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已知函数f(x)=x+2a2x-alnx&&(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）因为f（x）=x+2a2x-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-2a2x2-ax=x2-ax-2a2x2=(x+a)(x-2a)x2，①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．（2）当a=1时，f（x）=x+2x-lnx(x＞0)．由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3-ln2．因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，即2b≥x+1x对于任意x∈[1，e]恒成立，因为函数y=x+1x的导数y′=1-1x2≥0在[1，e]上恒成立，所以函数y=x+1x在[1，e]上单调递增，所以(x+1x)max=e+1e，所以2b≥e+1e，所以b≥e2+12e，故实数b的取值范围为[e2+12e，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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与“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（..”考查相似的试题有：
406105468513796147251747495941408013已知函数f（x）=x2-alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x-a在区间（0，1]内是减函数．（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x＞0时，方程f（x）-g（x）=x2-2x+3有唯一解；（3）当b＞-1时，若f（x）≥2bx-2在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．【考点】；．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】根据子的义，a应满足，解这个不式可．【解答】解：∵?B∴解得：2≤≤4．故选：【点评】考查子集定义，可利用数轴更形象集A点处的取值．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zlzhan老师　难度：0.30真题：6组卷：598
解析质量好中差
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已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（2）设F（x）=f(x)，x＜1g(x)，x≥1若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，．由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．从而a≤x2-2xx-lnx恒成立，a≤（x2-2xx-lnx）min． …（4分）设t（x）=x2-2xx-lnx，x∈[1，e]，求导，得t′（x）=(x-1)(x+2-lnx)(x-lnx)2．…（6分）x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分）（2）F（x）=-x3+x2，x＜1alnx，&&&x≥1，设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点．假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，则OPoOQ＜0，若t≤-1，P（t，-t3+t2），Q（-t，aln（-t）），OPoOQ=-t2+aln（-t）（-t3+t2），由于OPoOQ＜0恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立．当t＜-1时，a＜1(1-t)ln(-t)恒成立．由于1(1-t)ln(-t)＞0，所以a≤0．（12分）若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t3+t2），Q（-t，t3+t2），则OPoOQ=-t2+（-t3+t2）（t3+t2）＜0，t4-t2+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分）③当t≥1时，同①可得a≤0．综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．&&…（16分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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与“已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有..”考查相似的试题有：
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1.75亿学生的选择
已知函数f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，g（x）=（a∈R）．（1）a＜0时，求f（x）的极小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．
（1）因为f′（x）=2x+（2a-1）-=．当a＜-时，在（0，）以及（-a，+∞）上f′（x）＞0，在（，-a）上，f′（x）＜0所以：f（x）在（0，）上递增；在（，-a）上递减，在（-a，+∞）上递增，所以f（x）极小值=f（-a）=-a2+a-aln（-a）．当a＞-时，同理可得f（x）在（0，-a）上递），在（-a，）上递减，在（，+∞）递增，所以：f（x）极小值=f（）=a--aln2．当a=-时，f′（x）≥0恒成立，此时无极小值．（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，即为f（x）=g（x）在x∈[1，3]上有两个不同的根=>2+(2a-1)x+4x=0在x∈[1，3]上有两个不同的根．令F（x）=x2+（2a-1）x+，要使函数在x∈[1，3]上有两个不同的根，须满足=>=>-＜a＜-1．故a的取值范围是：-＜a＜-1．
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（1）先求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）把问题转化为2+(2a-1)x+4x=0在x∈[1，3]上有两个不同的根；再结合根的分布即可得到结论．
本题考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评：
本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
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1.75亿学生的选择
已知函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,当a=1时,（1）求函数f(x)的单调增区间（2）求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值；（3）设g(x)=(1-a)x,若存在x0属于[1/e,e],使得f(x0)>=g(x0)成立,求实数a的取值范围
cdrocln017
（1）[f'[x] >= 0f'[x] < 0单调增、 单调减区间分别为 0 < x = 1； x < 0 || 1/2 < x < 1（2）由（1）可知,[1,e]上函数图象单调增fmin = f[1]=-2fmax = f[E]=1 - 3 e+ e^2(3)化简得a>=(4 x - x^2 - Log[x])/x,即是求不等号右侧表达式在区间[1/e,e]上的最大值.求解结果是在1/e点出取得最大值：e-1/e+4,因此a>=e-1/e+4
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令x2-（a+2）x+alnx≥0在[1e，e]上有解．即x2-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[1e，e]上为正数∴问题转化为a≤x2-2xx-lnx在[1e，e]上有解令h（x）=x2-2xx-lnx，下求此函数在[1e，e]的最大值由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调...
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