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已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|2的最大值；（2）如果对f（x2）f（x）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f（x）-g（x）=3（1-log2x），当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），∴M（x）=3-2log2x，x＞2log2x，0＜x≤2当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．（2）由f（x2）f（x）＞kg（x）得：（3-4log2x）（3-log2x）＞kolog2x，令t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立．①当t=0时，k∈R；②当t∈（0，2]时，k＜(3-4t)(3-t)t恒成立，即k＜4t+9t-15，∵4t+9t≥12，当且仅当4t=9t，即t=32时取等号．∴4t+9t-15的最小值为-3，∴k＜-3．综上k的取值范围是k＜-3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f..”主要考查你对&&对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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对数函数的图象与性质
对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f..”考查相似的试题有：
332360295118280370568193333725572468当前位置：
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函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）当f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函数时，若f（x-1）＜2，求x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）取x2=1，得f（x1×1）=f（x1）+f（1），即f（x1）=f（x1）+f（1），解之得f（1）=0；（2）令x1=x2=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0再令x1=-1，x2=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）在D上为偶函数…（8分）（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）∵f（x）在D上为偶函数，∴不等式f（x-1）＜2等价于f（|x-1|）＜2…（10分）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，由函数的定义域知|x-1|＞0∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，即原不等式的解集为（-15，1]∪[1，17）…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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与“函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，..”考查相似的试题有：
398115865069565808484168249251439494&&评论 & 纠错 &&
同类试题1：函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1 x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+4）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．解：（1）对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．令x1=x2=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）∴f（1）=0（2）∵f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0∴f（-1）=0则f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x）∴f（x）为偶函数（3）∵f（4）=1∴f（64）=f（16×4）=f（16）+f（4）=f（4×4）...
同类试题2：定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1） 的值；（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；（3）若f（2）=1，解不等式f（x2-5）-f（x）＜2．解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0．（2）y=logax（a＞1）（3）f（2）=1∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）∴原不等式等价于f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以x2-5＜4xx2-5＞0x＞0?-1＜x＜5x＜-5或x＞5x＞0?5＜x＜5所以原不等式解集是(5，5)当前位置：
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设函数f（x）=x2+bln（x+1）． （1）若b=﹣4，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围； （3）若b=﹣1，证明对任意n∈N+，不等式…都成立．
题型：解答题难度：偏难来源：期末题
（1）解：求导函数，可得，定义域{x|x＞﹣1}∴当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．故函数f（x）的减区间是（﹣1，1），增区间是（1，+∞）．（2）解：∵，又函数f（x）在定义域是单调函数，∴f'（x）≥0，或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．若f'（x）≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即恒成立，由此得；若f'（x）≤0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≤0，即b≤﹣（2x2+2x）恒成立，因﹣（2x2+2x）在（﹣1，+∞）没有最小值，∴不存在实数b使f'（x）0恒成立．综上所知，实数b的取值范围是．（3）证明：当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，则，∴当x∈[0，+∞）时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递减，又h（0）=0，∴当x∈（0，+∞）时，h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故f（x）＜x3．∵k∈N*，∴，取，∴…，故结论成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若b=﹣4，求函数f（x）的单调区间；（2）若..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若b=﹣4，求函数f（x）的单调区间；（2）若..”考查相似的试题有：
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