（3）如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD在△ABD中：AD2=AB2－BD2在△ACD中：AD2=AC2－CD2AB2－BD2= AC2－CD2c2－(+CD)2= b2－CD2∴∵&0，CD&0∴，所以：&&&&&二、当∠C为钝角时，；&&&&当∠B为钝角时，。
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科目：初中数学
题型：阅读理解
一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC-CD=a-CD在△ABD中：AD2=AB2-BD2在△ACD中：AD2=AC2-CD2AB2-BD2=AC2-CD2c2-（a-CD）2=b2-CD2∴a2+b2-c2=2a•CD∵a＞0，CD＞0∴a2+b2-c2＞0，所以：a2+b2＞c2（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
科目：初中数学
来源：学年浙江省八里店二中九年级下学期期中考试数学试卷（带解析）
题型：解答题
一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则；（2）若∠C为为锐角，则与的关系为：（3）若∠C为钝角，试推导的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
科目：初中数学
来源：2013届浙江省九年级下学期期中考试数学试卷（解析版）
题型：解答题
一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则；
（2）若∠C为为锐角，则与的关系为：
（3）若∠C为钝角，试推导的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
科目：初中数学
来源：学年江苏省淮安市中考模拟试卷2数学试卷（解析版）
题型：解答题
一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则；
（2）若∠C为为锐角，则与的关系为：
证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC－CD=a－CD
在△ABD中：AD2=AB2－BD2
在△ACD中：AD2=AC2－CD2
AB2－BD2= AC2－CD2
c2－(－CD)2= b2－CD2
∵&0，CD&0
∴，所以：
（3）若∠C为钝角，试推导的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．当前位置：
＞＞＞如图，在△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求..
如图，在△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP=2PQ
题型：证明题难度：中档来源：专项题
证明：∵△ABC是等边三角形&&&&&&&&&& ∴AB=AC=BC&& （等边三角形的各边都相等）& &&&&&&&&&&&&&& ∠ACB=∠ABC=60°& （等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°）&&&&&&&&&&&& 又∵AE=CD&&&&&&&&& ∴BD=CE&&&&&&&&& 在△ABD与△BCE中 BD=CE& ∠ACB=∠ABC& AB=BC&&&&&&&&&& ∴△ABD≌△BCE&& （两边及夹角对应相等的两个三角形全等）&&&&&&&&&& ∴∠BAD=∠CBE&&& （全等三角形的对应角相等）&&&&&&&&&&& ∴∠PBA+∠BAP=∠CBA=60°&&&&&&&&&& 又∵∠BPQ=∠APE ∠APE是△ABP的外角&&&&&&&&&&&& ∴∠BPQ=∠APE=∠PBA+∠BAP=60°&&&&&&&&&&&&&& &在Rt△BPQ中∠BPQ=60°&&&&&&&&&&&&& ∴∠PBQ=30°&&&&&&&&&&&&&∴BP=2PQ（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求..”主要考查你对&&全等三角形的性质，直角三角形的性质及判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
全等三角形的性质直角三角形的性质及判定
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则&&& BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
发现相似题
与“如图，在△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求..”考查相似的试题有：
9133369397014832193690119303203396在三角形ABC中,已知BC=2,CA=3,AB=4,求AB边上的中线CM的长度
文爷君漞嵟櫞
延长CM到D,使MD=CM,再连结AD.　　因为　在三角形ABC中,AB=4,CA=3,BC=2,　　所以　由余弦定理可得：cosACB=(CA^2+BC^2--AB^2)/2XCAXBC=(3^2+2^2--4^2)/2X3X2=--1/4,因为　CM是AB边上的中线,　　所以　AM=BM,　又因为　MD=CM,角AMD=角BMC,　　所以　三角形AMD全等于三角形BMC,　　所以　角DAM=角B,AD=BC=2,　　所以　AD//BC,　　所以　角DAC+角ACB=180度,　　因为　cosACB=--1/4,所以　cosDAC=cos(180度--角ACB)=--cosACB=1/4,所以　在三角形ACD中,又由余弦定理可得：　　　　　CD^2=AD^2+CA^2--2XADXCAXcosDAC=2^2+3^2--2X2X3X(1/4)=10CD=根号10　　因为　MD=CM,M是CD的中点,　　所以　CM=CD/2=(根号10)/2.
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扫描下载二维码2tanC=3tanB
2sinCsinAcosB=6sinBsinCcosA--->2tanA=6tanB
--->tanA=2tanC=3tanB
--->tanA/6=tanC/3=tanB/2
--->tanA:tanB:tanC=6:2:3.
设tanA=6k,tanB=2k,tanC=3k
tan(B+C)=-tanA
--->(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=-tanA
--->(2k+3k)/(1-2k*3k)=-6k
--->5/(1-6k^2)=-6
--->k^2=11/36
--->k=√11/6
在三角形ABC中，若AB·BC/3=BC·CA/2=CA·AB/1,则依数性积定义
(|AB|*|BC|cosB)/3=(|BC|*|CA|*cosC)/2=|CA|*|AB|cosA
依正弦定理有|AB|=2RsinC,|BC|=2RsinA,|CA|=2RsinB，于是
2sinCsinAcosB=3sinAsinBcosC=6sinBsinCcosA
2sinCsinAcosB=3sinAsinBcosC--->2tanC=3tanB
2sinCsinAcosB=6sinBsinCcosA--->2tanA=6tanB
--->tanA=2tanC=3tanB
--->tanA/6=tanC/3=tanB/2
--->tanA:tanB:tanC=6:2:3.
设tanA=6k,tanB=2k,tanC=3k
tan(B+C)=-tanA
--->(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=-tanA
--->(2k+3k)/(1-2k*3k)=-6k
--->5/(1-6k^2)=-6
--->k^2=11/36
--->k=√11/6 已经舍去负根
--->tanA=6k=√11.
AB·BC/3=BC·CA/2=CA·AB/1,
依向量数性积的定义
---&AB*BCcosB/3=BC*CAcosC/2=CA*ABcosA
依正弦定...
AB向量.BC向量+BC向量.CA向量+CA向量.AB向量
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display: 'inlay-fix'在△ABC中,设向量BC乘向量CA=向量CA乘向量AB在三角形ABC中，设向量BC乘向量CA等于向量CA乘向量AB求证:三角形ABC为等腰三角形若向量BA加向量BC的模等于2，且B属于60到120度，求向量BA乘向量BC的取值范围范围是负二分之一到三分之二，
枫默管管h30
1.向量BC乘向量CA等于向量CA乘向量AB,BC•CA=CA•AB,BC•CA -CA•AB =0,CA•(BC- AB) =0,(CB+BA) •(BC- AB) =0,(-BC-AB)•(BC- AB) =0,即-(BC+AB)•(BC- AB) =0,所以-( BC²- AB²)=0,BC²= AB²,∴|BC|=|AB|,所以三角形ABC为等腰三角形.2.设|BC|=|AB|=a,｜BC+BA｜=2,平方得：BC²+BA²+2 BC• BA=4,即a²+ a²+2 a² cosB=4,所以2 a²(1+ cosB)=4,∴a²＝2/（cos∠B+1）.BA•BC＝a²cosB＝2cosB/（cos∠B+1）＝2-2/（cos∠B+1）∵∠B∈[π/3,2π/3] -1/2≤ cos∠B≤1/2.1/2≤cos∠B+1≤3/2 2/3≤1/（cos∠B+1）≤2-4≤-2/（cos∠B+1）≤-4/3 -2≤2-2/（cos∠B+1）≤2/3∴BA•BC∈[-2,2/3]
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