已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=，对于任意非零实数x，总有f（x）＞2．且对于任意实数x、y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．（1）求f（0）的值，并证明f（x）为偶函数；（2）若数列{an}满足，an=f（n），判断an+1和an的大小关系，并证明你的结论；（3）设有理数a，b满足|a|＜|b|，判断f（a）和f（b）的大小关系，并证明你的结论．查看本题解析需要登录您可以：（1）免费查看更多试题解析（2）查阅百万海量试题和试卷推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x）＞2011，设M、N分别为f（x）在[-]的最大值与最小值，则M+N的值为（　　）A．4022B．4024C．2011D．2012考点：．专题：．分析：将f（x+y）=f（x）+f（y）-2011变形为f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，令x＞0，结合“当x＞0时，有f（x）＞2011”分析可得，f（x）在[-]上为增函数，则有M=f（2011），N=f（-2011）；在f（x+y）=f（x）+f（y）-2011中，令x=y=0可得，f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（2011）+f（-2011）=4022，又由M=f（2011），N=f（-2011），代换可得答案．解答：解：根据题意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011=>f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，当x＞0时，有（x+y）-y＞0，此时f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，则f（x）在[-]上为增函数，故M=f（2011），N=f（-2011）；对于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，即f（2011）+f（-2011）=f（0）+，又由M=f（2011），N=f（-2011），则M+N=4022，故选A．点评：本题考查抽象函数的运用，解此类题目一般用特殊值法，解本题关键要判断出f（x）的单调性，进而得到M、N的值．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
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已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，（1）求f（0）．（2）判断函数的奇偶性，并证明之．（3）解不等式f（a2-4）+f（2a+1）＜0．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）取x=y=0则f（0）=2f（0）∴f（0）=0（2）f（x）是奇函数．其证明如下：对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）∴f（x）是R上的奇函数（3）任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2=x1+△x（其中△x＞0）∴f（x2）=f（x1+△x）=f（x1）+f（△x）∴f（x2）-f（x1）=f（△x）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）是R上的增函数又∵f（a2-4）+f（2a+1）＜0∴f（2a+1）＜-f（a2-4）=f（4-a2）∴2a+1＜4-a2即a2+2a-3＜0∴-3＜a＜1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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分段函数与抽象函数
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（..”考查相似的试题有：
246276774089843962819376810656811395当前位置：
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定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy& ②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）ocosx的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．（2）令y=π2，得f(x+π2)+f(x-π2)=2f(x)cosπ2=0令x=π2，y=x，得f(x+π2)+f(π2-x)=2f(π2)cosx=2cosx由（1），f（x）是奇函数，f(x-π2)+f(π2-x)=0两式相加：2f(x+π2)=2cosx∴f(x)=cos(π2-x)=sinx（3）即求y=sinα+cosα+sinαocosα的最大值设sinα+cosα=t=2sin(x+π4)，则t∈[-2，2]，且t2=（sinα+cosα）2=1+2sinαocosα，即sinαocosα=t2-12∴y=t+t2-12=12t2+t-12，t∈[-2，2]∴t=2时，ymax=2+12
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据魔方格专家权威分析，试题“定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，二次函数的性质及应用，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性二次函数的性质及应用函数解析式的求解及其常用方法
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
发现相似题
与“定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..”考查相似的试题有：
556320864498552862556375627245519192&& 定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log 23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（ko
定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log
23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（ko3
x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
A、（-1，-1+2
B、（-∞，-1+2
C、（-∞，-1）
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解：令x=y=0，得出f（0）=2f（0）=>f（0）=0． 又根据f（3）=log 23＞0=f（0），f（x）是R上的单调函数进一步确定出f（x）是R上的单调递增函数． 因此f（ko3 x）+f（3 x-9 x-2）=f（ko3 x+3 x-9 x-2）＜0=f（0）ko3 x+3 x-9 x-2＜0k＜3 x+
-1， 根据基本不等式得到3 x+
-1，当且仅当3 x=
log32时取等号， 因此k＜3 x+
-1对任意x∈R恒成立k＜3 x+
-1的最小值，即k＜-1+ 2
． 故选B．
翰林院侍讲
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