小学数学一年级下册疑难问题解答
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一年级下册疑难问题解答
人民教育出版社小学数学室 陶雪鹤
一、为什么“上下、前后、左右”的认识安排在一年级下册？
有的老师认为上下、前后、左右的概念比较简单，一年级上册教学序数时（如下图），就要辨别左右，所以这部分内容安排在一年级上册比较合适，安排在一年级下册晚了些。
从左数，小女孩排第几？妈妈排第几？
教材现在这样的编排有如下考虑。
（1）在认识左右的教学内容中，包含着对左右的相对性的认识。而左右的相对性对儿童来说理解起来比较困难。心理学研究表明，儿童一般要在7～9岁，才能逐渐形成以他人为标准辨别左右的能力。如果按此规律，学生在8岁时，也就是在二～三年级时，学习左右相对性比较适宜。但考虑到学前教育，以及后续知识的学习等因素，教材把左右的相对性内容安排在一年级下册。
当然如果不涉及左右的相对性，这部分内容完全可以安排在一年级上册。考虑到左右的相对性在日常生活不可避免，因此有必要让学生初步感知体会，所以教材中安排了左右的相对性内容。
（2）一年级上册教学中，学生在没有认识左右时，就要回答类似“从左数起（或从右数起），谁在第几？”的问题，这时就要先辨别左右再数数。由于我们读书、写字等都是按从左往右的顺序进行，所以在教学序数时可以利用学生这些已有的生活经验。
二、左右的相对性教学尺度问题。
1．如何把握左右的相对性的教学要求？
考虑到左右的相对性认识的难度，教材只是通过游戏和活动让学生初步感知体会，没有安排脱离操作判断左右相对性的习题。教学时，也应该根据一年级学生的年龄特点，组织适宜的活动。如两个同学面对面，老师发口令：拍拍自己的左（右）肩，拍拍对面同学的左（右）肩……学生按口令活动，让学生在活动中体会左右的相对性。所以这部分内容不宜作书面考试。
2．在练习中如何判断左右的相对性？
有老师反映，在左右的练习中，有时左右的相对性回避不了。如上图“女孩的左边是谁？”就有不同的答案，引起了不必要的麻烦。
其实上述问题就是判断左右时以谁为标准的问题。以谁为标准，一般要根据具体情况来确定。为了便于说明我们把观察的对象按属性进行分类。
（1）观察的对象是无生命的物体（如下图），一般确定左右的标准是观察者。
&&& 圆的左边有（3）个三角形，右边有（4）个三角形。
（2）观察的对象是人或动物，有两种情况。
①当问及的问题涉及到人或动物身体的左右时（如下图），一般以人或动物为标准。
&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 他（右）手拿着计算器。　　小猫抬的是（左）爪。
②当问及的问题不涉及到人或动物身体的左右时（如下图），以谁为标准皆可。&& &&
女孩的左边是谁？　　　　　　　　　　小狗的右边是谁？
如上左图，如果以观察者为标准，女孩的左边就是奶奶；如果以女孩为标准，女孩的左边就是爷爷。像这样判断照片中某人的左边或右边是谁时，以照片中的人或看照片的人为标准都是可以的。但为了避免不必要的麻烦，最好是标明参照的标准，如给下图中的某人或某动物加上标明参照标准的说话框，这样就没有异议了。
三、有关计算教学的问题。
1．有关算法多样化的问题。
计算教学提倡算法多样化，是这次课程改革中计算教学方面的一个显著特点。其内涵主要是尊重学生的个体差异，鼓励学生独立思考，积极主动地解决问题。这一点也得到了老师们的认可，并很快在课堂中得到明显体现。但随着改革的逐步深入，一些问题浮现出来，老师们也由最初的激情实践，转为理性思考。
（1）是不是算法越多越能体现多样化？
答案是否定的，因为算法多样化追求是尊重差异、尊重本色、尊重真实，学生自发想出的算法是最真实、最本色的。因此教学应实事求是，应主要呈现学生自发想出的算法，然后进行分析比较，在此基础上再选择或推荐一般性的算法。不能为多样而多样，让学生绞尽脑汁，想出与众不同的，费解的算法。
（2）如何处理学生的多种算法？
对于学生出现的算法，不能散乱的摆放在黑板上，应该进行分类梳理，逐一分析算理。
我们结合“20以内的退位减法”来说明。如12－9，学生可能会出现下面一些算法。
①破十法：10－9＝1，2＋1＝3。
②连续减：12－2＝10，10－7＝3。
③想加算减：9＋3＝12，12－9＝3。
④其他，如数数，联想：11－9＝2，2＋1＝3等。
对于这些方法，不能只停留在罗列的层面上，应在分类梳理的基础上选择一般性的算法，如第①～③种，让学生理解其算理。可采用先让汇报学生讲算理，再让其他学生复述算理的方式，使学生了解他人算法，修正自己的算法，在原有的基础上得到进步和提高。
（3）在多种算法中教师能否有一定的倾向性？
在诸多算法中，有特殊算法和一般性算法。特殊算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响，某种特殊算法对某人或某一题比较适合，但对另一人或另一题可能就不方便了，有的虽然可行，但操作烦琐，效率比较低。而一般性算法具有通用性和简捷性，一般不受个体和题目的限制，是通法通则。如上面呈现的“破十法”“连续减”以及“想加算减”都是一般性算法，其中最具优势的是“想加算减”。其原因是：第一，简便快捷。 因为“破十法”、“连续减”都需要两步，而“想加算减”只需一步。它对后续学习非常重要，如在多位数减法中，当某一步需要退位时，如果用“破十法”或“连续减”计算，仅退位这一步就需要两步计算，如此下来整个计算步骤就会增加，出错率也会增加，如果用“想加算减”整个计算就变得简捷明了。第二，沟通了加减法的内在联系。第三，能帮助学生进一步巩固20以内的进位加法，具有一举两得的功效。既然“想加算减”有如此多好处，那么教师能否倾向于“想加算减”？回答是当然可以，但要注意处理好算法多样化与一般方法之间的关系。在开始学习时，几种一般性算法可以由学生根据自己的特点灵活选择，在以后的学习中再采取一定策略，让学生逐步体会“想加算减”的优势，促使学生自发选择和掌握“想加算减”的方法。
2．本册的计算，在熟练程度上有无量化标准？
本册的计算都是最基本的，按照《数学课程标准》第56页评价建议中提出的相关目标，到学期末学生应能比较熟练地进行计算，“20以内的退位减法”绝大多数学生应达到每分钟做8～10题，“100以内的加减法” 绝大多数学生应达到每分钟做2～3题。教学时，教师可以根据学生的实际情况按此标准适当调整。
3．如何处理练习量不够的问题？
本册计算非常重要但练习量不够，学生要达到计算熟悉仅靠课本上的习题远远不够。借助一些常规性的口算训练方式，可能对熟练掌握本册计算有所帮助，现简要介绍几种，供参考。
（1）制作口算卡片，经常练习。
可以用硬纸自制，每张纸大约长25厘米，宽10厘米，上面写一道算式，供课堂练习用。练习时，可以根据一年级儿童的特点，以“开火车”“找朋友”“给小动物找家”“对号入座”等游戏、比赛方式进行。最好每天坚持课前5分钟的“开火车”口算训练。
（2）印制口算题单。
在32开大小（即课本大小）的纸上印制口算题，每页印3栏，每栏20题（带等号），共60题。教学时，可以根据进度和需要选择合适的条目进行练习。练习时，学生可以拿一张纸放在一栏试题的右边，对准每道题直接写出得数。可以分别记出所用时间，全部算完以后，大家一起对得数，看谁算得又对又快；也可以全班同学同时进行练习，规定一个时间，在同一时间内看谁算得又对又快。这种练习，不费多少时间，全班每人都能得到练习。经常做这样的练习，还可记录每个学生的进步情况。这种题单，可以反复使用。
除此之外，还应经常了解学生的情况，不断采取针对性的措施帮助有困难的学生逐步达到要求。
四、“图形的拼组”教学应注意的问题
“图形的拼组”是在一年级上册初步认识了常见的立体图形和平面图形的基础上编排的，其目的是让学生用所学的平面图形和立体图形拼摆出新的图形，体会平面图形间和立体图形间的关系。但这部分内容容易上成手工课或拼摆各种有趣图案的活动课，使教学重点偏离教材编排的初衷。因此教学中应注意以下一些问题。
1．在动手操作中，突出图形的变换。
本单元所设计的活动，不论是做风车、折飞机，还是图形的拼组，都是为了让学生在活动中体会图形间的关系，因此在操作时要注重让学生描述图形的变换过程。
（1）在折纸活动中描述图形的变化。
如做风车，不能只是让学生学习如何做风车，而且还应该让他们边折边按下图中的文字说明图形的每一步变换过程。
（2）在拼组活动中描述图形的变换。
在拼组活动中，应让学生说明是用什么形状的图形拼成了什么新的图形，由此体会图形间的变换关系（如下图）。&&&&&&&&&
（3）在剪、卷活动中描述平面图形和立体图形的变换关系（如下图）。&&&&&&&
2．注意通过多种层次的拼组活动体会图形间的变换关系。
拼组活动，教材只呈现了一些简单的范例。教学中，教师可以组织丰富的有层次的活动，让学生体会图形间的变换关系。如平面图形之间的变换关系可以分这样几个层次：
（1）用相同形状的图形拼出同样形状的图形。&&
（2）用相同形状的图形拼出不同样形状的图形。&&
（3）用不同形状的图形拼出新的图形。&&&&& &&
立体图形之间的变换关系的活动层次可以参照平面图形。
五、有关“人民币的认识”的教学问题。
1．小数表示的人民币的计算要求到什么程度？
有老师反映在“人民币的认识”中，用小数表示的人民币计算，思维步骤较多，学生学习起来比较困难。如下图，思维步骤有（1）将1.20元转化成1元2角，0.8元转化成8角，列出加法算式。（2）将1元2角变换成12角。（3）计算12角＋8角，等于20角。（4）将20角变换成2元。像这样涉及复名数和进或退位的计算要不要学生掌握？&&
人民币的认识离不开商品价钱，而在实际生活中，商品的标价大多是用小数表示的，因此教材出示了用小数表示的人民币。但考虑到学生还未学习小数，所以这里出现的商品标价只出到角，并且只要求学生知道几点几元（如1.30元）表示几元几角就可以了。而相应的小数表示的人民币的计算也主要是为认识人民币服务的。像上面那样的计算，如果学生接受起来困难，可以在练习和考试时降低难度，如限定计算范围，只出单名数的计算（如0.4元＋0.7元）；如果要出复名数的题目，也不要涉及进位或退位，（如1.2元＋0.5元）。这样调整后，学生接受起来可能会容易些。
2．有些计算题超出所学范围怎么处理？
人民币的计算，有个别题目的计算超出了所学范围。如第55页第11题（下图），一袋大米20元，一桶油39元，问买这两样东西共要多少钱？解决这一问题，要算20＋39，这样的计算要到下一单元“100以内的加减法”才学，计算超出了范围，这样的练习如何处理？&& 　
这样的习题在“100以内的加减法”之前出现确实不妥，在教材修改前，可选用下面两个办法。一是，改变数据使计算限定在所学范围。二是将 “人民币的认识”整个单元移到“100以内的加法和减法（一）”之后教学。
六、关于100以内的退位减法中的问题。
教材第68页，通过36－8教学两位数减一位数的退位减法，呈现了学生摆小棒的计算过程（如下图）。左边学生提出疑问：“36－8，6减8不够减怎么办？”右边学生用“想加算减”的方法算：先从3捆中拿出一捆打开和原来的6根合起来，变成16根，算16－8＝8，&&&
再算20＋8＝28。但实际教学中，如果摆小棒计算，学生不一定用这种方法。他们通常用“连续减”和“破十法”。“连续减”这样想：36－8，先从36根中拿走6根，再打开一捆，拿出2根，最后剩下28根，所以36－8＝28。“破十法”这样想：36－8，6减8不够减，从3捆中打开一捆拿出8根剩下2根，和原来的2捆零6根合起来，就是28根，所以36－8＝28。那么现在如何处理学生的实际算法和教材算法的关系？
这一问题实质上是如何处理“连续减”“破十法”和“想加算减”三种方法的问题。前面我们已经谈到过，“想加算减”在多位数的退位减法中较其他两种算法有明显优势，在脱离操作，计算多位数的退位减法时，用的都是“想加算减”的方法，所以教材主要呈现的是这种方法，提示教师在学生多样化的算法基础上，引导学生学习和掌握这种方法。但要注意我们主张这种方法，并不是否定学生的算法，学生的真实算法，可以反应出他们对已有知识掌握的程度，有助于对“想加算减”方法的理解和掌握。因此一定要给予充分的肯定和鼓励，以保护学生积极主动解决问题的积极性和独立思考的良好习惯。
七、如何克服认识时间的难点？
一年级下册，教材安排了认识几时几分的内容，由于几时几分时，时针不是正好指着几时，学生分不清到底是几时，所以认识比较困难，那么怎样才能克服这一难点？
在这方面，不少教师探索出了一些好的经验，这里介绍给大家。一是，在整时的基础上，经常做一些认几时多（差）一些的练习，以帮助学生分清在几时多（或少）时，时针的位置。二是，在教室里放一钟表，把认识时间和学习生活联系起来，经常进行认读。
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GRE数学疑难问题的解答思路
00:00:00 来源：新东方在线论坛
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　　备考中，经常有一些疑难问题需要同学们去克服，那么面对这些疑难问题我们需要什么样的解题思路呢?本文小编为大家具体分析。　　一、疑难问题之一　　1、关于一个地方的居民承诺捐款：　　要求的捐款数￥ 居民人数　　100 20　　58 30　　35 20　　10 10　　问，要求一个居住区的居民捐款，上表是居民承诺的捐款上限表，问：下列哪个钱，能够保证有半数以上(含)能够捐款。　　I.35 II.54 III.21，问哪几个数字符合条件。　　解答：　　如果设定捐款数是54，那么承诺捐款上限为100的20 个人和上限为58的30个人都会捐款，这样加起来就是50个人，居民总人数是20+30+20+10=80人，所以超过半数。连54都可以，35、21就更可以。 所以应当全选。　　2、学生总数240，学SCIENCE的是140，学MATH的170，求LEARN MATH BUT NOT SCIENCE的人数?　　1)THERE ARE 55 STUDENTS WHO LEARN SCIENCE BUT NOT MATH　　2)30 DIDN&T SELECT ANY SUBJECT　　这种题有两种解题方法，　　1)、画图法　　画两个相交的圆A、B。圆A下写学甲科的总数，圆B下写学乙科的总数;两圆相交的部分写两科都学的数量，不相交的部分写各自只学一门的数量。再在外面画一个大方框，是学生总数，圆外方框内是什么都不学的。这样就一目了然了。　　2)、概念法　　P(A,B)=P(A)+P(B)-P(AB)　　以本题为例，至少学一科的=只学甲科+只学乙科-两科都学　　全集=A+B-A交B+非A非B　　normal distribution下One standard deviation away from the mean的possibility为68%，Two standard deviation away from the mean的possibility为95%，standard deviation = 10。一种cougar的体长呈正态分布，均值60英寸，问体长在70到80英寸之间的概率?　　落在平均值标准方差内的概率　　possibility = (mean - deviation)X(mean + deviation)　　60-只落在一边的概率就要除以二，基本上这种题画一条数轴，做几个点会更一目了然一些。　　(0.95-0.68)/2 = 13.5　　二、常见数学疑难几经解答思路　　1.从2 3 4 5 6 7 8 9中取数字组成三位数号码，assign to 330 employee, 数字不重复， 问多少号码unassigned?　　解：P(3,8)=(8*7*6)=336　　336-330=6　　2.一个工作W，X做要比Y做少两天，X，Y一起做4/3W要3天，求X单独做2W要几天?　　解：令W/X=x，W/Y=y，则x+2=y (1)　　(4/3W)/(W/x+W/y)=3 (2)　　两式连立化去y，即可解得x　　3.(n)=2^x3^y5^z 代表的是n的函数，x,y,z,都是positive integer, and x,y,z,分别代表n的百位，十位和个位，问如果f(m)=9f(v),m-v=?　　解：因为f(m)=9f(v),所以两数百位个位都相同，令a为m的十位，b为n的十位则可知，(3^a)/(3^b)=9　　解得a-b=2　　所以m-v=2*10=20　　4.10的n次方减38所得数的digit sum 为350. n=?　　解：(n-2)*9+(6+2)=350　　5.1到n是连续整数, 1到n 数的乘积能被990 整除, 问n 最少是?　　解：990=11*10*9，所以n不能小于11
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.​已​知​二​次​函​数​f​(​x​)​=​a​x​^+​b​x​+​c​(​a​,​b​,​c​属​于​R​)​满​足​f​(​-)​=且​对​任​意​实​数​x​都​有​ ​,​求​f​(​x​)​的​解​析​式​;​
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[组图]全县初中数学“疑难问题解决”专题研讨会在温溪一中举行
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全县初中数学“疑难问题解决”专题研讨会在温溪一中举行
作者：叶晓锋&&&&信息来源：本站原创&&&&点击数：&&&&更新时间：
10月24日，青田县初中数学“疑难问题解决”研讨会在温溪镇第一中学举行，来自全县50余名数学学科专家组成员、学科教师参加活动。县教研室教研员李兆巨出席并作专题指导。
上午，吴晓芬、杜家友老师分别执教《一元一次方程》、《一次不等式》观摩课，给与会教师以深刻的印象和深深的启发；之后进行了专家评课、教师互动，执教老师汇报了教学思路和反思，各校开展了相关交流研讨。
下午，举行了座谈会，李雪妃、舒恩勇、陈跃、李全碧、陈晓静等老师分别作题为《一课堂引入引发的思考》、《初中数学合作学习中的问题思考》、《困惑、思考、对策――使用教材时的困惑与思考》、《课堂教学中如何关注学生的学习》、《智慧与美丽并存――用图象法解决二次函数中的疑难问题》、《浅谈如何培养学生良好的数学学习习惯》的主题发言。
最后，教研员李兆巨对探讨活动作总结，对初中数学日常教学中的“疑难问题解决”进行了专题指导，对课堂教学提出了指导性意见和建议。
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