讨论函数单调性f(x)=x+x分之a的单调性...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-10 12:54 标签： 函数的单调性
考点：；．专题：；．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax-1）lna，h'（x）=2+axln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…（2分）又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（-∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）…（4分）（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1成立，而当x∈[-1，1]时|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min，所以只要f（x）max-f（x）min≥e-1…（6分）又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
（-∞，0）
（0，+∞）
增函数所以f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（-1）和f（1）中的最大值．…（8分）因为，令，因为2-2a=(1-1a)2＞0，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（-1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（-1）…（10分）所以，当a＞1时，f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1，而函数y=a-lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（-1）-f（0）≥e-1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…（12分）点评：本题考查了基本函数导数公式，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于难题．答题：
其它回答（5条）
已知函数f（x）=a^x+x^2-xlna（a＞0，a不等于1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程（2）求函数f（x）单调增区间（1）解析：∵函数f（x）=a^x+x^2-xlna（a＞0，a不等于1）f（0）=1函数f'（x）=a^x*lna+2x-lna==＞f'（0）=0∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（2）解析：f'（x）=a^x*lna+2x-lna=0==＞x=0f''（x）=a^x*（lna）^2+2＞0所以函数f（x）在x=0处取极小值x＜0时，函数f（x）单调减；x＞=0时，函数f（x）单调增
1）f'（x）=a^xIna 2x-Ina，f'（0）=Ina-Ina=0，故该切线的斜率为0，方程为y=f（0）=1（2）f'（x）=0时，x=0，故f（x）在（0，正无穷）单调递增，在（负无穷，0）单调递减
（1）∵f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，∴y=（ax-1）lna单调递增，故y=2x+（ax-1）lna单调递增，∴2x+（ax-1）lna＞2×0+（a0-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），∴x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，∴y=（ax-1）lna单调递增，故y=2x+（ax-1）lna单调递增，∴2x+（ax-1）lna＞2×0+（a0-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），∴x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（2）∵存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，∴当x∈[-1，1]时，|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1，由（1）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，∴当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（-1），f（1）}，而f（1）-f（-1），记（t＞0），2-2t=(1t-1)2≥0(当t=1时取等号)∴g(t)=t-1t-2lnt在t∈(0，+∞)上单调递增，而g(1)=0∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1=>a-lna≥e-1=>a≥e，②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）；综上知，所求a的取值范围为．
Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t即得．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax-1＞0，所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增，故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）所以x，f'（x），f（x）的变化（0，+∞）増，0极小值，（-∞，0）减又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2（10分）已知函数f(x)=x+x分之4 1 判断函数f x在0.2上的单调性2若a 大于1,求fx在区间_百度作业帮
已知函数f(x)=x+x分之4 1 判断函数f x在0.2上的单调性2若a 大于1,求fx在区间
函数f(x)=x+x分之4是一个对勾函数,在（0,2）单调递减,在（2,+无穷）单增求函数f(x)=x+x分之9(x大于0)的单调区间_百度作业帮
求函数f(x)=x+x分之9(x大于0)的单调区间
解析：像f(x)=x+9/x这样的函数我们称它为双（对）勾函数.双钩函数是奇函数.对勾函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1,x2∈(0,+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2,则x1-x2>0 当时,x1x20,即时,f(x)=ax+b/x单调递增.函数f(x)=x+9/x(x大于0)得单调区间 当x∈(0,3),单调递减 当x∈（3,+∞),单调递增

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