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如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x。（1）求证：AF=EC；（2）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C。①求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值； ②在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
题型：解答题难度：偏难来源：四川省期末题
解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE， ∴a（x+AF）=a（EC+b-AF），∴2AF=EC+（b-x），又∵EC=b-x，∴2AF=2EC，即AF=EC；
（2）①当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），∵EC∥E′B′，　∴，由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x︰b=，
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中， ∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴CE=（AD+E′B′）， 即b-x=（b+x）， ∴x︰b=；
②如图（三），当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，证明：连接BF，∵FD∥BE，FD=BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴FB∥DE，FB=DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴DE=EE′，∴FB∥EE′， FB=EE′， ∴四边形BE′EF是平行四边形 ∴BE′∥EF，
如图（四）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，∵x︰b=，∴EM=BC=b，若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E，在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，在Rt△EME′中，tan∠ME′E =， ∴，又∵a＞0，b＞0，，∴当时，BE′与EF垂直。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别..”主要考查你对&&梯形，梯形的中位线，平行线的判定，垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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梯形，梯形的中位线平行线的判定垂直的判定与性质
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。& 梯形性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
梯形判定：1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中位线长度=（上底+下底）梯形的周长与面积：梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。梯形的分类：等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。 （2）等腰梯形的对角线相等。 （3）等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形的判定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。注意：①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。②当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。平行线的判定平行线的判定公理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。还有下面的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。
判定方法的逆应用：在同一平面内，两直线不相交，即平行。两条直线平行于一条直线，则三条不重合的直线互相平行。两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。6a⊥c，b⊥c则a∥b。垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 垂直的判定：垂线的定义。
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与“如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别..”考查相似的试题有：
914604143067926315196993355095926423这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~解：（1）由y=2x+1可知， 当x=0时 ，y=1&&&&&&&&&&&& &∴ 点B(0，1) ∵点A(0，3) &&&&&&&&&&&&&& ∴AB=2 又 BC=2AB ∴ BC=4&&&&&&&&&&&&& &∵点P1在直线y=2x+1和AD边上，又AD // x轴 ， ∴可设&&&&&&&&&&&&& 则 3=2a+1 即 ∴ & ∴AP1=1 ；（2）∵AP=m&& AD=4&&& AP1=1 &&&&&&&& ∴PD = 4-m&&& P1P = m-1 &&&&&&&& 又P1P//BE，P1B//PE，&&& ∴P1PEB是平行四边形. &&&&&& ∴BE=P1P&&&&& ∴EC = 4-(m-1) = 5-m&&&&&& &&&&&& ∴S=[(4-m)+(5-m)]×2 = 9-2m&&&&& 1≤m&4；（3）当⊙E与x轴及⊙P外切时，EF=1， ∵ △CFE∽△CBA&&&&&&&&& ∴&& ∴即EC=&&&&&&&& ∴BE=4- 即m-1=4- &&& ∴m=5- &&&&&&& ∴当m=5-时， ⊙P与⊙E外切； &&&&&&&&&&& 当1≤m&5-时， ⊙P与⊙E外离；&&&&&&&&&&& 当5-&m&4时， ⊙P与⊙E相交 。
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科目：初中数学
已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1．（1）求BC、AP1的长；（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切．①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由．
科目：初中数学
已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，（Ⅰ）求BC、AP1的长；（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．
科目：初中数学
已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x2-6mx+m2+4=0的两根，并且S△AOC：S△BOC=1：5．（1）求AC、OB的长；（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S矩形FOED=S梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
科目：初中数学
如图，直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点）中AC∥OB，AO⊥OB，AC=1，OA=2，OB=5．（1）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；（2）延长AC交抛物线于点D，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，动点P、Q分别从O、D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O向B运动，点Q沿DC由D由C运动（其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止），过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM．设动点运动的时间为t秒，请你探索：当时间t为何值时，△PMB中有一个角是直角．
科目：初中数学
来源：2003年黑龙江省中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
（;黑龙江）已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x2-6mx+m2+4=0的两根，并且S△AOC：S△BOC=1：5．（1）求AC、OB的长；（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S矩形FOED=S梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．过正方形ABCD的顶点A任引一直线交BC和DC的延长线于P、Q．求证：1AP2+1AQ2为定值_百度知道
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出门在外也不愁如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=
．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过_百度作业帮
如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=
．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过
如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=
．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
（1）略（2）
（1）点C的坐标
．设抛物线的函数关系式为y=a(x–4)2+m，则
∴所求抛物线的函数关系式为
…………①设直线AC的函数关系式为
．∴直线AC的函数关系式为
，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得
，∴此抛物线过E点．（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
∴当x=5时，S△CMN有最大值