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高数中求极限的16种方法
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高等数学极限求法总结
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你可能喜欢高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在： limf(x)?A， 收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列?xn?充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）f(x)?A?f(x)??A x?? (iii)limx???x?x0lim??x????A ?limx?x0limf(x)?A?limx?x0lim (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：???0,???0,使得当x1、x2?U?o(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|?? 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 ．．2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： 0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 1 0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)， 3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候） x2xne?x
e?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx
cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xn????(?1)?(?1)ln（1+x）=x- 23n(n?1)(1??x)n?1(1+x)u=1?ux?u(u?1)2x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零， P（x）=anxn?an?1xn?1???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0 ?an?b,(m?n)nP(x)P(x0)P(x)??? (i)（ii）若Q(x0)?0，则 limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0??,(n?m)x?????lim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设a?b?c?0，xn?nan?bn?cn，求limxn n??
解：由于a?xn?an3,以及lima?a,lim(an??n??n3)?a，由夹逼定理可知limxn?a n????
（2）求lim?12?12???12? (n?1)(2n)?n???n
解：由0?1?2n111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnnlim0?limn??n??1?0可知，原式=0 n?1
(3)求lim???2n???n?1解：由1n2?2????? ?2n?n?1,以及n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n2
1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??11??1得，原式=1
求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1
(|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
=1lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3???n????n???111??1111n?????lim?1?1?1 ??(n?1)?n???(n?1)??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：
（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知an存在，求该极限值。 limann??
解:设1，即A2?2A?1?0，解得结果并舍去负值得A=1+2 =A，（显然A）则?0aA?2?limnn??A
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxn n??
解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，?xn?是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim?A，（显然A?0)则A?n??2?A，即A2?A?2?0。解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2 n?? 10.两个重要极限的应用。
（i）limx?0sinx?1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 x01(ii)lim?1?x?x?e，在“1”型未定式中常用 ?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。 12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nnarccosx??limx?02。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x2xsin2xarccosx?2x?2?limx?0arccosx?2x?2?limt?0原式=limx?0t1?? ?2sint．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim??n，所以??????。由于in?in?2n?n?n???n?11?n3
????1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11?1???nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这0'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） 例:设f(a)?0,f(a)存在，求limn??'??1??fa????n????? f?a???????f(a)?1f(a?)?f(a)n1f(a?)?f(a)nnf(a)n解：原式=limn?????1?????1??f?a???f?a??n????limf(a)?n????f'(a)f(a)n1??f(a?)?f(a)??n1???f(a)????
=limen??1f(a?)?f(a)1n1f(a)n?e 4问：有关高数求极限的问题当x趋向于+∞时，lim/x+ln(+e^x)=∞，我的计算过程是这样的：原式=lim/x+...答：对确实对的，但是为了不引起不必要的逻辑上的问题，例如应用你学过的知识体系以外的定理，用不等式/x+ln(+e^x)＞ln(+e^x)＞ln(e^x)=x来解释更好。这样只需要...
问：高数中道求极限的例题，有过程，但是看不懂为什么。答：前面已经说明yn递增，因此yn≥y=√a，因此 a/yn≤a∴yn√a+，本题主要是利用单调递增有上界的数列必有极限这定理来证明极限存在的
问：高等数学求极限问题求图中极限。答：解：原极限=lim→+∞&x[(lnx/x)-(/e)]而lim→+∞&(lnx/x)=lim→+∞&[(/x)/]=(洛必达法则)故原极限=lim→+∞&x[-(/e)]=-∞
问：高数求极限题目求极限,谢谢姐妹们帮帮忙!答：先用等价无穷小把分母变为x^,即(sinx-x)/x^然后洛必达法则变为(cosx-)/x^再用次(-sinx)/x由sinx~x原极限为-/
问：高数求极限~第二题我不明白，当x属于无穷大，应该arctanx&（π）+kπ啊，如果加了kπ的话...答：arctanx的取值范围（-π/，π/）！（单值枝问题）
问：高数中道求极限的例题，有过程，但是看不懂为什么。答：不知楼主明白了没？不明白继续追问提问者评价不错，看懂了，谢谢。有问题在想你请教哈！
问：高数求极限答：详细解答见附图，如不清晰请点击
问：高数中道求极限的例题，有过程，但是看不懂为什么。答：第二行写错了，第项应为，于是可以还原。第行最后两项合并（用倍角公式），再与前项合并，依次类推，得第三行后面就不难了
问：高等数学求极限(lim指x-&正无穷)lim e^x=正无穷 lim e^x=无穷上面两个结果哪个对？按照正无穷...答：目前教材的面是二者并存。这里个人发表点看法，大家可以讨论。
问：高数中怎样求极限？给个例题及套路我还没拿到教材，急！麻烦高手们解答，多谢啦！答：海JJ啊。这个不是很简单的嘛。种是为.，你直接入数字进去就好了，种是分母为，可以用倒数方法做，种是分母都为，那肯定可以因式分解再约掉...
问：高数求极限答：lim→+&xlnx=lim→+&lnx/(/x)=lim→+&(/x)/(-/x^)=lim→+&(-x)= lim→+&x^x=lim→+&e^[ln(x^x)]=e^[lim→+&xlnx]=e^.直接利用（）的结论=
问：高数极限求法及例题答：（）最常用方法：洛必塔法则和泰勒公式，要注意和其它方法相结合，等价无穷小换，变量换，恒等变形，因子分离，重要极限及微分学和积分学的各种知识。...
问：高数里道求极限的例题求解答例题里当P&和P的时候这个极限值是怎么算的啊？我怎么看不明白求解答谢谢答：好复杂，这是几年级的题啊，下
问：求高数求极限的经典例题答：量包的截止日期
09-1109-0509-0207-01
01-2501-1904-1110-04
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