二次函数的关于等腰三角形存在性问题_百度知道
二次函数的关于等腰三角形存在性问题
这类问题的技巧。详细一点，及注意事项，方法。谢谢
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则可根据相似，这些题要多练！！）！方法是先根据坐标系里的图形算出该点坐标，勾股定理找！（千万不要忘了这部）至于如何在图形上找等腰，再代入解析式，还有是底边中垂线（十分管用，这样就熟悉了
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谢谢啦！！！
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其实就是证明 三角形的两个边相等 或者是 三角形是2个角相等 往这个方向证明就是了
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出门在外也不愁二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选-博泰典藏网
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二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选
导读：△PAM是直角三角形，【考点】二次函数综合题，动直线问题，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，根据S?S梯形BCMP?S?PMA求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积，（3）存在，（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标，在y轴的正半轴上是设P? -?p，骣?桫127p+p+4÷÷÷，则OC=4，OA=8，EA=8－p，22EP=-127p+p+4， 22∴482，整理得p-11p+24=0，解得p1=3，p2=8（舍?8?p?p2?p?422去）。当p=3时，-1271p+p+4=-?32。∴P（3，10）。∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在y=-127x+x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。 22∴A（8，0），B（0，4）。（2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据S?S梯形BCMP?S?PMA求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。（3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。1【例12】. 已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线y=?x2+bx+c经2过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且S?AOM : S?OMD?1 : 3，求点M 的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。∴A（－2，0），D（0，4）。1
将A（－2，0），D（0，4）代入y=?x2+bx+c，得 2?1?b=1???4?2b+c=0
?2，解得?。 c=4???c=4∴这条抛物线的解析式为y=?12x+x+4。 21
令y=?x2+x+4=0，解得x1=?2，x2=4。∴B（4，0）。 2（2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：①当M在线段AD上时，由S?AOM : S?OMD?1 : 3得?1??1??22m+2: ?4??m?????2??2??1 : 3， ????33解得，m??。∴M1（?， 1）。 22②当M在线段DA延长线上时，由S?AOM : S?OMD?1 : 3得?1??1? ??22m+2: ?4??m ?4）。?????2??2??1 : 3，解得m??3。∴M2（?3，????3综上所述，点M 的坐标为M1（?， 1），M22（?3， ?4）。（3）存在。∵点C（2，y）在y=?12x+x+4上，2∴y=?12?2+2+4=4。∴C（2，4）。 2设P?0, p?，根据勾股定理，得BC2??4?2?+42?20，222
PB?4+p?2PC2?22+?p?4??p2?8p+20。 16，+p22分三种情况：①若PB=BC，则16+p2?20，解得，p??2。∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。②若PB=PC，则16+p2?p2?8p+20，解得，p?11。∴P2（0，）。 22③若BC=PC，则20?p2?8p+20，解得，p?0或p?8。∵点P在y 轴的正半轴上，∴p?0不符合要求。当p?8时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。1综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使△BCP2为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。1【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入y=?x2+bx+c，即可求出抛物线的解析式。令y=0，2即可求出点B的坐标。（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。（3）P?0, p?，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。【例13】. 如图，在平面直角坐标系中，直线y??x?2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y??1312x?bx?c的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点． 2（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵一次函数y??x?2交y轴于点A，∴令ｘ=0，得y=2。∴A（0，2）。∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线y??1312x?bx?c的图象上的点， 23?c?2?b???
∴?1，解得?2 。
??b?c?0???2?c?2∴抛物线的解析式是：y??123x?x?2。 22COAO。 ?AOPO（2）∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得ｘ=6。∴P（6，0）。
∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA。∴∵AO=2，PO=6，∴（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，即∠AMB=900或∠ABM=900。∵点B是直线y??x?2和抛物线y??2CO2?2??。∴CO?。∴点C的坐标为??, 0?。 326?3?13123x?x?2的交点， 221?11?x=y??x?2??117??33∴?，解得?。∴B(, )。39?y??1x2?3x?2?y?7??9?22?①若∠AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即M1(0, )。若交点在x轴的正半轴上（如图），设M(m,0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDA。∴79AOOM 。 ?MDDB∵AO=2，MD=117?m，OM=m，DB=， 39∴2?m3?m9，解得。∴M20)或M3 0)。
⑵若∠ABM=900，即过B作BM⊥AP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。若交点在x轴的正半轴上（如图），设M(t, 0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△PDB。∴BDPD 。 ?MDBD∵BD=711117，MD=?t，PD=6?=， 9333779292∴?，解得t?。∴M4(, 0)。 若交点在y轴的负半轴上（如图），设过B作BF垂直y轴于点F，则有△ABF∽△BMF。M(0, ?q)(q?0)，∴BFMF 。 ?AFBF∵BF=117117，AF=2??，MF=+q， 3999117+q92∴，解得q?。 ?1111993∴M5(0, ?92)。9综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：(0,)、或五个点。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次、二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）求出点A的坐标，由点A、E在抛物线y??系数法即可求得抛物线的解析式。（2）由△AOC∽△POA得比例式即可求得点C的坐标。0
（3）分∠AMB=90（交点在y轴的正半轴上或交点在x轴的正半轴上），∠ABM=900799292、或、或(,0)，或(0,?)共27912x?bx?c的图象上，用待定2（交点在x轴的正半轴上或交点在y轴的负半轴上）讨论即可。【例14】. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐11标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝2＋x－2图象上，过点B作 22BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC。∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，包含总结汇报、表格模板、外语学习、高中教育、农林牧渔、经管营销、计划方案、工程科技、资格考试、教学研究、求职职场、初中教育以及二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选等内容。本文共8页
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以二次函数为基架探究点的存在性问题三、以特殊三角形为条件的存在问题|第​一​篇​ ​ ​以​二​次​函​数​为​基​架​探​究​点​的​存​在​性​问​题​。
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文本预览：
二次函数中的动点问题（一） 三角形的存在性问题
一、考情分析
年份 题号 涉及知识点 二次函数图像的基本性质、 二次函数与一元二次方程的关 分值 17 分
系，二次函数中三角形的面积问题 二次函数的平移、 二次函数表达式的求法， 二次函数中的
三角形的面积问题、二次函数中的直角三角形和圆 二次函数表达式的求解、 二次函数与一元二次方程之间的
14 分 关系、一次函数与二次函数的综合问题
二、技巧提炼
1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式 （1） 、 【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 （2） 、 【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 （3） 、 【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为
，然后解三元方程组求解； 求解； 。
2、二次函数 y=ax +bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程 ax +bx+c = 0 是否有根的情况进行判定；
2 判别式 ? ? b ? 4ac
二次函数与 x 轴的交点情况 与x轴 与x轴 与x轴 交点 交点 交点
一元二次方程根的情况 方程有 的实数根 实数根 方程有 的实数根
△ ＞ 0 △ ＜ 0 △ ＝ 0
3、抛物线上有两个点为 A（x1，y），B（x2，y） (1)对称轴是直线 x ?
(2)两点之间距离公式： 已知两点 P?x1 , y1 ?,Q?x2 ,y 2 ?， 则由勾股定理可得： PQ ?
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
练一练：已知 A（0，5）和 B（－2，3），则 AB＝
(3)中点公式：已知两点 P?x1 , y1 ?,Q?x2 ,y 2 ?，则线段 PQ 的中点 M 为 ? 练一练：已知 A（0，5）和 B（－2，3），则线段 AB 的中点坐标是 4、 常见考察形式
? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?。 2 ? ? 2
（1）已知 A（1,0） ，B（0，2） ，请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点 C，使△ABC 是等腰三角形；
总结： 两圆一线 （2）已知 A（-2,0） ，B（1，3） ，请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点 C，使△ABC 是直角三角形；
总结： 两线一圆 5、求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算； （2）割补法； （3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的 “水平宽” （a） ，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高” （ h） ．我们可得出一种计 1 算三角形面积的新方法：S△ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 2 A 铅垂高 C h B a 水平宽
6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路： （1）先分类，罗列线段的长度； （2）再画图； （3）后计算
三、精讲精练
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