∵AB=4，∴ED=3．又∠FAE=60°，AD=AF+FD，∴AD2=AF2+FD2+2AFoFD=32+32+2×3×3×cos60°=27．∴|AD|=33．故选：B．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且AD=14AC+λ..”主要考查你对&&向量的加、减法运算及几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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向量的加、减法运算及几何意义
向量加法的定义：
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作，再做向量，则向量叫做与的和，即。 作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
向量加法的三角形法则：
已知非零向量a,b，在平面内任意取一点A，作a，，
这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则，如图
向量加法的平行四边形法则：
以同一点O起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．
向量减法的定义：
向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：。 作向量减法有“三角形法则”：设，那么，由减向量和终点指向被减向量和终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
向量减法的作图法：
&因此，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
坐标运算：
已知，则。向量加减法的运算律：
（1）交换律：； （2）结合律： 求向量的和的三角形法则的理解：
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量，仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。
作两个向量的和向量，可分四步：
①取点，注意取点的任意性；②作相等向量，分别作与两个已知向量相等的向量，使它们的起点重合；③作平行四边形，以两个向量为邻边作平行四边形；④作和向量，与两个向量有共同起点的对角线作为和向量，共同的起点作为和向量的起点，对角线的另一个端点作为和向量的终点．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了．
向量的加法需要说明的几点：
①当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且②当两个非零向量a与b共线时，a．向量a与b同向（如下图），即向量a+b与a(或b）方向相同，且&b．向量a与b反向（如上图）且|a|&|b|时，即a+b与b方向相同（与a方向相反），且
向量减法的理解：
①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法，其实，向量减法的实质是向量加法的逆运算．两个向量的差仍是向量；②作差向量时，作法一较为复杂，作法二较为简捷，应根据问题的需要灵活运用；③以为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的，应该加强理解并记住；④对于任意一点O，简记为“中减起”，在解题中经常用到，必须记住．
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