如图，在三角形abc中 ab ac，EF是AC的垂...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-25 04:15 标签： 三角形abc中 ab ac
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＞＞＞如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的..
如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面EFB，连接A1B，A1P．（如图2）（Ⅰ）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF；（Ⅱ）求证：A1E⊥EP．
题型：解答题难度：中档来源：东城区一模
证明：（Ⅰ）取A1E中点M，连接QM，MF．在△A1BE中，Q，M分别为A1B，A1E的中点，所以QM∥BE，且QM=12BE．因为CFFA=CPPB=12，所以PF∥BE，且PF=12BE，所以QM∥PF，且QM=PF．所以四边形PQMF为平行四边形．所以PQ∥FM．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（5分）又因为FM?平面A1EF，且PQ?平面A1EF，所以PQ∥平面A1EF．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（7分）（Ⅱ）&取BE中点D，连接DF．因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD．所以在图2中有A1E⊥EF．…（9分）因为平面A1EF⊥平面EFB，平面A1EF∩平面EFB=EF，所以A1E⊥平面BEF．…（12分）又EP?平面BEF，所以A1E⊥EP．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．
发现相似题
与“如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的..”考查相似的试题有：
398055628668276566249754252690261715如图6,在三角形ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,F在AB上,且AE=AF.求证：EF垂直于BC_百度作业帮
如图6,在三角形ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,F在AB上,且AE=AF.求证：EF垂直于BC
过A作AH⊥BC于H,∵AB=AC,∴∠HAB=∠HAC,∴∠BAC=2∠HAC,∵AE=AF,∴∠E=∠AFE,∵∠BAC是ΔAEF的外角,∴∠BAC=∠E+∠AFE=2∠E,∴∠E=∠HAC,∴EF∥AH,∴EF⊥BC.如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,CA=CB,CD垂直AB,垂足是D,E是AB上一点,EF垂直AC,垂足是F,G是BC上一点，_百度知道
如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,CA=CB,CD垂直AB,垂足是D,E是AB上一点,EF垂直AC,垂足是F,G是BC上一点，
接上面：CG=EF，求证△DFG是等腰直角三角形
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所以D为AB中点，DF=DG，∠A=45所以∠AEF=∠A=45：∠ACB=90，△ABC为等腰三角形，AF=EF=CG在△DAF和△DCG中AD=CD∠DAF=∠DCG=45AF=CG所以△DAF≌△DCG，且∠DCB=∠DCA=45CD为斜边AB上中线，CD=ADEF⊥AC证明，且AC=BC所以∠A=∠B=45CD⊥AB
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出门在外也不愁如图,在三角形ABC中,角BAC=90度.AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点（不与B ,C重合）,Ef垂直AB,EG当AB=AC时,三角形DfG 为等腰直角三角形吗?请说明理由如图，在三角形ABC中，角BAC=90度。AD是BC边上的高，E是BC边上的一个_百度作业帮
如图,在三角形ABC中,角BAC=90度.AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点（不与B ,C重合）,Ef垂直AB,EG当AB=AC时,三角形DfG 为等腰直角三角形吗?请说明理由如图，在三角形ABC中，角BAC=90度。AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B ,C重合），Ef垂直AB，EG垂直AC，垂足分别为f,G .
三角形DFG&为等腰直角三角形.现证明如下：因为AB=AC,∠BAC=90°,所以△ABC为等腰直角三角形.∠C=∠B=45°又因为AD是BC边上的高,由等腰三角形“三线合一”性质,D是BC的中点.所以CD=DB=AD.因为EG⊥AC,EF⊥AB,∠BAC=90°得：四边形EGAF为矩形,所以CG=AF.由∠CGE=90°,∠CEG=45°=∠C,所以△CGE为等腰直角三角形.所以CG=EG所以CG=AF..又因为∠DAB=∠B=45°.综合条件：CD=AD,∠DAB=∠C=45°,CG=AF,所以△CGD≌△AFD.所以GD=FD.∠CGD=∠AFD,又因为∠CGD+∠DGA=180°,即∠AFD+∠DGA=180°.所以∠GDF=360°-∠BAC-∠AGD-∠AFD=90°.综合条件：∠GDF=90°,GD=FD,所以△DFG&为等腰直角三角形.
当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AD=DC．∵△AFD∽△CGD，∴FD/GD=AD/DC=1∴FD=DG．∵∠FDG=90°，∴△FDG为等腰直角三角形
这图不对呀

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