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如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
⑴求证：CE＝CF；
⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．
⑴证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE＝CF．
⑵解：GE＝BE＋GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG＝GF．
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
⑶解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，
又∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD 为正方形．
∴AG＝BC＝12．
已知∠DCE＝45°，根据⑴⑵可知，ED＝BE＋DG．
设DE＝x，则DG＝x－4，
∴AD＝16－x．
在Rt△AED中，
解得：x＝10．
∴DE＝10．
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＞＞＞（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且..
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45 °，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90 °，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45 °，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积。
题型：解答题难度：中档来源：中考真题
解：（1）在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE＝CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE＝GF∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD；（3）如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD 为正方形，∴AG＝BC，已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG，所以10=4+DG，即DG=6，设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6在Rt△AED中，&& ∵，即，解这个方程，得：x＝12，或x＝-2（舍去），∴AB＝12，所以梯形ABCD的面积为S=答：梯形ABCD的面积为108。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （图3）
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据魔方格专家权威分析，试题“（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且..”主要考查你对&&梯形，梯形的中位线，全等三角形的性质，勾股定理，正方形，正方形的性质，正方形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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梯形，梯形的中位线全等三角形的性质勾股定理正方形，正方形的性质，正方形的判定
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。& 梯形性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
梯形判定：1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中位线长度=（上底+下底）梯形的周长与面积：梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。梯形的分类：等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。 （2）等腰梯形的对角线相等。 （3）等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形的判定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。正方形的性质：1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°；3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。8、正方形是特殊的长方形。正方形的判定：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 1：对角线相等的菱形是正方形。2：有一个角为直角的菱形是正方形。3：对角线互相垂直的矩形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。有关计算公式：若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；正方形周长计算公式: C=4a 。S正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）
发现相似题
与“（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且..”考查相似的试题有：
42122586471900397316494392201345265当前位置：
＞＞＞在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA..
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、 F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA。
（I）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比。
题型：解答题难度：中档来源：山东省高考真题
解：（I）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA所以PD⊥平面ABCD又BC平面ABCD所以PD⊥BC因为四边形ABCD为正方形所以BC⊥DC又PD∩DC=D因此BC⊥平面PDC在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点所以GF∥BC因此GF⊥平面PDC又GF平面EFG所以平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2所以由于DA⊥面MAB，且PD∥MA所以DA即为点P到平面MAB的距离三棱锥所以。
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据魔方格专家权威分析，试题“在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA..”主要考查你对&&平面与平面垂直的判定与性质，柱体、椎体、台体的表面积与体积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平面与平面垂直的判定与性质柱体、椎体、台体的表面积与体积
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，&
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
多面体的侧面积与体积：
旋转体的侧面积和体积：
发现相似题
与“在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA..”考查相似的试题有：
271478628315400060335224266873270887如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于O,如图一,设E,F分别是AD,AB上的,且如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于O,（1）如图一,设E,F分别是AD,AB上的,且角EOF=90度，线段AF,BF和EF之间_百度作业帮
如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于O,如图一,设E,F分别是AD,AB上的,且如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于O,（1）如图一,设E,F分别是AD,AB上的,且角EOF=90度，线段AF,BF和EF之间存在一定的数量关系，请用等式直接写出（2）如图2，设E,F分别是AB上不同的两个点，且角EOF=45度，请你用等式析出AE,BF,EF之间的数量关系并证明
1、∵ABCD是正方形∴OA=OB=1/2AC=1/2BD∠BAD=∠ABC=90°∵AC、BD正方形ABCD的对角线∴BD⊥AC即∠AOB=90° ∠EAO（ ∠DAC）=∠FBO(∠ABD)=45°∵∠EOF=90°∴∠AOE+∠AOF=90°∠AOF+∠FOB=90°∴∠AOE=∠FOB 在△AOE和△BOF中∠EAO=∠FBO∠AOE=∠FOBOA=OB∴△AOE≌△BOF∴BF=AE在Rt△AEF中EF²=AE²+AF²∴EF²=BF²+AF²2、在BC上截取BM=AE,连接OM,FM∵∠EAO(∠BAC)=∠OBM(∠DBC)=45°OA=OBBM=AE∴△AOE≌△BOM∴∠AOE=∠BOM OE=OM∵∠EOF=45°∴∠AOE+∠FOB=45°∴∠AOE+∠BOM=45°即∠FOM=45°∴∠EOF=∠FOM在△EOF和△FOM中∠EOF=∠FOMOE=OM OF=OF∴△EOF≌△FOM∴EF=FM在Rt△FBM中FM²=BF²+BM²∴EF²=BF°+AE²
其他类似问题
证明：1。因为图形ABCD是正方形，AC和BD是对角线，且角EOF为90度，所以E,F分别是AD和AB的中点，所以AF=BF
(1) AF.BF和EF之间关系为AF^2+AE^2=EF^2.(2)AF.BF和EF之间关系为AE^2+AF^2=EF^2.证明如下：作OM垂直于OF交与AD于M点。因为角EOF=45度，所以角EOM=45度。因为角AOE+角BOF=45度，且角AOE+角AOM=45度，所以角BOF=角AOM，又OA=OB，角OAM=角OBF=45度。...
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