（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．


考点：
二次函数综合题．3718684

分析：
（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x2 x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．

解答：
（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x
）2 k，
∵点A（0，﹣3），B（
，
）在抛物线上，
∴
，
解得：a=1，k=
．
∴抛物线的解析式为：y=（x
）2
=x2 x﹣3．
（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．
∵P
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高一数学函数的零点
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你可能喜欢（2009o天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，则A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解．（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．
解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）将A、B、C三点的坐标代入得（2分）解得：（3分）所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3（3分）方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）（2分）将C点的坐标代入得：a=1（3分）所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3（3分）（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，-3）（4分）理由：易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3∴E点的坐标为（-3，0）（4分）由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，-3）（5分）方法二：易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3∴E点的坐标为（-3，0）（4分）∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合∴存在点F，坐标为（2，-3）（5分）（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得（6分）②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r），代入抛物线的表达式，解得（7分）∴圆的半径为或．（7分）（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．（8分）设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=（-x2+x+2）×3（9分）当x=时，△APG的面积最大此时P点的坐标为（，-），S△APG的最大值为．（10分）当前位置：
＞＞＞已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=..
已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0），设，（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点。
题型：解答题难度：偏难来源：广东省高考真题
解：（1）依题可设(a≠0)，则， 又g′（x）的图像与直线y=2x平行，∴2a=2，a=1， ∴，设，则，当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值，当m＞0时，；当m＜0时，；（2）由，得，（*）当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）-kx有一零点；当k≠1时，方程（*）有二解，若，函数y=f（x）-kx有两个零点；若，函数y=f（x）-kx有两个零点；当k≠1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）-kx有一零点；综上，当k=1时, 函数y=f（x）-kx有一零点；当时，函数y=f（x）-kx有两个零点；当时，函数y=f（x）-kx有一零点。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=..”主要考查你对&&函数零点的判定定理，导数的概念及其几何意义，两点间的距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数零点的判定定理导数的概念及其几何意义两点间的距离
&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．两点间的距离公式：
设，是平面直角坐标系中的两个点，则。特别地，原点O（0,0）与任意一点P（x,y）的距离为 两点间的距离公式的理解：
（1）在公式中，的位置是对称的，没有先后之分，即间的距离也可表示为 （2）
发现相似题
与“已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=..”考查相似的试题有：
332189246270248042296806251822287877当前位置：
＞＞＞已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，在x=t处取得最值，若y=..
已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，在x=t处取得最值，若y=g(x)为一次函数，且f(x)+g(x)=x2+2x-3 （1） 求y=f(x)的解析式；（2） 若x∈[-1，2]时，f(x)≥-1恒成立，求t的取值范围；
题型：解答题难度：中档来源：0129
解：(1) 设f(x)=a(x-t)2+b， 又因为f(x)+g(x)=x2+2x-3 所以a=1，即f(x)=(x-t)2+b ，又f(1)=2 代入得(1-t)2+b=2，得b= -t2+2t+1所以f(x)=x2-2tx+2t+1； (2)利用二次函数图象求函数f(x)在区间内的最小值，只需f(x)min≥-1即可。 ①当t≤-1时，f(x)min≥-1不成立， ②当-1&t&2时，f(x)min= -t2+2t+1-1得 ③当t≥2时，f(x)min=f(2)≥-1，得，∴综上t的取值范围是。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，在x=t处取得最值，若y=..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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与“已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，在x=t处取得最值，若y=..”考查相似的试题有：
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