如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．
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证明：如图，延长CE、BA交于F．∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°，∴∠1=∠2，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=EC，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，∴∠FAC=90°=∠BAC∵CE⊥BD，∴∠ACF=∠1，在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE．
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延长CE、BA交于F，根据角边角定理，证明△BEF≌△BEC，进而得到CF=2CE的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF≌△ABD，得到BD=CF，至此问题得解．
本题考点：
全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查全等三角形的判定与性质．解决本题主要是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．
扫描下载二维码在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．（1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变．①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．【考点】；；；；．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）本题可通过构建三角形，通过证全等来得出AE与CF相等的关系，连接OA，那么只要证明三角形AEO和OFC全等即可，根据ASA可得出三角形AEO和OFC全等；（2）①本题可通过证△BEO∽△COF相似，得出关于x，y的比例关系，然后得出x，y的关系式；②可根据①中得出的式子求x的值，注意要分三种情况进行讨论．【解答】解：（1）线段AE与CF之间有相等关系．证明：连接AO．如图2，∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，∴∠EOA=∠FOC．∴△EOA≌△FOC，∴AE=CF．（2）①连接AO．如图4，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠B=45°，∴∠BEO+∠EOB=135°，∵∠EOF=45°，∴∠FOC+∠EOB=135°，∴∠FOC=∠BEO，∴△BEO∽△COF，∴．在Rt△ABC中，BC=2+AC2=4+4=2，点O为BC的中点，∴BO=OC=．∵BE=x，CF=y，∴，即xy=2，∴．取值范围是：1≤x≤2．②△OEF能构成等腰三角形．当F与A重合时，x=1，此时OE=EA（或OE=EF）；当E与A重合时，此时x=2，AF=OF（或EF=OF）；当E、F分别在A点的两边时，x=，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．【点评】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点．要注意的是旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：MMCH老师　难度：0.31真题：17组卷：104
解析质量好中差
&&&&，V2.19883问题分类：初中英语初中化学初中语文
当前位置： >
已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E，F在BC上，点D，G分别在AB，AC上，（1）如图1，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3求正方形的边长（2）如图2，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．
悬赏雨点：14 学科：【】
（1）∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3∴BC═5∴AH═AB×AC÷BC═2.4 设EH═DG═a则AI═2.4-a．∵四边形DEFG为正方形 ∴DG∥BC∴∠ADG═∠B ∠AGD═∠C∴△ADG≌△ABC∴AI÷AH═DG÷BC∴（2.4-a）÷2.4═a÷5解得：a═60\37∴正方形的边长为60\37
&&获得：14雨点
（1）依题意得：正方形的各顶点为点A，点D在AB上，点E在BC上，点F在AC上，然后用两角相等证明△BDE∽△BAC，所以得到=，等量代换得=，解得AD=，所以正方形的边长为（2）图片呢？
（1）如图：设正方形边长为a∵Rt△ABC ，&∠A=90°，AB=4，AC=3∴BC=5& 可证△ADE∽△ABC∴BE：AB=DE：AC& 即：BE=AB?DE/AC=4/3a& 可证△CFG∽△ABC∴CF：AC=FG：AB& 即：CF=AC?FG/AB=3/4a∴BC=BE+EF+CF=4/3a+3/4a+a=5& 解得：a=60/37∴正方形的边长为60/37
（2）如图，过A作AH⊥BC，交DG于I，设DG=DE=EF=FG=a ，AI=b∵S△ADG=1/2DG?AI=1/2ab=1& S△BDE=1/2BE?DG=1/2a?BE=3& S△CFG=1/2CF?GF=1/2a?CF=1∴BE=3b ， CF=b∴S△ADG+S△BDE+S△CFG=1/2ab+3/2ab+1/2ab=5/2ab=1+3+1=5∴ab=2∴b=2/a①&& SDGFE=S△ABC-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）& & & & =1/2（BE+EF+CF）?（AI+IH）-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）& & & & =1/2（a+4b）（a+b）-5=a2∴a2=5ab+4b2-10=4b2∴a=2b②将①代入②得：a2=4解得：a=2∴正方形边长为2当前位置：
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（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB＝AC时，（如图13），① ∠EBF＝_______°；② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．&&
题型：解答题难度：中档来源：不详
解：（1）①22.5°…………………………2分证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H则∠GDB＝∠C&& ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°∴△DEB≌△DEG∵AB＝AC&& ∠A＝90°∴∠ABC＝∠C＝∠GDB∴HB＝HD∵∠DEB＝∠BHD＝90°&&& ∠BFE＝∠DFH∴∠EBF＝∠HDF∴△GBH≌△FDH∴GB＝FD…………………………6分（2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H又∵DG∥CA∴△BHD∽△BAC第二种解法：解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°∴∠ABC＝∠C＝45°∵∠EDB＝∠C∴∠EDB＝22.5°∵BE⊥DE∴∠EBD＝67.5°∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°②在△BEF和△DEB中∵∠E＝∠E＝90°∠EBF＝∠EDB＝22.5°∴△BEF∽△DEB如图：BG平分∠ABC，∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形设EF＝x，BE＝y，则：BG＝GD＝yFD＝y＋y－x∵△BEF∽△DEB∴ ＝即：＝得：x＝（－1）y∴FD＝y＋y－（－1）y＝2y∴FD＝2BE．（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，∵AB＝kAC∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝b利用角平分线的性质有：＝即：＝得：AG＝∵∠EDB＝∠ACB∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝∵∠EDB＝∠ACB ∠ABC＝90°－∠ACB∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB∴△BEF∽△DEB∴EF＝BEED＝BE＝EF＋FD∴FD＝BE－BE＝BE．∴ ＝．略
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据魔方格专家权威分析，试题“（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，..”主要考查你对&&相似多边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似多边形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形的应用
相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）判定:如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似相似多边形的性质：相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的应用：应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。
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