已知二次函数f（x）=x2-ax+3，x∈[1，3]．（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．-数学试题及答案
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1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-ax+3，x∈[1，3]．（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
已知二次函数f（x）=x2-ax+3，x∈[1，3]．（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．
&&试题来源：不详
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：二次函数的性质及应用
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由于f(x)=(x-a2)2+3-a24，（1）由题意可得a2≤1?a≤2．（2）解法1：由题意得x2-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即a＜x2+2x=x+2x在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)=x+2x，由其图象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值为22（当x=2时取到），故a＜22．解法2：(x-a2)2+2-a24＞0在x∈[1，3]上恒成立，当a2≤1时，f（1）=3-a＞0?a≤2；当1＜a2≤3时，2-a24＞0?2＜a＜22；当a2＞3时，f（3）=11-3a＞0，此时无解，综上可得a＜22．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-ax+3，x∈[1，3]．（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。
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＞＞＞已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..
已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数g(x)的单调区间； (3)研究函数g(x)在区间（0，1）上的零点个数。
题型：解答题难度：偏难来源：广东省模拟题
解：（1）∵f(0)=0，∴c=0，∵对于任意x∈R都有， ∴函数f(x)的对称轴为，即，得a=b，又f(x)≥x，即对于任意x∈R都成立， ∴a＞0，且，　　　　∵， ∴b=1，a=1，　　　　∴。 （2），①当时，函数的对称轴为，若，即0＜λ≤2，函数g(x)在上单调递增；若，即λ＞2，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；②当时，函数的对称轴为，　则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当0＜λ≤2时，函数g(x)单调递增区间为，单调递减区间为；&当时，函数g(x)单调递增区间为和，单调递减区间为和． （3）①当0＜λ≤2时，由(2)知函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，　　　　　又，　　　　　故函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；②当λ＞2时，则，而，　　　　， （ⅰ）若2＜λ≤3，由于，且， 此时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，此时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点；综上所述，当0＜λ≤3时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；当λ＞3时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，二次函数的性质及应用，函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值二次函数的性质及应用函数零点的判定定理
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
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与“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”考查相似的试题有：
438571873777404997269933814250393735您的举报已经提交成功，我们将尽快处理，谢谢！
解:f(x)=x^2+2ax+2是开口向上,对称轴为x=-a的抛物线,则在(-无穷,-a]减,在[-a,+无穷)增.现函数在[-5,5]上是单调函数,则[-5,...
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（Ⅰ）f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．所以f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）．所以y=f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，2）（Ⅱ）g（x）=ex（x3-3x2），g′（x）=ex（x3-3x2+3x2-6x）=ex（x3-6x）=x，因为ex＞0，所以，y=g（x）的单调增区间是，；单调减区间是，．
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本题考点：
利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
解析：（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0可求出a的值，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．（2）先求出函数g（x）的解析式然后求导，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．解“（1）f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．所以f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）．所以y=f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，2）（2）g（x）=ex（x3-3x2），
扫描下载二维码设函数f（x）=ax3-3x2，（a∈R），且x=2是y=f（x）的极值点．（Ⅰ）求实数a的值，并求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数g（x）=exof（x）的单调区间．
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