已知二次函数y ax函数f(x)满足：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），则f(2010)=?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-01 03:50 标签： ax bx
已知函数f(x)满足：f(x)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R) 则f(2010)=?
由题意得,任意数带进去都满足原式.此类题目要先代入几组数找出规律4f(1)f(0)=f(1)+f(1）即f(0)=2f(1)=1/2找他的一般规律,设y=1则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1）即f（x）=f(x+1)+f(x-1）由已知的f(1)=1/4,f(0)=1/2算出f（1）=f(1+1)+f(0）即f（1）=f（2）+f（0）即f（2）=f（1）-f（0）=-1/4由以上原理可推知当x=0,1,2,3,4,5,6,7,8……时f（x)=1/2,1/4,-1/4,-1/2,-1/4,1/4,1/2,1/4,-1/4寻其中规律为分母以2,4,4为一周期循环,正负号除x=0,1外以-,-,-,+,+,+为一周期循环这样可推知f（2010）=1/2
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题目可能打错了，如果没打错就是题目出错了
扫描下载二维码已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（　　）A. B. C. D. 1
解法一：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）取x=1，y=0得f（0）=根据已知知f（1）=取x=1，y=1得f（2）=-取x=2，y=1得f（3）=-取x=2，y=2得f（4）=-取x=3，y=2得f（5）=-取x=3，y=3得f（6）= …猜想得周期为6∴f（2010）=f（0）=解法二：取x=1，y=0得f（0）=取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=-f（n-1）所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故选A
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由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．
本题考点：
抽象函数及其应用；函数的值．
考点点评：
准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．
根据题意可求得f(0)=1/2（令x=1,y=0代入）f(2)=4f(1)*f(1)-f(0)=f(1)-f(0)=-1/4f(3)=4*f(2)*f(1)-f(1)=f(2)-f(1)=-1/2f(4)=4*f(3)*f(1)-f(2)=f(3)-f(2)=-1/4f(5)=1/4 f(6)=1/2 f(7)=1/4 f(8)=-1/4f(9)=...
扫描下载二维码已知函数F（X）满足：F（1）=1/4,4F(x)f（y)=f(x+y)+f(x-y),求F（2010）=网上有这个类似的回答，但是还是不太详细。
令x=1,y=0得4f(1)f(0)=2f(1)f(0)=2*1/4=1/2再令 y=1得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)----①
f(x-1)=f(x)+f(x-2)----②①②相加得 f(x+1)+f(x-2)=0令A=x-3得到f(x－2)+f(x－5)=0又因为f(x-2)=－f(x+1)所以得到f(x－5)=f(x+1)1-(-5)=6即最小正周期为6因为2010能被6整除所以f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2
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令x = n, y = 1:4F(n) F(1) = F(n+1) + F(n-1)=>
F(n+1) = F(n) - F(n-1)=>
F(n+1) = (F(n-1) - F(n-2)) - F(n-1) (用上边的等式替换F(n))=>
F(n+1) = -F(n-2)=>
F(n) = -F(n-3) = F(n-6)因...
4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)=f(x)即f(x+1)-f(x)+f(x-1)=0x取x+1f(x+2)-f(x+1)+f(x)=0两式相加f(x+2)+f(x-1)=0，即f(x+3)=-f(x)即f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，说明周期为64f(1)f(0)=f(1)+f(1)，f(0)=1/2又，整除所以f(2010)=a=a=1/2
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＞＞＞设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（-1）的..
设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（-1）的值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∵f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；再令y=-x代入得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=4，∴f（1）=2，又f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）=-2．故答案为：-2．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（-1）的..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值分段函数与抽象函数
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（-1）的..”考查相似的试题有：
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