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数学中的几个经典问题
上传: 赵赟洁 &&&&更新时间： 19:56:46
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哥尼斯堡七桥问题
伟大的数学家欧拉在1736年发表图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡城中有一条叫普雷格尔的河，该河中有两个岛，河上有七座桥。当时那里的居民热衷于这样的问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点。1736年欧拉将此问题归结为如图所示图形的一笔划问题。即能否从某一点开始一笔划出这个图形，最后回到原点，而不重复。这是不可能的，因为图中的每个点都只与奇数条现象关联，不可能将这个图不重复的一笔画成。
数学经典问题&希尔伯特23个数学问题
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲 演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的 数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关， 对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问 题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数 学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。 希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题 是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统 假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与zf集合论 公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（p.choen）证明连续统假设与zf 公理彼此独立。因而，连续统假设不能用zf公理加以证明。在这个意义下，问题已 获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义 计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨 （g.gentaen，）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体， 使这两组四面体彼此全等德思（m.dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年， 苏联数学家波格列洛夫（pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年， 由格里森（gleason）、蒙哥马利（montgomery）、齐宾（zippin）共同解决。1953 年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论 方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果&是代数数，&是无理数的代数数，那么&&一定是超越数或至少是无 理数（例如，2&2和e&）。苏联的盖尔封特（gelfond）1929年、德国的施奈德 （schneider）及西格尔（siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数 理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（riemann）猜想、哥德巴 赫（goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪 生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（e.artin）各自给以基本解决。 而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程 可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（davis）、普特南（putnan）、罗宾逊 （robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（baker）、费罗斯（philos）对含 两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一 般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品， 其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（hasse）和西格尔（siegel）在20年代获重要结果。60年代，法 国数学家魏依（a.weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零 星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数 能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德 （arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式&hi(& i(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和&i为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2， x3)可写成形式&hi(&i1(x1)+&i2(x2)+&i3(x3))(i=1--7)这里hi和&i为连续实 函数，&ij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（vituskin）推广到连续可 微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域k上的以x1,x2,&,xn为自变量的多项式fi（i=1,&，m），r为k［x1，&，xm] 上的有理函数f（x1，&，xm）构成的环，并且f（f1，&，fm）&k[x1，&，xm] 试问r是否可由有限个元素f1，&，fn的多项式生成？这个与代数不变量问题有关 的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
注一舒伯特（schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相 交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。 现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今 仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备 dx/dy=y/x的极限环的最多个数n（n）和相对位置，其中x、y是x、y的n次多项式。 对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到n(2)&1；1952年鲍廷得到n(2) &3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布n(2)&3，这个曾震动一时的结果，由于其中 的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证 明了（e2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方 程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指 导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证 明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微 分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数f(x1,&，xn)对任意数组（x1，&,xn）都恒大于或等于0，确定f 是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫（bieberbach）1910年，莱因哈特（reinhart）1928年作出 部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已 解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（h.rohrl） 于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（deligne）作出了出色贡 献。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（p.koebe）对一个变量情形已解决 而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
数学经典问题&商高定理
若一直角形的两股为a，b斜边为c，则有a2+b2=c2。我们都很熟悉这个性质，人 们相信是毕达格拉斯〈约公元前560年~公元前480发现的，因此把它叫做毕氏定 理。毕氏定理也可以用几何的形式来解释，那就是直角三角形直角边上的两个正方 形的面积和等於斜边上正方形的面积。如下图所示：
传闻这个定理有一个绰号叫&新娘图&，又有人称为&新娘的椅子&，可能是从 其几何图形得到的敏感吧！
中国在商高时代(公元前1100年)就已经知道&勾三股四弦五&的关系，远早於毕 达格拉斯，因此有人主张毕氏定理应该称呼为商高定理，但普遍性的定理则在陈子 时代(公元前6﹑7世纪)，而提出定理的证明则首推赵君卿(见周髀的赵君卿注)。赵 氏是三世纪的人，现在这个定理普通称为勾股弦定理或勾股定理。
毕达格拉斯曾提一组勾股数的正数数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特 点是斜边与其中一股的差为1。柏拉图也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1， 此时斜边与其中一股之差为2。但他们都不是方程式a2+b2=c2的所有解，全部解 的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m&n）是互质且一奇一偶的任 意正整数。
数学经典问题&几何的三大问题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线 的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边 形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之 中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是 :
1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2.三等分任意角；
3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知 圆的半径为1则其面积为&(1)2=&，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积 为&，也就是用尺规做出长度为&1/2的线段（或者是&的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难， 但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽 正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆 周角为360。/18=20。）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起 来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神 话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边 长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆 规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837 年旺策尔(wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年 林得曼（linderman）也证明了&的超越性（即&不为任何整数系数多次式的根）， 化圆为方的不可能性也得以确立。
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一．认真思考，谨慎填空． 1．3分=______秒4吨=______千克5分米=______厘米600毫米=______厘米2800米-800米=______千米7千米+300米=______米 2．计算1258，积的末尾一共有______个0． 3．一个正方形的广场
一、填空 1．一个由3个十，4个十分之一组成的数是______． 2．2.5公顷=______平方米； 1小时15分=______分； 738平方厘米=______平方分米______平方厘米； 3.25小时=______小时______分； 0.51千克=______
一、认真审题，细心填空．（21分） 1．大冈小学上学期六年级毕业学生320人，记作-320人，新学期招收一年级新生340人，记作______人． 2．如果向西走100米记作-100米，那么+200米表示______． 3．3.281.43