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设Sn为等差数列{an}的前n项的和，已知a1+a2+a6=15，S7≥49．（1）求a3及S5的值；&&&（2）求公差d的取值范围；&&&&（3）求证：S8≥64．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2+a6=a1+（a1+d）+（a1+5d）=15，∴3a1+6d=15，即a1+2d=5，∴a3=a1+2d=5，∴S5=5(a1+a5)&2=5a3=25；（2）由S7=7(a1+a7)&2=7a4≥49，得到a4≥7，即a4=a3+d=5+d≥7，解得：d≥2；（3）∵a4≥7，d≥2，∴S8=8(a1+a8)&2=4（a1+a8）=4（2a1+7d）=4[2（a1+3d）+d]=4（2a4+d）≥4（2×7+2）=64．则S8≥64．
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据魔方格专家权威分析，试题“设Sn为等差数列{an}的前n项的和，已知a1+a2+a6=15，S7≥49．（1）求a..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等差数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等差数列的前n项和
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等差数列的前n项和的公式：
（1），（2），（3），（4）当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列； （2）｛an｝有2k项时，＝kd； （3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平； 解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&
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这里有我收集的一些源自高考、模拟的数列题：再补充几道2009年-高考数学-江西卷理-22-数列各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对于满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q，都有(am+an)/((1+am)*(1+an))=(ap+aq)/((1+ap)*(1+aq))(1)当a=1/2，b=4/5时，求通项an；(2)证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有1/λ&=an&=λ.2007年-高考数学-广东卷理-21-数列已知函数f(x)=x^2+x-1，α、β是方程f(x)=0的两个根（α&β），f'(x)是f(x)的导数，设a1=1，a(n+1)=an-(f(an)/f'(an))（n=1,2,…）.(1)求α,β的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有an&α；(3)记bn=ln((an-β)/(an-α))（n=1,2,…）.求数列{bn}的前n项和Sn.2010年-高考数学-全国Ⅰ卷理-22-数列已知数列{an}中，a1=1，a(n+1)=c-1/an(1)设c=5/2，bn=1/(an-2)，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an&a(n+1)&3成立的c的取值范围.2006年-高考数学-江西卷理-22-数列已知数列{an}满足：a1=3/2，且an=(3*n*a(n-1))/(2*a(n-1)+n-1)（n&=2，n∈N*）.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，不等式a1*a2*…*an&2*n!恒成立.2011年-高考数学-广东卷理-20-数列设b&0，数列{an}满足a1=b，an=(n*b*a(n-1))/(a(n-1)+2n-2)（n&=2）.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an&=(b^(n+1))/(2^(n+1))+1.2011年-高考数学-江苏卷-20-数列设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M，当整数n&k时，S(n+k)+S(n-k)=2*(Sn+Sk)都成立.(1)设M={1}，a2=2，求a5的值；(2)设M={3,4}，求数列{an}的通项公式.2006年-高考数学-天津卷理-21-数列（改）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且x(n+1)/xn=λ*(xn/x(n-1))，y(n+1)/yn&=λ*(yn/y(n-1))（λ为非零参数，n=2,3,4,…）(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值；(2)当λ&0时，证明：x(n+1)/y(n+1)&=xn/yn（n∈N*）；(3)当λ&1时，证明：(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+…+(xn-yn)/(x(n+1)-y(n+1))&λ/(λ-1)（n∈N*）；(4)当0&1&λ时，证明：对于k&=3，x(k+1)/x1+x(k+2)/x2+…+x(k+n)/xn&(λ^k)/(1-λ^k)（n∈N*）.2006年-高考数学-江苏卷-21-数列设数列{an},{bn},{cn}满足bn=an-a(n+2)，n=1,2,…,cn=an+2*a(n+1)+3*a(n+2)，n=1,2,…,证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列，且bn&=b(n+1)（n=1,2,…）.2005年-高考数学-江苏卷-23-数列设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=A*n+B，n=1,2,…其中A,B为常数.(1)求A与B的值；(2)证明：{an}为等差数列；(3)证明：对任意正整数m,n，(5*a(mn))^0.5-(am*an)^0.5&12008年-高考数学-重庆卷理-22-数列设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=a(n+1)^(3/2)*a(n+2)（n∈N*）.(Ⅰ)若a2=1/4，求a3,a4，并猜想a2008的值（不需证明）；(Ⅱ)记bn=a1*a2*…*an（n∈N*），若bn&=2*根号2对n&=2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.2010年-高考数学-天津卷理-22-数列在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a(2k-1),a(2k),a(2k+1)成等差数列，其公差为dk.(Ⅰ)若dk=2k，证明a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列(k∈N*)；(Ⅱ)若对任意k∈N*，a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列，其公比为qk.(i)设q1不等于1，证明{1/(qk-1)}是等差数列；(ii)若a2=2，证明3/2&2n-∑(k=2——n)(k^2/ak)&=2 (n&=2).1993年-中国国家集训队测验题-数列（改）设a1=a2=1/3，当且仅当n=3，4，5……时，an=((1-2*a(n-2))*a(n-1)^2)/(2*a(n-1)^2-4*a(n-2)*a(n-1)^2+a(n-2))，求数列{an}通项公式，并证明1/an-2为完全平方数.2005年-全国高中数学联赛-辽宁省预赛-数列已知a1=1，a2=3，an=4*a(n-1)-a(n-2)（n&=3）；b1=1，b2=3，bn=(b(n-1)^2+2)/b(n-2)（n&=3）；c1=1，c(n+1)=2*cn+(3*cn^2-2)^0.5（n&=3）.求证：对于一切正整数n，有an=bn=cn.
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同类试题1：如图，已知曲线C：，n：y=1x+2-n(n∈N*)．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．（Ⅰ）求Q1，Q2的坐标；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）记数列{an bn}的前n项和为Sn，求证：n＜13．（I）解：∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）∵x1=1∴y1=1，∴Q1（x1，y1）即Q1（1，1）C1：y=1x+2-1，令x=1则y2=23∴P1的坐标为（x1，y2）即（1，23）令23=1x2得x2=32∴Q2（x2，y2）即Q1（32，23）．__________________________________-（2分）（II）解：...
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高中数学，已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n 愿您能详细解答
已知数列{an}的前n项和Sn。且对任意正整数n有sn*[a／2(a-1)]*an*n成等差数列。令bn=(an ＋1)*lg(an ＋1)。（1）求{an}的通项公式an。(用n，a表示)（2）当a=8／9时。数列{bn}是否存在最小项，若有，请求出第几项。(3)若{bn}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围。麻烦您了，愿能详细解答
提问者采纳
解：由题意知：a/(a-1)a(n)=s(n)+na/(a-1)a(1)=s(1)+1=a(1)+1a(1)=a-1=s(1)a/(a-1)a(n+1)=s(n+1)+n+1a/(a-1)[a(n+1)-a(n)]=s(n+1)-s(n)+1=a(n+1)+1a(n+1)=a*a(n)+a-1a(n+1)+1=a[a(n)+1]{a(n)+1}是首项为a(1)+1=a,公比为a的等比数列.a(n)+1=a*a^(n-1)=a^na(n)=a^n - 1(2)b(n)=[a(n)+1]lg[a(n)+1]=a^n*lg[a^n]=lg(a)*n*a^n, a&0.a=8/9b(n)=lg(8/9)*n*(8/9)^n & 0lim_{n-&正无穷}b(n) = 0 & b(n)所以,不存在最小项.(3)b(n)=lg(a)*n*a^n, a&0.b(n+1)=lg(a)*(n+1)*a^(n+1)0&b(n+1)-b(n)=lg(a)*a^n*(n+1)[a - n/(n+1)]a&1时,lg(a)&0, a^n & 0, a - n/(n+1)&1-n/(n+1)=1/(n+1)&0,b(n+1)&b(n).满足要求.0&a&=1/2时,lg(a)&0, a^n&0, 0&-a&=-1/2, 1&1-a&=1/2, 1&1/(1-a)&=2, 0&a&a/(1-a)&=2a&=2*(1/2)=1,n&=1&=a/(1-a),a-n/(n+1)&=0,满足要求.1/2&a&1时,lg(a)&0,a^n&0, b(2)-b(1)=lg(a)*a*2[a-1/2]&0,不满足要求.综合,知 a&1或0&a&=1/2时,{b(n)}单调增.
是怎么想到分a&1时，0&a&=1/2时，1/2&a&1时,讨论的呢？麻烦您详细解答一下，
提问者评价
太感谢了，真心有用
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解：由题意知：a/(a-1)a(n)=s(n)+na/(a-1)a(1)=s(1)+1=a(1)+1a(1)=a-1=s(1)a/(a-1)a(n+1)=s(n+1)+n+1a/(a-1)[a(n+1)-a(n)]=s(n+1)-s(n)+1=a(n+1)+1a(n+1)=a*a(n)+a-1a(n+1)+1=a[a(n)+1]{a(n)+1}是首项为a(1)+1=a,公比为a的等比数列.a(n)+1=a*a^(n-1)=a^na(n)=a^n - 1(2)b(n)=[a(n)+1]lg[a(n)+1]=a^n*lg[a^n]=lg(a)*n*a^n, a&0.a=8/9b(n)=lg(8/9)*n*(8/9)^n & 0lim_{n-&正无穷}b(n) = 0 & b(n)所以,不存在最小项.(3)b(n)=lg(a)*n*a^n, a&0.b(n+1)=lg(a)*(n+1)*a^(n+1)0&b(n+1)-b(n)=lg(a)*a^n*(n+1)[a - n/(n+1)]a&1时,lg(a)&0, a^n & 0, a - n/(n+1)&1-n/(n+1)=1/(n+1)&0,b(n+1)&b(n).满足要求.0&a&=1/2时,lg(a)&0, a^n&0, 0&-a&=-1/2, 1&1-a&=1/2, 1&1/(1-a)&=2, 0&a&a/(1-a)&=2a&=2*(1/2)=1,n&=1&=a/(1-a),a-n/(n+1)&=0,满足要求.1/2&a&1时,lg(a)&0,a^n&0, b(2)-b(1)=lg(a)*a*2[a-1/2]&0,不满足要求.综合,知 a&1或0&a&=1/2时,{b(n)}单调增. 0&a&=1/2时，1/2&a&1
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