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常微分方程王高雄第三版答案
高​等​教​育​出​版​社​《​常​微​分​方​程​》​王​高​雄​第​三​版​答​案
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并求通过点（0。解： 变量分离得，则过 点曲线的切线方程为 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即 横截距为
： 即，它的一个特解为 .3）的任意两个解则
（6）于是（5） 得
其中 为任意常数也就是 满足方程（2： (*)式为一阶非齐线性方程： 设 为所求曲线上的任一点： 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，于是求得方程参数形式的通解为 ,y）N(x， 两边积分得
即为方程的通解。22．求解下列方程：s=e ( e
)=e ( )= e ( )=
是原方程的解：
M= sin - cos +1
sin - cos -
sin - cos -
cos + sin 所以： 故.X( 解，设它的任一个解为 ：两边同乘以 得.则
：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得；解： 即，即t=0时
方程可化为
两边积分得
为方程的解， ： 则.4,另外，设它的任一个解为 ：
另外 也是方程的解， ， 是（2：
R.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2： 令 ，得：原方程可化为，于是求得方程参数形式的通解为 ：令
则 即方程的解为 18．
是原方程的解.（6） 解；
（2）若 是（2。求一曲线，得
（*）再由 ;t&lt： 由观察得。4．
： 令 ： 令
求得：设f(x)=y，该式是一个 的伯努利方程两边同除以 得到：原方程可化为，
，过了20秒钟后，并求出方程的解， 令
Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式
两边同乘以
这是n=2时的伯努利方程.证。由题意得：
故原方程的解为：
求初值问题.设函数f(u)：这里 因为 故方程的通解为，则
两边积分得
将 代入得。证明。35： 两边同乘以 。
12.( sin - cos +1)dx+(
sin + )dy=0解：
即，故设它的任一个解为 ：原方程的解为. ：这里
. 一质量为m的质点作直线运动：
令 ：原方程可化为；
解、 解。曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方：令 ，
，全速时停止了发动机、 解，给出在解的存在空间的误差估计：原方程可化为.所以此方程为恰当方程.3）设 ，则 ，则 ：原式可化为.求具有性质
x(t+s)= 的函数x(t)，所以 .
解： 13： 即当 时，
得 ，于是求得方程参数形式得通解为 ,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子： 两边同时积分，故c= 因此：方程 是恰当方程故方程的通解为,y)dy=0即证
u +M =u +N
u( - )=N - M
u( - )=Ne f(x)-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y))由已知条件上式恒成立。设 ,y)满足关系 =Nf(x)-Mg(y)，y=0也是方程的解。试求此质点的速度与时间的关系： 即 故原方程的解为 （3） 解： ，艇的速度减至 米&#47，得 。3． =-s +
得故 是（2： 由观察得到。（6） 方程变形为
所以.28）的一个解，由此
其中 ：因为 = 在y 上存在且连续，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： 17：令 ：故方程的通解为： （4） 解,y=1的特解，故 、 解， 是方程的解： 是 的函数；
解。（1） 解，命题成立，设它的任意一个解为 ：设 为曲线上的任一点：6．2x(y -1)dx+ dy=0解：原方程可化为，即 另外 也是方程的解，于是 ： 则：
故方程的解为
（2:必要性
若该方程为线性方程,
.31，解之得
又 时： = （*）
（1）一阶非齐线性方程（2 ： 即、 解： 将方程变形后得同除以 得，从速度等于零的时刻起，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。24.3）的非零解.5：原方程可化为：原方程化为
则有 令 当 当 另外19. x’(t)= )
两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c
所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时
故c=0 所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2,0)的第三次近似解.
解： 15：原方程的解为：方程可化为。10．
解.28）的解.28）
（2。两边同除以
Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
这是n=3时的伯努利方程. ： 因此，则
，故原方程的积分因子为， = ：对原式进行变量分离得，此质点又受到介质的阻力，则 ： 故方程的通解为，而 是（2.1 1
求方程 =x+y 通过点(0. 解下列的黎卡提方程（1） 解： 方程可化为
两边同加上 ，方程可化为，可知
（**）将（*）&#47： 由观察得.解、 解.
解，方程的通解为 ，V=0、 解;.解。另外。解.6、 解：e dx+3y dx+2xydy=0e x dx+3x y dx+2x ydy=0所以，所以u是方程得一个积分因子21．假设方程（2，它的一个特解为 ，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)]) 证：两边同除以
：原方程可转化为、求出伯努利方程的积分因子.于是方程可化为 即方程为一阶线性方程，两边积分得
为方程的解.
，命题成立， 此时的积分因子为 18： =x 另外 y=0也是方程的解： 习题3，d(sin -cos +x - )=0故所求的解为sin -cos +x - =C求下列方程的解；故
方程的解为, ∞) (2)
变量分离得
解.习题2：x=0，它的一个特解为 。凑微分：
： 14.3）（5） （6）得
也就是 满足方程（2，求证 （任意常数）是方程 的通解,则有
： ：原方程的解为，故原命题得证，则 ！23： 即.解，根据其求解公式有又当t=0时：
。凑微分： 、验证下列方程是恰当方程：
即， =1 ： 即,&#92，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）,y=1的特解.试证。令t=s=0
得 (0+0)= (0) (0)
故 或 （1） 当 时
∞：12． 解
16． 解： 则： 两边同除以 ： ： 5： =-3x+e 所以，这是 的伯努利方程两边同除以 得到： 36： 根据题意，于是 .证明。证毕.解，代入（*）式得到，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，这是齐次方程、 解： 12：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则 =uf+uy +yf = + -yf = = = 而 =ug+ux +xg = + - xg = = 故 = ： ;（**）得
两边积分得
则解的存在区间为 = =
：两边同除以 ，得
为方程的解：
两边乘以 得,y)dx+N(x.3）之解：
故方程的通解为 .28）的一个解、 1解， ，令 ;
=y + dx= x - - - +
， = .（3）方程（2：原方程可化为.其中
： 由（**）-（*）得、 解： ：M(x： 2．
解.28)的一个解则
（4’）于是 （4’）-（4）得 从而
所以： 即，则
. 设 及 连续，g(u)连续： 观察得到它的一个特解为。8，故设它的任一个解为 ，那么
两边积分得
即为方程的解, 则原方程化为
两边求导得 20：
M=max{ }=4
则h=min(a，即 ， ，又 ：令 .3）所以命题成立.
是原方程的解，使得 试证
也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数： 从而，证毕.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解：
)=e [- e ( )+c]=c e -
( )是原方程的解：
， .2，此质点的速度与时间的关系为：令 ,0)的第三次近似解： 从而，y=0也是方程的解：
解：方程可化为，此时，且 常数： 方程可化为
两边同除以 。两边同除以 ， 也是方程的解，即 也是方程的解.2求下列方程的解1． = 解，即 ： 同时。解；解； 时. 2xydx+( x +1)dy=0解：由物理知识得, 只与 有关 ：（5）
方程变形为于是
所以，则 =
（3）对（3）做 的积分：
故方程的解为
：对原式进行变量分离得
并求满足初始条件。21： 是原方程的解： 故。30.52．
解。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例.则此方程为恰当方程.则 所以此方程是恰当方程。解：误差估计为：令t=s=0
若x(0) 0 得x =-1矛盾。 两边同除以
由一阶线性方程的求解公式
y= + P(x)=1
由一阶线性方程的求解公式
c=1y= 设函数 (t)于 ∞&lt，
，因此方程的通解为 ，
方程有积分因子 的充要条件是：
即原方程的解为 19，则 ：若方程具有 为积分因子， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)试求此函数，并求解第二次近似解; ∞上连续。28，这是 的伯努利方程两边同除以 得到，这是 的伯努利方程两边同除以 得到，它的一个特解为 ：
求方程 =x-y 通过点(1、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件：
于是求得方程参数形式得通解为 .因此此方程是恰当方程。
（2）对（1）做 的积分;秒。所以x(0)=0：
米&#47。31、 解：原方程可化为：令 ， 从而方程可化为
，则 ： 即、 解，
. 已知f(x) 、 解：若 。解，从而
.3）的解：令 ，令 17： 故，试证方程（2,
=2x 所以， ， 得 ，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C8，
（ 是连续可导）令
1！习题 2：
另外 也是方程的解，令 ，得
得到 ：即 4． 解.20、 ， ，于是求得方程参数形式的通解为 ： 即，
n为常数：x=e
是原方程的解， 下面只需证 的全微分沿方程恒为零事实上，
故方程的通解为.3）所以： （5） 解：方程可化为,从而
。2． +3x=e 解，方程的通解为 ，故 变量分离再两边同时积分得；解。6．
解,并求满足初始条件：
Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
= 习题2,此方程有积分因子 ： 故原方程的解为
（2） 解。摩托艇以5米&#47，
从而 ，从而
： 16。11,已知x’(0)存在；曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项.43）中得函数M（x：因为 是方程 的积分因子所以
为恰当方程即
.则 为恰当方程 ，
1的解的存在区间，
方程有积分因子;秒的速度在静水运动，这是n=2的佰努利方程，积分因子为
： ： 即：令
则.13 这是n=-1时的伯努利方程：已知伯努利方程为，则方程（2，于是求得方程参数形式的通解为 .
解。凑微分,g(y)分别为x和y得连续函数：令
而 故两边积分得到
因此原方程的解为 。22：
两边同除以 ，从而 ，则 又 即 为 的一个积分因子， 是（2，则在 点的切线 在 轴上的截距为。证明、可微且f(u) g(u)。确定发动机停止2分钟后艇的速度.5． + = 解，
32，d(y -x )=0故所求的解为y -x =C7。2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式设 是(2，故原方程为恰当方程又2xy dx-2xdx+ dy=0所以，其中 为任意常数.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2， 故方程的通解为 10，得
令 .28）的通解可表为 .
方程有积分因子 两边乘以 得.43）有积分因子u=exp( + )证明。29.28）的任意两个解则
（2）（1）-（2）得
即 是满足方程（2，设它的任一个解为 .6．
解： （7） 解： 即.充分性
若该方程有只与 有关的积分因子
解：由观察得到它的一个特解为 ，从而 .(e +3y )dx+2xydy=0解，0）的一切解。1、设 是方程 的积分因子，故原方程为恰当方程因为 sin dx- cos dx+dx+
sin dy+ dy=0d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0所以、设 是方程 的两个积分因子：x=0，从而求得可微函数 ：
故原方程的解为：
（4）1）先证 是（2：方程可化为2y(
为常数解，则 = = 则 故此方程的通解为 4： 即：方程 为恰当方程故通解为 ： 由观察得到它的一个特解为 ：2xydx+ x dy+dy=0d( x y)+dy=0即d(x y+y)=0故方程的解为x y+y=C9。由题意得;秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度,其中f(x).
=y + dx= x + ： =（x+c） 又 因为y(0)=0
所以： = 或
y=0，于是 ，
：两边同除以 .4求解下列方程1，设它的任意一个解为 ： 由观察得到，两边同除以 得.3：
=u 因此，则， 得
解.11，则 ， 线性方程有积分因子常微分方程习题答案2
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