(1/2)已知二次函数y ax函数f(x)=x^2+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.若对x属于[-1.2] 不等式f(x)<3c恒成立求c

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-01-16 01:25 标签： ax bx
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f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c的两个极值分别为f(x1)f(x2)若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2),则(b-2)/(a-1)的范围
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α,β是三次函数f(x)= 1/3x^3+1/2ax^2+2bx 的两个极值点,那么：α,β是方程f‘(x)=x^2+ax+2b=0的两个根；由α∈(0,1)β∈(1,2）作出f’(x)的图像,根据图像,α∈(0,1)β∈(1,2）等价于：f'(0)>0,f'(1)
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解 f"(x)=x^2+ax+2b两个极值分别为f(x1)f(x2)则 x1,x2是0=x^2+ax+2b的两根x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2),所以x=1时x^2+ax+2b<0所1+a+2b<0画线性规划图知1+a+2b<0表示直线的下方所有点(b-2)/(a-1)表示上面区域内的点与点（1，2）连线的斜率的范围<...
f'=x^2+ax+2b有两个根x1,x2,两根之和-a,1<-a<3两根之积2b,0<2b<2综上，-4<a-1<-2,-2<b-2<-1也即：2<1-a<4,1<2-b<2所以1/4<(2-b)/(1-a)<1
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＞＞＞已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的..
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代数式表示）；（3）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f′（x）=3x2+2ax+b&&&&&&…1因为函数f（x）在x=-23和x=1取到极值，即f′（-23）=0，f′（1）=0．所以，f′（-23）=129-43a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0解得&a=-12，b=-2&&&&&&&&…3（2）由（1）可得f（x）=x3-12x2-2x+c
（-1，-23）
（-23，1）
2+c所以，在[-1，2]上&&fmin（x）=f（1）=-32+c，fmax（x）=f（2）=2+c…7（3）要使f（x）＜c2在x∈[-1，2]恒成立，只需fmax（x）＜c2，即2+c＜c2解得&c＜-1或c＞2&&&&&…10
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,曲线y=f(x) 在点x=1处的切线 为l：3x-y+1=0,若x=2/3 时,y=f(x) 有极值．(I) 求a、b、c的值；(II) 求 在[-3,1]上的最大值和最小值．
时先森丶GN65
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(I)由f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,得f'(x)=3x^2+2ax+b当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0． ①当x=2/3 时,y=f(x) 有极值,则f'(2/3)=0 可得4a+3b+4=0．②由①、②解得 a=2,b=-4由于切点的横坐标为x=1,∴ f(1)=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．(II)由(I)可得f(x)=x^3+2x^2-4x+5 ,∴f'(x)=3x^2+4x-4 令f'(x)=0 ,得x=－2,x=2/3 ．x [-3,-2) -2 (-2,2/3 ) 2/3 (2/3,1]f'(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．在x=2/3 处取得极小值f(2/3) =95/27 ．又f(-3)=8,f(1)=4∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为95/27
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