证明：g(x)=sin1/x在其arctanx的定义域域...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-08 01:55 标签： 根号x的定义域
盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试 题及答案(WORD)_百度文库
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盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试 题及答案(WORD)
盐​城​市05​届​高​三​年​级​第​三​次​模​拟​考​试​数​学​试​ ​题​及​答​案​(​W​O​R​D​)
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已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（ I）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；（ II）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：2＜ln2．．
（ I）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．∴F（x）=ax-lnx，则 F′（x）=a-，∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，∴F′（1）=0，∴a-1=0，解得a=1；（ II）∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+，只要G′（x）＞0在区间（0，1）上大于0，∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+＞0，∴a＜，求的最小值即可，求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，∴h（x）在（0，1）增函数，h（x）＜h（1）=1，∴的最小值为1，∴a≤1；（Ⅲ）∵0＜2＜1，∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，∴2=sin2+sin3+…+sin2≤2+3+…+2＜+++++…+=-＜＜ln2，∴2＜ln2；
本题考点：
函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
问题解析：
（I）根据已知条件函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，可得F′（1）=0，得出等式，求出a值；（II）因为函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；（Ⅲ）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对nk＝1sin1(k+1)2从第三项开始进行放缩，然后进行证明；

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