数学分析论文好难啊，应该怎样学，尤其是极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-12-06 16:26 标签： 数学分析
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　　编者注：本文是作者刚刚度过数学专业的大一“菜鸟季”，写下的一篇数学分析学习心得，与各位网友分享。应作者要求，通过哆嗒数学网匿名发布。同时哆嗒数学网欢迎大家投稿，QQ：.
　　数学分析，简称数分，主要内容是微积分，是数学专业数学学习的开端，也是通往未来更高等数学的开端。同样，它是分析方向的基础，学好数学分析非常重要。
　　数分和中学数学有着非常大的区别，可以说，中学和中学以前的数学，都是在介绍各种运算法则，理论性的东西非常之少。到了数分上，就有了非常多的理解性东西，虽然某些概念的定义仍然是用数学符号表达，但是要想完全彻底的理解概念，还是要做深入的思考，而不是像中学那样，仅仅是训练公式的熟练度。
　　对任何一门学科，教材和题集的选取都是至关重要的。这里说下笔者的体会，华东师大的两本书很适合入门，也是普遍普通数学系的数分教材。但是数分是很多后面科目的基础，包括后续的分析内容，实复分析，泛函调和分析，还有一些其他分支，例如微分几何，微分方程等等，一本好的数分教材应该稍微涉及到其他数学科目的基本概念。
　　这里推荐徐森林的《数学分析》。笔者在自学这套教材之后，发现它和普通数分教材比，有很多优点，列举如下:在讲授单元积分学时，本书通过引入零测集的概念，给出可积的充要条件，这对后续学习测度论有益；在讲授多元极限前，普遍本科生已经熟悉了单元极限，本书在此引入了拓扑学的一些基本概念，拓扑，度量空间，紧致集等，首先把开集推广到一般情况，进而把极限以及连续性推广到一般拓扑空间上，最后将连续性的一些定理推广到了一般拓扑空间上，这样，单元中所接触到的单侧极限，广义极限也仅仅是特例，再讲授多元极限，自然水到渠成；在讲授傅里叶级数时，引入了傅里叶积分和傅里叶变换，它们是调和分析的内容，可以用来计算某些含三角函数的积分的简便公式；在讲授多元积分的三大公式――斯托克斯公式、高斯公式、格林公式时，本书借助微分形式和外微分算子，将他们统一成一个公式，公式的统一既深入理解了三大公式的关系，又对后续学习流形有益。
　　俄罗斯有一套《数微积分学教程》，国内的很多数分教材都深受本书影响，本书可以说是数分的一本工具书，它含有大量的例题，并且内容非常丰富，包含了很多普遍教材没有的内容，例如绪论的通过证明有理数的不完备性，引入无理数，再证明实数完备性的内容，是大部分数分教材没有篇幅可以介绍的；高阶导数部分介绍埃尔米特差值公式；不定积分处介绍椭圆积分；正项级数的库默尔判别法;函数项级数处的拟一致收敛等等。但是本书是20世纪初所著的，当时测度论还不完善，所以并不包含比如可积的充要条件为不连续的点是零测集，这样的重要内容。对有能力的学生，可以选择卢丁(Rudin)的《数学分析原理》， 本书是作者卢丁所著的分析三部曲第一本，后两本则是《实分析和复分析》与《泛函分析》。这本书比上述教材都更有难度，因为它是直接从拓扑角度讲数分的，并且为了和后两本衔接，还引入了基本测度论。对于有能力的同学不妨一试。
　　下面说题集。对于大多数学生，天资并没达到天才的层次，光看教材是不能完全理解理论的，这一点越到后面更难的科目更能体现出来。应用理论解决问题，是理解理论的重要途径。但是，如果仅仅是看解答，并不会有太大进步的，经常直接看解答会让你对答案产生依赖，懒惰会让你不再独立思考，这就相当于你是在拄着拐杖走路。一旦到了需要独立解决问题的时候，就相当于拿走了你的拐杖，这时便很难行走了。因此，做题时独立思考是非常重要的，可以毫不夸张的说，独立做出一道题，比看十个解答都有用。这里按难度从易到难，推荐如下题集: 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》，这本书很适合准备考研；徐森林的《数学分析精选习题全解》这套就是和徐森林的《数学分析》配套的题集，值得一提的是科大的数分教材史济怀和常庚哲合著的《数学分析教程》上大部分有难度的课后习题，都可以在本书中找到解答；周民强《数学分析习题演练》，这一套很有难度，事实上大多题目来自W.J.Kaczor和M.T.Nowak所著的三本题集《Problems in Mathematical Analysis》；Poyla的《数学分析中的问题和定理》，Polya大师的这一套虽然是题集，但是观点非常高，可以说是数分难题的顶峰，借助问题来引出各种定理和技巧。最后推荐的这本书，笔者认为是学习数学分析的必读书目，但是笔者发现很难将它分在教材还是题集中，因此放在最后介绍，这套书叫谢慧民等著的《数学分析习题课讲义》，分上下两册，可以算作带有题集的学习辅导书。大部分学习辅导书，都是通过重述定理定义内容以及题目和解答来&讲&概念和定理的，本书却大篇幅的具体讲述各种定理该如何理解，一些相似概念的区别和联系，说它是难得的一套从浅如深理解数分的好书绝不为过。每一章最后，都有参考题，难度适中，缺点是题目没有给出解答或提示，这对初学者来说十分不方便。
　　自己看书做题是一方面，和他人讨论是更好的学习方式。可以参加学校组织的或者个人组织的研讨班，包括讨论定理或概念该如何理解，自己遇到困难的题目有哪些思路。还可以在一些数学网站上讨论数学，在较正规的数学网站上发言，往往需要LaTeX 打公式，有兴趣的学生可以自学下，并不是很难。
　　最后笔者推荐几个数学网站。这是博士数学论坛()，是国内最专业的数学网站，有很多高校的数学高手和数学系老师常驻。SE数学版()}这是国内外比较火的数学网站，它是MO(MathOverFlow.net)下的网站，后者是研究级别的数学网站，包括陶哲轩在内的很多数学家都在上面讨论。SE是为了保证后者讨论质量而建立的适合本科生讨论问题的网站(实际上SE接受任何水平的数学问题――哆嗒数学网注)，可惜数分模块中的问题更多的是计算，理论性不多。还有是罗马尼亚的&解题的艺术&网站()的数分模块。
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数学分析中求极限的几种重要方法
极限是数学分析的重要内容,是高等数学的理论基础和研究工具,学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用.由于极限的计算题目类型多变,而极限的求取方法也种类繁多,因此,针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大.本文通过总结归纳数学分析中求极限的几种重要方法,并且通过例子进行具体的说明,为高等数学初学者提供了一定的指导和帮助.
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内蒙古大学艺术学院附属中等艺术学校 内蒙古呼和浩特 010010
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会者不难,如果你认为难是因为你基础知识不扎实或缺乏相关训练.
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分析数学和代数学是数学领域2个重要的分支。分析数学的基础就是微积分。数学专业叫做《数学分析》，其他专业叫做《高等数学》(所谓的高等其实也就是16世纪的东西……)。 首先，我想说说为什么会觉得数学分析难。 1、授课顺序和人类认知顺序相反 大多数教材都是按照极限、导数和微分，不定积分和定积分，多重积分的顺序来授课的。殊不知，人类对分析数学的认知却并不是这个顺序。 早在极限有精确的数学定义以前，牛顿和莱布尼兹就分别从物理学和几何学的角度对微积分做出了巨大的贡献，如著名的牛顿-莱布尼兹公式——它将微分学和积分学完美的统一，让人们认识到了微积分的伟大魔力。然而，尽管当时微积分得到了空前的发展，但它存在着一个巨大的隐患:微积分学的基石——极限的定义非常笼统，没有人能清晰的给出无穷小的定义。所以当时的微积分好比是没有地基的摩天大楼。直到后来ε-σ语言的出现，无穷小才有了一个完整的定义:对于任意ε，总存在σ，使得当x&σ时，x－0的绝对值小于ε。从此，微积分才能够真正成为一门严谨的数学。 对于刚刚学习高等数学的同学们，ε-σ语言的出现是在微积分出现的数百年之后，自然对于刚接触微积分的同学们学习起来就会感到比较吃力。个人感觉，极限的定义是微积分的第一个难点，也是最重要的难点。 2、ε－σ语言是运动的 为什么说ε-σ语言难于理解，个人认为最重要的一点就是要认清极限的定义是一种在不断运动着的过程:无论ε多么小，当x&σ时，x-A的绝对值总比ε还要小。极限的定义中没有一个字眼提到了“无穷小”，然而，这段定义却包含了:“你任给我一个数，我都比你小”，这本身不就是无穷小吗！而在中学时代，我们已经习惯了静止的数学。因此，理解极限的概念是大学时代学习数学的一个重要飞跃。 其次，我想讲下微积分的重点 微积分其实就有3件事情:极限、导数和积分。微积分的灵魂就是极限，极限的概念贯穿整门学科，极限的核心就是ε-σ语言。导数不过是带分母的极限，非常简单，就不赘述了。积分的精髓就是6个字“分割，近似，求和”，即把任何几何图形无限分割，局部以直代曲，再把它们的面积相加。所谓的多重积分，不过是它的延伸。最后，祝好！手机一个个码的字，望采纳！
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