基本不等式式问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-26 04:26 标签： 基本不等式
第二轮第10讲
不等式问题的题型与方法_中华文本库
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算而导出待证的不等式，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” ，为沟通联系 的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、 解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别 注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用
不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。 7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何 等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应 用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二 次不等式（组）来求解， 。 2.解含参数不等式时， 要特别注意数形结合思想， 函数与方程思想， 分类讨论思想的录活运用。 3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基 础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
三、例题分析
b)∈M，且对 M 中的 其它元素(c，d)，总有 c≥a，则 a=____． 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对 M 中的其它元 素(c，d)，总有 c≥a”？M 中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当 1≤y≤3 时， 所以当 y=1 时， xmin = 4．
简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其 数 学 实 质 ． 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式
例 2．已知非负实数 x ， y 满足 2 x + 3 y - 8 ≤ 0 且 3 x + 2 y - 7 ≤ 0 ，则 x + y 的最大值是（ ） A．
解：画出图象，由线性规划知识可得，选 D 例 3．数列 xn 由下列条件确定： x1 = a > 0, x n +1 = （1）证明：对于 n ≥ 2, 总有x n ≥
1? a ? ? x n + ?, n ∈ N * ? 2? xn ? ?
（2）证明：对于 n ≥ 2, 总有xn ≥ xn +1 ． 证明： （1） x1 = a > 0及xn+1 = (xn +
a 1 a a )知xn > 0, 从而 n+1 = (xn + ) ≥ xn ? = a(n ∈ N*) x xn 2 xn xn
∴当n ≥ 2时xn ≥ a成立
（2）当 n ≥ 2 时， x n ≥
a > 0, x n +1 =
1 a 1 a ( x n
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不等式问题
设a,b,c都是正数,求证a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
设a,b,c都是正数,求证a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
解:∵a^2+b^2≥2ab
a^2≥2ab-b^2
同理 b^2≥2bc-c^2, c^2≥2ac-a^2
∴a^2/b+b^2/c+c^2/a≥(2ab-b^2)/b+(2bc-c^2)/c+(2ac-a^2)/a
而 (2ab-b^2)/b+(2bc-c^2)/c+(2ac-a^2)/a=2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c
因此a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
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1：x小于等于22：M等于-13：x大于2分之1
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关于不等式的问题
(1)已知x>0，求2-3x- x分之4 的最大值
(2)已知x>0，y>0，x+2y=1，求1/x+1/y的最小值
(1)已知x&0，求2-3x- x分之4 的最大值
2-3x-(4/x)
=2-[3x+(4/x)]………………………………………………（1）
因为：3x+(4/x)≥2√[3x*(4/x)]=2√12=4√3
【当且仅当3x=4/x，即3x^2=4 ===& x^2=4/3 ===& x=(2√3)/3时取等号】
那么，-[3x+(4/x)]≤-4√3
代入(1)就有：
原式=2-[3x+(4/x)]≤2-4√3
所以，原式有最大值2-4√3
(2)已知x&0，y&0，x+2y=1，求1/x+1/y的最小值
因为x+2y=1，x＞0，y＞0
(1/x)+(1/y)=[(x+2y)/x]+[(x+2y)/y]
=1+2(y/x)+(x/y)+2
=3+[2(y/x)+(x/y)]……………………………………………（1）
2(y/x)+(x/y)≥2√[2(y/x)*(x/y)]=2√2
【当且仅当2(y/x)=x/y时取等号】
代入(1)就有：
原式≥3+2√2
即，原式有最小值3+2√2
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