直角三角形勾股定理怎么证明_百度知道
直角三角形勾股定理怎么证明
【证法1】（梅文鼎证明）　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠EGF = ∠BED，　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠ABC = ∠EBD.　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90°　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，　　BC = BD = a.　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　,　　∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S　　 【证法2】（项明达证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b&a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，　　∴ ∠MPC = 90°，　　∵ BM⊥PQ，　　∴ ∠BMP = 90°，　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，　　∴ ∠QBM = ∠ABC，　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.　　 【证法3】（赵浩杰证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b&a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a，　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB = ∠CFD = 90°，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE　　∴∠ABG = ∠BCJ,　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,　　∵∠ABC= 90°,　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　 【证法4】（欧几里得证明）　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，　　交AB于点M，交DE于点L. 　　∵ AF = AC，AB = AD，　　∠FAB = ∠GAD，　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，　　∵ ΔFAB的面积等于，　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　　的面积的一半，　　∴ 矩形ADLM的面积 =.　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
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【证法1】（梅文鼎证明）　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠EGF = ∠BED，　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠ABC = ∠EBD.　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90°　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，　　BC = BD = a.　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　,　　∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S　　 【证法2】（项明达证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b&a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，　　∴ ∠MPC = 90°，　　∵ BM⊥PQ，　　∴ ∠BMP = 90°，　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，　　∴ ∠QBM = ∠ABC，　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.　　 【证法3】（赵浩杰证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b&a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a，　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB = ∠CFD = 90°，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE　　∴∠ABG = ∠BCJ,　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,　　∵∠ABC= 90°,　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　 【证法4】（欧几里得证明）　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，　　交AB于点M，交DE于点L. 　　∵ AF = AC，AB = AD，　　∠FAB = ∠GAD，　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，　　∵ ΔFAB的面积等于，　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　　的面积的一半，　　∴ 矩形ADLM的面积 =.　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方　　 【证法5】欧几里得的证法　　《几何原本》中的证明　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　　其证明如下：　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
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两直角边之和为4的直角三角形面积最大值等于______．
题型：填空题难度：中档来源：杨浦区一模
设一条直角边为x，则另一条为（4-x），∴S=12x（4-x）=-12（x-2）2+2，（x＞0）∵对称轴x=2∴即当x=2时，S最大=12×2×2=2cm2．故答案为2．
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据魔方格专家权威分析，试题“两直角边之和为4的直角三角形面积最大值等于______．-数学-魔方格”主要考查你对&&基本不等式及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
基本不等式及其应用
基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
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与“两直角边之和为4的直角三角形面积最大值等于______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
482846327452256338887587281031830960勾股定理 -
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。中国是世界上最早发现证明并运用勾股定理的国家，在中国算学中勾股定理为重中之重。《周髀算经》中记述周公问数商高段中，就有证明该定理的方法。传说古希腊发现勾股定理的是，所以勾股定理又称毕达哥拉斯定理，但这个说法没有任何证据。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝（百牛大祭），更是荒唐可笑，众所周知，毕达哥拉斯派食素。
勾股定理 -
&在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理 -
如果c是斜边的长度而a和b是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：如果a和b知道，c可以这样写：&如果斜边的长度c和其中一条边（a或b）知道,&那另一边的长度可以这样计算：&
勾股定理 -
勾股数组是满足勾股定理的正整数组（a、b、c），其中的（a、b、c）称为勾股数。
勾股定理 -
这个定理的历史可以被分成三个部份：发现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、及其定理的证明。勾股数勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541，&1）。后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。相传是在公元前11世纪商代由商高发现，故又有称之为商高定理；商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”。卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家反复运用勾股定理求圆周率。&金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。普遍定理的发现巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，第五世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一头公牛来庆祝。对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更&叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。&&普鲁塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯。在中国，的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数，定理首次载于书面是在汉朝的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ——周髀算经&卷上之二&&因此有些人将这个定理称之为陈子定理。赵爽《勾股方圆图注》记载：勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦&&在《九章算术》刘徽著中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率。直至现时为止，有许多辩论关于勾股定理是否早已不只一次被发现。证明毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国，时吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近，巴勒蒂·克尔什纳·蒂尔特吉在吠陀数学一书中声称古代印度教吠陀证明了勾股定理。
勾股定理 -
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha&Scott&Loomis）的&Pythagorean&Proposition一书中总共提到367种证明方式。有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明。利用相似三角形的证法有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。设ABC为一直角三角形,&直角于角C（看附图）。&从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：&&相似三角形的证法&&欧几里得的证法 《几何原本》中的证明在的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。&设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。&在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：&如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）&三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。&任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。&任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。&证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下： 证明辅助图21.设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。&2.其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。&3.画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。&4.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。&5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A&和&G&都是线性对应的，同理可证B、A和H。&6.∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。&7.因为&AB&和&BD&分别等于&FB&和&BC，所以△ABD&必须相等于△FBC。&8.因为&A&与&K&和&L在同一直线上，所以四方形&BDLK&必须二倍面积于△ABD。&9.因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。&10.因此四边形&BDLK&必须有相同的面积&BAGF&=&AB?。&11.同理可证，四边形&CKLE&必须有相同的面积&ACIH&=&AC?。&12.把这两个结果相加，&AB?+&AC?&=&BD×BK&+&KL×KC&13.由于BD=KL，BD×BK&+&KL×KC&=&BD(BK&+&KC)&=&BD×BC&14.由于CBDE是个正方形，因此AB?&+&AC?&=&BC?。&此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。图形重新排列证法此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为（a+b）?，把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为a?+b?，右方余下面积为c?，两者相等。证毕。
勾股定理 -
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:如果&A?+&B?&=C?，则△ABC是直角三角形。&如果A?+&B?&&C?，则△ABC是锐角三角形(若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角)。&如果A?+&B?&&C?，则△ABC是钝角三角形。(这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸)逆定理的证明勾股定理的逆定理的证法数明显少于勾股定理的证法。以下是一些常见证法。同一法余弦定理
相似三角形非欧几何勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公理。
勾股定理 -
勾股数通式和常见勾股素数
　　若&m&和&n&是互质，而且&m&和&n&至少有一个是偶数，计算出来的&a,&b,&c&就是素勾股数。(若&m&和&n&都是奇数，&a,&b,&c&就会全是偶数，不符合互质。)
　　所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。
勾股定理 -
常见的勾股数及几种通式
　　(1)&(3，&4，&5),&(6，&8，10)&…&…
　　3n,4n,5n&(n是正整数)
　　(2)&(5，12，13)&,(&7，24，25),&(&9，40，41)&…&…
　　2n&+&1,&2n^2&+&2n,&2n^2&+&2n&+&1&(n是正整数)
　　(3)&(8，15，17),&(12，35，37)&…&…
　　2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1&(n是正整数)
　　(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2&(m、n均是正整数，m&n)
勾股定理 -
　　勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
　　1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
　　第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;
　　第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;
　　第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
　　屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
　　2、2005年珠峰高度复测行动。
　　测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
　　通俗来说，就是分三步走：
　　第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来;
　　第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差;
　　第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面[4]的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
勾股定理 -
【练习题】
　　1.等边三角形的高是h，则它的面积是(&)
　　A.&h2　　　　　　B.&h2　　　　　C.&h2　　　　　D.&h2
　　2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为(&)
　　A.&12cm2&B.&10cm&2&C.&8cm2&D.&6cm2
　　3.下列命题是真命题的个数有(&)
　　①直角三角形的最大边长为&，短边长为1，则另一条边长为
　　②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为
　　③在直角三角形中，若两条直角边长为n2-1和2n，则斜边长为n2+1
　　④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5
　　A.1个&B.2个&C.3个&D.4个
勾股定理 -
【参考答案】
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在直角三角形里面取四方形面积最大
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什么叫做四方形，没有听说过！
从直角做。拉大斜边中央。在一量不就知道了
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