一道高中求函数的定义域求定义域的题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-04 10:14 标签： 求函数的定义域
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已知函数f(x)=lnx-ax2-bx，(1)若a=-1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)当a=1，b=-1时，证明函数f(x)只有一个零点；(3)若f(x)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，AB的中点为C(x0，0)，求证：f′(x0)＜0。
题型：解答题难度：偏难来源：山东省模拟题
解：(1)依题意f(x)=lnx+x2-bx，x＞0，因为f(x)在(0，+∞)上递增，所以对x∈(0，+∞)恒成立，即对x∈(0，+∞)恒成立，所以只需，因为x＞0，所以，当且仅当时取等号，所以，所以b的取值范围为。(2)当a=1，b=-1时，f(x)=lnx-x2+x，其定义域是(0，+∞)，所以， 因为x＞0，所以0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)=ln1-12+1=0；当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0；所以函数f(x)只有一个零点．(3)由已知得，即，两式相减，得，即，由及2x0=x1+x2，得，令，且，因为，所以ψ(t)在(0，1)上递减，所以ψ(t)＞ψ(1)=0，因为x1＜x2，所以f′(x0)＜0。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=lnx-ax2-bx，(1)若a=-1，函数f(x)在其定义域内是增..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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