当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的..
已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；（2）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；（3）证明：(1+124)(1+134)…(1+1n4)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当a=45时，f（x）=45x-ln(1+x2)，∴f′（x）=45-2x1+x2=4x2-10x+45(1+x2)，由f′（x）=0，得x1=12，x2=2，∵f（x）在（0，12）上递增，在（12，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）极大值为f（12）=25-ln54，f（x）极小值为f（2）=85-ln5．（2）证明：令g（x）=x-ln（1+x2），g′(x)=1-2x1+x2=(x-1)21+x2≥0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（0）=0，∴ln（1+x2）＜x．（3）证明：由（2）得ln（x2+1）＜x，取x=122，132，…，1n2，∴ln（1+124）+ln（1+134）+…+ln（1+1n4）＜11×2+12×3+…+1n(n-1)=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）=1-1n＜1，∴(1+124)(1+134)…(1+1n4)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的..”考查相似的试题有：
623272464795762787881828277434483405求助：(ln(1+x)/x)^1/x,当x趋向于0时的极限怎么求？_数学吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：275,648贴子：
求助：(ln(1+x)/x)^1/x,当x趋向于0时的极限怎么求？收藏
ln(1+x)与x等价无穷小，替换就可以了，等于1
可以这样替换吗？不是因式呀
确实不可以这么换....又算了下这回应该没错了把
最后一步是怎么换的？
等量无穷小代换我知道
啊，我明白了，我想多了，谢谢啦
最后一步不就是化简么，这个没什么含量的。不客气
天...也不看下数量级= =
这随便换..
不能随便换
登录百度帐号我的游戏推荐游戏
后查看最近玩过的游戏
为兴趣而生，贴吧更懂你。或高等数学洛必达法则求极限的注意事项探讨_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
43页免费26页免费21页免费29页免费30页免费 28页免费31页免费28页免费18页免费2页免费
喜欢此文档的还喜欢2页免费3页免费198页免费
高等数学洛必达法则求极限的注意事项探讨|
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
你可能喜欢求Lim(cosx)的Cotx2方，X趋向于0的极限_百度知道
求Lim(cosx)的Cotx2方，X趋向于0的极限
原式为1无穷次幂型极限，对原式取对数得lim（cotx*log（cosx））=lim（（cosx*log（coss））/sinx）该极限为0*无穷型极限，对分数线上下两式分别求导上式=lim（（（cosx/cosx）*（-sinx）+（sinx/cosx）（-sinx））/（-sinx））
=lim（1+tanx）
=1所以原式取对数后的极限为1那么原式得极限为e^1=e
其他类似问题
按默认排序
其他1条回答
这样形式的极限一般先取对数再用洛必达法则
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁求极限的几种方法02
上亿文档资料，等你来发现
求极限的几种方法02
第3卷第3期西安欧亚学院学报Vol.3No.32；求极限的几种方法；王艳,周文丽,张俊丽,汤木兰,程红梅,董明辉；(西安欧亚学院基础部,陕西西安710065)；摘要:极限是高等数学最重要的基本概念之一,也是研；又是高等数学的主要运算―――微分法和积分法的理论；Onseveralsolutionsoflimi；WANGYan,ZHOUWenΟli,ZHANG；
第3卷　第3期　　　　　　　　　　　西安欧亚学院学报　　　　　　　　　　Vol.3　No.32005年7月　　　　　　　　　　Jul.2005JournalofXi??anEurasiaUniversity　　　　　　　　　求极限的几种方法王　艳,周文丽,张俊丽,汤木兰,程红梅,董明辉(西安欧亚学院基础部,陕西西安　710065)摘要:极限是高等数学最重要的基本概念之一,也是研究变量数学的重要工具和分析方法,同时又是高等数学的主要运算―――微分法和积分法的理论基础.主要通过利用极限的定义来求,利用四则运算法则、罗比塔法则、函数连续性等多种方法对极限问题求解.关键词:关键词:极限;方法;高等数学中图分类号:O171　文献标识码:A　文章编号:××××Ο××××(79Ο05OnseveralsolutionsoflimitWANGYan,ZHOUWenΟli,ZHANGJunΟli,TANGMuΟlan,CHENGHongΟmeiMingΟhui(BasicCourses,Dept.Xi’anEurasiaUniversity,Xi’)Abstract:Limitisnotonlyoneofthe,butalsoanimportanttoolandAtthesametime,limitisalsoaandintegralcalculusinhighermathematics.Theauthorssolutionstogetthefunction’slimit,suchasusingthedefinitionof,fundamentalrules,L’Hospitarulesandcontinuityoffunctions.Keywords:highermathematics　　我们在极限的教学过程中,必须在理解概念的同时,掌握好计算极限的多种方法和技巧.由于极限的概念抽象费解,求法灵活多变,而且它涉及的数学理论面较广.所以本文仅就求极限的方法进行一下归纳总结.一、利用定义求极限例1　用极限的ε-δ定义证明limlnx=lnx0　(x0&0).x→x εεεε&0,要使|lnx-lnx0|&ε,即要ln证　Π&εΖ-ε&ln&ε,或e-&&eΖ-1+e-&x0x0x0x0εεεεεε-1&e-1Ζ-(1-e)&&e-1Ζ-x0(1-e-)&x-x0&x0(e-1),取δ=min{x0(1-e-),x0x0(e-1)},当|x-x0|&δ时,成立|lnx-lnx0|&ε,故limlnx=lnx0.x→x ε注　用ε-δ定义证明时,由ε找δ的一般思路是:从不等式|f(x)-A|&ε出发,通过恒等变形和不ε&0,只要取δ=g(ε)即可.等式变形进行适当放大,以便得到|x-x0|&g(x)(g(x)&0);这时,Π二、利用极限的四则运算法则求极限利用函数极限的四则运算法则,我们可以从几个简单的函数极限出发,计算较复杂函数的极限.(xtanx-1).例2　求limx4π解　由于limc=c,limx=x0,tanx在x时极限存在,于是按四则运算法则有x→xx→x400　　收稿日期:),女,陕西宝鸡人,西安欧亚学院教师,从事高等数学研究。　　作者简介:王艳(1981―　80西安欧亚学院学报(xtanx-1)=limx?limlimtanx-lim1=x2005年4x4x4x4-1.4注意:运用极限的四则运算求极限时,要注意条件:一是都必须存在极限,二是对有限个数列的和差积商求极限等于它们极限的和差积商(分母不为0),如例3就不能先求出各项的极限再求和,而应该先求和,后求和的极限.三、利用左、右极限求极限求分段函数的极限,主要是分段点处函数的极限.因为在非分段点处,函数的极限的计算方法与非分段函数没有什么不同.分段函数在分段点处的极限存在的充要条件:当且仅当函数在分段点处的左、右极限存在且相等时函数在该点的极限存在.即当x0是分段点时,应分别求lim2f(x)和lim+f(x),并判断在该点极限是否相等.x→x x→x 例3　求lim(x→0x1+ex+).|x|x-x-()解　lim+=lim++x→0x→01+ex|x|e-x1xx+lim+1.lim-(--1=1.--xxx→00x→011e故原式极限存在,1.四、利用两个重要极限求极限型的含有三角公式函数的分式函数,经常利用三角恒等式变换成可利用的重要极限0lim=1的结果来解;对于形成1∞型的幂指函数,则可化为另一个重要极限lim(1+)x=e的结果来解.对于形式为xx→0x→∞x(一)利用limx→0x=1求极限例4　limx→0.1-cosx解　1-cosxcos2xcos3x=1-(cos4x+cos2x)cos2x=2(cos6x+cos2x)-(1+cos4x)=1-44(sin2x+sin22x+sin23x).21-cosx=2sin22.(故原式=2)+lim[(4x→0sin2(二)利用lim(1+)xx→∞sin)2+(sin)2]=(4+16+36)=14.422x=e求极限例5　limtann(n→∞π+).4nn1+tan解　limtan(+)=limx→∞n4n1-tann=第3期tann王　艳,等:求极限的几种方法n81lim[(1+tann→∞n)tan]/[(1+tanx+1n)tan-tann]n=e-1=e2例6　lim(x→0x+1解　limx→0x+1)x　　　　(a&0,b&0,c&0).a+b+cxxxx+1x+1)==lim(a+b+cx(a+b+c)a+b+cx→0xxxa+b+cx+1ln(aabbcc)x+1故有lim(x→0x+1x+1x+1)a+b+cx=lim(1+x→0x+1x+1x+1-1)a+b+cx+1x+1a+b+c-1)(xx+1x+1x+1-1)a+b+c=(aabbcc)a+b+c.五、利用有界变量与无穷小量乘积为无穷小量的性质求极限例7　求lim(1+sinx)x→∞1+x2的极限.+,)解　当x→∞时,1+x2是无穷小量1+x2=0.[定理]　设α,β,α′,β′都是同一极限过程中的无穷小,α～α′,β～β′,且lim存在,则有lim=lim.ααα′′ββ由此可知,当计算limα比较困难时,可以转化成limα来计算,这种方法称为无穷小等价带换法.′当x→0时,常用的等价无穷小有sinx～x,tanx～x,ex-1～x,ln(1+x)～x,1-cosx～x2,2narcsinx～x,arctanx～x,+x～x等.n例8　limxα+β2(1-sinx)(1-sinx).解　limxαα+ββ2(1-sinx)(1-sinx)=limx(1-e(α+β)lnsinxαlnsinx2)(1-eβlnsinx)=limx2+lnsinx=lim=(-αβlnsinx)(-βlnsinx)x|lnsinx|2=.β(-lnsinx)β(αβ)limx2注　11此题利用1-eu～-u(因为u→0时,eu-1～u)进行等价代换,使计算简化;21当x时,sinx→1,lnsinx→0,故有|lnsinx|=-lnsinx.2七、利用某些恒等式求极限例9　求极限lim(n→∞(2n-1)(2n+1)1.33.55.7),解　设xn=(==(-(2n-1)(2n+1)2n-1)(2n+1)222n-12n+1)]=lim(1-)=.则　原式=lim[(1-)+-+-+…+-(2n-1)(2n+1)n→∞n→∞例10　求极限lim(cos?cos2?cos3??????cosn).n→∞2222+++…+).　82解　sin西安欧亚学院学报2005年cosn=sinn-1,注意到sin?cos=,n?2222222故有sinn(cos?cos2?????cosn)=nsin1,因此,原式=limnsin1/sinn=sin1.n→∞2222222八、利用有关公式求极限这种方法是利用已知的等差数列、等比数列前n项的和的公式,例如:1+2+…+n=22+…n2=2,1+26n→∞,1+2+…n=[n33332]等来求极限.2例11　求极限lim(333-4).2解　原式=lim[-]=lim=.n→∞n→∞4n4n42+…+n例12　求极限lim.n→∞1++…+n331+解　此类题的分子、.)原式=limn→∞[1-()3[(n+11-n+1)==lim=.n3n→∞3n+1)(1-n+1)]/(1-1-n+13233-九、利用夹逼准则求极限),(2)limyn=a=limzn,则有[定理]设数列xn,yn及zn,满足:(1)ynΦxnΦzn　(n=1,2,……n→∞n→∞limxn=a.n→∞根据此准则,如果某数列的极限不容易直接求得,可以将它适当缩小和放大,并且使得缩小和放大以后得到的两个新数列的极限分别存在并且相等,从而得到原数列的极限.).例13　求:lim(2+2+…+2n→∞n+n+1n+n+2n+n+n解　因为,2+2+…+2ΦxnΦ2+2+…+2,n+n+nn+n+nn+n+nn+n+1n+n+1n+n+1n(n+1)n(n+1)n(n+1)n(n+1)即2ΦxnΦ2,　又lim2=lim2=.n→∞n+n+nn→∞n+n+12n+n+nn+n+1故由夹逼定理知,　原式=limxn=.n→∞2n例14　证明　lim=1　(a&0).n证　(1)设aΕ1,令a=1+b,则bΕ0,因为aΕ1,所以Ε1;2()+…+()n,并且展式中的每一项为非负值,略去第三项及又(1+)n=1+n+nn2nn以后各项,则有(1+故有1ΦΦnn)nnΕ1+b,即(1+)Εnn1+b=nn,又lim(1+)=lim=1,得lim=1.n→∞n→∞n→∞nn(2)设0&a&1,令A=a,则A&1,由(1)知lim=limn→∞nnn→∞==1.nlimn→∞第3期王　艳,等:求极限的几种方法83十、利用泰勒展开式求极限有些不定式的极限用以上几种方法不见效时,有时可用函数的泰勒展开式近似代替,舍去高阶无穷小部分,再求极限.例15　lim[(x-x+n→∞322)exx-x+1].632x+1]=lim{(x-x+n→∞6解　lim[(x-x+n→∞32212))e-n→∞2)[1+x+2x2+6x3+o(x3)]-x[1+32x6-8x12+o(x]}=lim[+o()]=.6x6十一、利用单调有界准则求极限[定理]　单调增加有上界或单调减少有下界的数列必有极限.一般方法步骤:(1)证明数列单调有界;(2)建立数列相邻两项之间的关系式;(3)对上述关系式两端取极限,得到关于极限a的方程,从中解出a即可.),n}.例16　设x1=10,xn+1=+xn(n=1,2,…解　由x1=10及x2+142;xk1,k+1=+xk&+xk+1=xk+2,xn,{n单调减少;由x1=10及xn+1=;xn&0(n=1,2,+xn,易知根据极限存在准则知limxn存在,设其为a,对xn+1=n→∞+xn两边取极限,得a=6+a解得a=3),故得limxn=3.或-2,注意到xn&0(n=1,2,…n→∞十二、利用洛必达法则求极限例17　求极限lim(x→∞xx→∞)xx解　利用等价关系,lim(先看limxx→∞)x=limex→∞xln()x=ex→∞xlimln()x=lim)=0,limln→∞.x→∞1+xx→∞xln(x)所以:limln(limx→∞x→∞是当x→∞时的型的极限问题,可直接利用洛必达法则如下:∞-ln(1+x)x2x=limxx→∞ln(1+x)=lim[x→∞-]=0-0=0.(1+x)ln(x+1)x所以,limxxln=exlim→∞xx=e0=1.十三、利用函数连续性求极限例18　已知:f(x)=在x=0可导,求a、b的值.bx+a　　xΦ0解　因为f(x)在x=0可导,故f(x)在x=0也连续,即limf(x)=limf(x)=f(0).而limf(x)=x→0-ex　　　　x&0x→0+x→0+e0=1,lim-f(x)=a,f(0)=a,故a=1.x→0(x)=limf′(x)=f′(0).由可导定义知,lim-f′+x→0x→0(x)=lim又因为lim-f′-x→0x→0x(x)=lim=b,lim+f′+x→0x→0xx=1,故b=1.包含各类专业文献、行业资料、外语学习资料、专业论文、文学作品欣赏、中学教育、幼儿教育、小学教育、高等教育、求极限的几种方法02等内容。
　　【】　
您可在本站搜索以下内容：
　有关求极限运算的方法 求极限的几种方法 崔令坤摘要: 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终, 掌握求极限的方法与技巧是高 等数学的基础。 关键词:...
s　 求极限的几种方法 隐藏&& 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: lim x ?2 x 2 ? 3x ? 2 ?1 x?2 证: 由 x 2 ? 3x ...
　 几种求极限的方法张爽
数学科学学院 数学与应用数学专业 10 级汉 2 班 指导老师 皮建东摘 要 极限是高等数学各个章节的基础和基本工具, 求极限...
q　2、利用柯西准则来求! 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给 ε&0,存在自然数 N,使得当 n&N 时,对于 任意的自然数 m 有|xn-xm|&ε. 3、利用...
q　 几种求极限方法的总结_数学_自然科学_专业资料。几种求极限方法的总结几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容...
　 总结了高等数学求极限的几种方法,很有用,希望能给学习的人帮助总结了高等数学求极限的几种方法,很有用,希望能给学习的人帮助隐藏&& 高数中求极限的 16 种...
　 高数求极限的几种方法。极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具, 在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法 都和极限密切相关,如函数 y=f(x)在 x= x0处...
　龙源期刊网 .cn 数学分析中求极限的几种重要方法 作者:杨淑荣 来源:《中国科教创新导刊》2013 年第 11 期 摘要:极限是数学分析的重要...
赞助商链接
别人正在看什么？
赞助商链接