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第一章空间几何体一．知识点精讲（一）空间几何体的类型1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2.旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征1.棱柱的结构特征1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2棱柱的分类图1-1棱柱底面是四边形棱柱底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形四棱柱长方体平行六面体底面是正方形棱长都相等直平行六面体正方体正四棱柱性质：Ⅰ侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧?ch（c是底周长，h是高）S直棱柱表面=c?h+2S底V棱柱=S底?h2.棱锥的结构特征2.1棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2.2正棱锥的结构特征Ⅰ平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底1面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：S正棱椎?1ch'（c为底周长，h'为斜高）2OAP体积：V棱椎?1Sh（S为底面积，h为高）3C正四面体：对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为2a的正方体问题。2对棱间的距离为2a（正方体的边长）正四面体的高62（?l正方体体对角线）3231V正方体?4V小三棱锥?V正方体）311l正方体体对角线l正方体体对角线）62正四面体的体积为正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（?3.棱台的结构特征3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。4.圆柱的结构特征4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2π?r?h(r为底面半径，h为圆柱的高)2S圆柱全=2πrh+2πr2V圆柱=S底h=πr2h5.圆锥的结构特征5.1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫锥。5.2圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6.圆台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=π?(R+r)?l22线为旋做圆直径之图1-5圆锥(r、R为上下底面半径)(h为圆台的高)S圆台全=π?r+π?R+π?(R+r)?lV圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h7.球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7.2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r=RCd222★7.3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，此类问题的基本思路是：⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；3⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7.4球的面积和体积公式S球面=4πR2(R为球半径)V球=4/3πR3（三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：S?2?rl?2?r2圆锥的表面积：S??rl??r222S??rl??r??Rl??R圆台的表面积：球的表面积：S?4?R扇形的面积公式S扇形空间几何体的体积2n?R211??lr=?r2（其中l表示弧长，r表示半径，?表示弧度）36022柱体的体积：V?S底?h1锥体的体积：V?S底?h3台体的体积：1V?S上?3?S下)?h球体的体积：V?4?R33(四)一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，侧棱垂直于底面的棱底面是正多边形的而其余每相邻两个面柱直棱柱的交线都互相平行的多面体4侧棱侧面的形状对角面的形状平行于底面的截面的形状名称平行且相等平行四边形平行四边形与底面全等的多边形平行且相等矩形矩形与底面全等的多边形平行且相等全等的矩形矩形与底面全等的正多边形正棱台棱锥正棱锥棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分相交于一点且相等全等的等腰三角形等腰三角形侧棱侧面的形状对角面的形状平行于底的截面形状相交于一点但不一定相等三角形三角形与底面相似的多边形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分延长线交于一点梯形梯形由正棱锥截得的棱台相等且延长线交于一点全等的等腰梯形等腰梯形与底面相似的正多与底面相似与底面相似的正多边形的多边形边形高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等其他性质（五）几种特殊四棱柱的特殊性质名称平行六面体直平行六面体长方体特殊性质底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该5正方体点平分棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分（六）空间几何体的三视图1.了解中心投影与平行投影光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。当投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。2.三视图（1）正视图：物体从前向后投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体从左向右投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体从上向下投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3．三视图画法规则⑴俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(长对正，高平齐，宽相等)⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。（3）绘制三视图时，表面的交线与可见轮廓线都用实线画出，不可见边界的轮廓线，用虚线画出。4．对斜二测画法的认识及直观图的画法（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；’’’’②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使?X'O'Y'=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。22S斜=S原（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。二．典例解析题型一：几何体结构例1．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积．．．的可能值有A．1个B．2个C．3个6D．无穷多个变式题组：1.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（）AAB∥CDBAB∥EFCCD∥GHDAB∥GH解答：选C。折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合。显见CD∥GH2.下列命题中，不正确的是______．①棱长都相等的长方体是正方体②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)课后：1.关于如图所示几何体的正确说法为________．①这是一个六面体②这是一个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱答案：①②③④⑤2.对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．3.下面命题正确的有________个．①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱②过圆锥侧面上一点有无数条母线③三棱锥的每个面都可以作为底面④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形4.给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．5.下列结论正确的是①各个面都是三角形的几何体是三棱锥7②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线6.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________．①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上题型二：斜二测画法例2．?A?B?C?是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若?A?B?C?的面积为3，那么△ABC的面积为_________。变式题组：1.利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（）A.2B.46C.3D.都不对3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A.12?22B.1?22C.1?2D.2?课后作业：1.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法是________.2.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A/B/C/的面积为______．3.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为84.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′=3，O′R′=1，则原四边形OPQR的周长为（）。5.已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为18，那么原正方形的面积为（）。6.已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为AB．C．D．7.利用斜二测画法可以得到以下结论，其中正确的是（）A．等边三角形的直观图是等边三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形8.用斜二则法画直观图时，矩形的宽原为2cm，则直观图中宽为______cm题型三：三视图例3．如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（D）BC①②③④A．①③例:4：在四面体B．②③④C．③④D．②④，若该四面体的中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。变式题组：1.如图9―15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9―15（2）的（要求：把可能的图的序号都填上）.．92.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）cmcmＡ．Ｂ．3320Ｃ．2000cm3Ｄ．4000cm320正视图20侧视图3.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A.22B.23C.4D.俯视图课后作业：1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为A.48?C.36?B.48?D.36?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）3.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）104.(2012?湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()5.如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()6.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为(A．22C.3)B．4D．2题型四：立体几何的表面积和体积例5：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16?B.20?C.24?D.32?例6：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个9球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.8例7：已知在三棱锥锥的外接球半径。中，，，，求该棱11变式题组：1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为2.已知三棱锥的四个顶点都在球,求球的体积。的球面上，且，，.，3.在矩形ABCD中，AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125??A.B.129课后作业：C.125?6D.125?31.正四棱锥S?ABCD，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.2.求半径R的球的内接正四棱柱的体积最大值。3.正三棱锥底面边长为1，侧棱长为124.某元素单晶体为简单几何体，只有三角形和八边形两种晶面，共有24个顶点，以每个顶点为端点均有三条棱，试计算该晶体为几个三角形晶面。5.已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正?），球体积相等，则表面积的大小关系。题型五截面问题例8：1、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。13变式题组：1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________．3.如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．课后作业：1.下列三个命题，其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．2.如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2))有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)．考点六几何体的展开与折叠例9：如图所示，长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,5cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？变式题组：1.(2009年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．2.有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？14课后作业：1.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥。2.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是2.3.如图所示，正△ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）∠MNP等于多少度？60°（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？94基础巩固1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④C．①③④2．有下列四个命题：B．①②③D．①②④①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是(A．1B．2)C．315D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形)6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A．2＋3C．2＋23B．1＋3D．4＋17．(2012?昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1，2则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．168．(2013?安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．12．(2012?四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．17培优练习1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为(A．23C.3)B．3D．42．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为2M，N分别是2a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．184.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是(A．1B.322)C.2D.35．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________．6．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．19第二章点、直线、平面之间的位置关系第一节平面的定义和基本性质一．知识点精讲：1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母?、?、?等表示，如平面?、平面?；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A?l,B?l,A??,B???l??公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等.推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的角相等.注意：（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合二典例解析20题型1：共线、共点和共面问题例1．如图所示，平面ABD?平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形。试证明三直线BD、MQ、NP共点。变式题组：1.在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于点P，那么A.P?ACB.P?BDC.P?ABD.P?CD2．下列推理中，错误的个数为①A?l,A??,B?l,B???l??；②A??,A??,B??,B???????AB；③l??,A?l?A??；④A,B,C??,A,B,C??且A、B、C不共线??与β重合。（）（）A、0个B、1个C、2个D、3个3．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能4．判断下列命题的真假:(1)如果平面?与平面?相交,那么它们只有有限个公共点；(2)过一条直线的平面有无数多个；(3)两个平面的交线可能是一条线段；(4)两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；(5)经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是5．在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.21课后作业：1．若A表示点，a表示直线，α、β表示平面，则下列各项中，表述错误的是（A、a?α，A∈a?A∈αB、a?α，A∈a?A?αC、A∈α，A∈β，α∩β=a?A∈aD、A?a,A???a??）2．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是（）A、四点中必有三点共线B、四点中必有三点不共线C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行D、直线AB与CD必相交3.四面体每相对两棱中点连一直线,则此三条直线()A.互不相交B.至多有两条直线相交C.三线相交于一点D.两两相交有三个交点4给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l?α，A∈l，则A?α④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是_____5长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_______6在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件7．画出满足下列条件的图形.(1)α∩β=1，a?α，b?β，a∩b=A(2)α∩β=a，b?β，b∥a8．已知△ABC三边所在直线分别与平面?交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。.9．在正方体ABCD―A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB、BC的中点，试判断截面MNC1A1的形状________________。22第二节空间中直线的位置关系一知识点精讲1．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线――有且仅有一个公共点；平行直线――在同一平面内，没有公共点；异面直线――不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：?ab（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：A??,B??,a??,B?a?AB与a是异面直线。2两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直且相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线.．．．．．理解：和异面直线都垂直的直线有无数条，公垂线只有一条.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．计算方法：①几何法；②向量法3求异面直线a,b所成的角定义：过任一点o作a//a?，b//b?,直线a?,b?所成的锐角或直角就是异面直线a,b所成的角4求异面直线所成的角的方法（1）一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角?，构造一个含?的三角形，解三角形即可。（2）补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角?。（3）通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,，向量所成的角范围是[0,?]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2二典例解析题型一：异面直线所成的角23?例1如图，在Rt△AOB中，?OAB?π，斜边AB?4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴6旋转得到，且二面角B?AO?C的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD?平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．变式题组：1.长方体ABCD―A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a&b，求：（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值.1（A2．已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成600角的直线有()条A．1B．23.与两条异面直线a,b都成350,700,C．3800的直线有多少条?D．4244.与两条异面直线a,b都成?角的直线有(1)一条(2)二条(3)三条(4)四条时求?的取值范围？题型二求异面直线间的距离例1已知三棱锥S?ABC，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.例2．如图，已知正方体ＡＢＣＤ－A1B1C1D1棱长为a，求异面直线ＢＤ与B1Ｃ的距离．变式题组：1.长方体ABCD―A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a&b，求：下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.25课后作业1.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF?，则下列结论中错误的是（2）A.AC?BEB.B.EF//平面ABCDC.C.三棱锥A?BEF的体积为定值D.D.异面直线AE,BF所成的角为定值2．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a?M，b?M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥MD．若a⊥M，a∥N，则M⊥N3．如图所示，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.（Ⅰ）求截面EAC的面积；（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；4．图9―12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.5．如图9―1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°图9―126第三节空间中直线和平面平行一、知识点精讲1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；特殊相交：垂直（3）直线和平面平行（没有公共点）――用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a???A，a//?。aa??2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：a??,b??,a//b?a//?3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：a//?,a??,????b?a//b．?b4直线和平面平行证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。○二典例解析：题型一直线和平面平行定理的应用例1．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。27
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