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二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，试用a表示不等式f（x）+2＞0的解集．
题型：解答题难度：中档来源：不详
不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}即ax2+（b+2）x+c＞0解集为（1，3），即1，3是对应方程ax2+（b+2）x+c=0的两个根，=>a＜0-b+2a=4ca=3=>b=-4a-2c=3aa＜0，所以f（x）=ax2+（4a+2）x+3a，（a＜0）．所以f（x）+2＞0等价为f（x）=ax2+（4a+2）x+3a+2＞0，即（x-1）[ax-（3a+2）]＞0．因为a＜0，所以原不等式等价为(x-1)[x-(3+2a)]＜0．①若3+2a＜1，即-1＜a＜0时，解得3+2a＜x＜1．②若3+2a=1，即a=-1，此时（x-1）2＜0，此时不等式无解．③若3+2a＞1，即a＜-1，得1＜x＜3+2a．综上：当-1＜a＜0时，不等式的解集为(3+2a，1)．当a=-1时，不等式的解集为空集．当a＜-1时，不等式的解集为(1，3+2a)．
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据魔方格专家权威分析，试题“二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集为{x..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，一元二次不等式及其解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用一元二次不等式及其解法
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。一元二次不等式的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式．
一元二次不等式的解集：
使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
同解不等式：
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式，如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形。&二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：&
解不等式的过程：
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程．变形时要注意条件的限制，比如：分母是否有意义，定义域是否有限制等．
解一元二次不等式的一般步骤为：
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．
解含有参数的一元二次不等式：
(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论。
发现相似题
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245728291958487290444001571477251376如图,直线y=-x 3与x轴,y轴分别相交于点B,点C,经过B,C两点的抛物线y=ax2 bx c与
发表于： 08:47:45
& 来源：网络
如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点问题补充：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P．①求该抛物线的解析式和A点的坐标；②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标． 【最佳答案】解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x²+bx+c中，解得：b=-4，c=3∴该抛物线的解析式为y=x²-4x+3令x²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3∴A点的坐标为（1,0）②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）∴BC=√3²+3²=3√2PC=√2²+4²=2√5PB=√1²+1²=√2∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²∴PB⊥BC,∠PBC=90°∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2AC=√1OPB=√2BC=3√2∴BQ=√5PQ=3∴点Q的坐标(3+√5,0) 【其他答案】有题目可知，直线y=-x+3与x轴交与（3，0），与交与（3，0），将两个坐标值代入抛物线y=x2+bx+c。由此可解得b=-4,c=3。抛物线经整理后可得，顶点为（2，-1）。过程或许不够详细，望采纳。 解：①y=-x+3，x=0时，y=3，y=0时，x=3，∴B（3，0），C（0，3），代入y=x2+bx+c得：0=9+3b+c3=c​，解得：b=-4，c=3，即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，（2分）当y=0时，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即A的坐标是（1，0）．②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），由勾股定理得：CB=32，CP=25，BP=2，AC=10，OC=3，OA=1，∴ACCP=OCCB=OABP=22，∴△BCP∽△OCA③∵∠ABC=∠ABP=45°，∴点Q只能在点B的左侧，若ABBC=BPBQ，即232=2BQ可解得BQ=3，∵B（3，0），∴点Q坐标为（0，0）；若ABBC=BQBP，即232=BQ2，解得BQ=23，点Q的坐标为（73，0） 解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x²+bx+c中，解得：b=-4，c=3∴该抛物线的解析式为y=x²-4x+3令x²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3∴A点的坐标为（1,0）②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）∴BC=√3²+3²=3√2PC=√2²+4²=2√5PB=√1²+1²=√2∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²∴PB⊥BC,∠PBC=90°∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2AC=√1OPB=√2BC=3√2∴BQ=√5PQ=3∴点Q的坐标(3+√5,0) 1-0420:41解：①y=-x+3，x=0时，y=3，y=0时，x=3，∴B（3，0），C（0，3），代入y=x2+bx+c得：0=9+3b+c3=c，解得：b=-4，c=3，即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，当y=0时，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即A的坐标是（1，0）．②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），由勾股定理得：CB=32，CP=25，BP=2，AC=10，OC=3，OA=1，∴ACCP=OCCB=OABP=22，∴△BCP∽△OCA③∵∠ABC=∠ABP=45°，∴点Q只能在点B的左侧，若ABBC=BPBQ，即232=2BQ可解得BQ=3，∵B（3，0），∴点Q坐标为（0，0）；若ABBC=BQBP，即232=Q2，解得BQ=23，点Q的坐标为（73，0）． 解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x²+bx+c中，解得：b=-4，c=3∴该抛物线的解析式为y=x²-4x+3令x²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3∴A点的坐标为（1,0）②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）∴BC=√3²+3²=3√2PC=√2²+4²=2√5PB=√1²+1²=√2∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²∴PB⊥BC,∠PBC=90°∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2AC=√1OPB=√2BC=3√2∴BQ=√5PQ=3∴点Q的坐标(3+√5,0)参考资料： 1-1419:03
如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．抛物线对称轴上会否存在点M，使△BCM为直角三角形，请求出所有满足条件M点的坐标 最佳【推荐答案】首先根据题目求出抛物线方程（B,C两点坐标，对称轴）y=x^2-4x+3然后假设存在点M，则有以BC为直径的圆（x-3/2）^2+(y-3/2)^2=9/4和抛物线有交点（直径所对的圆周角为直角），交点就是M点的坐标。 【其他答案】∵y=-x+3在x轴、y轴上的截距都为3：∴B(3,0),C(0,3)A、B关于x=2对称A(1,0)代入y=ax²+bx+c得：{c=3{9a+3b+c=0{a+b+c=0解得：a=1,b=-4,c=3y=x²-4x+3令M(p,q)MB直线的斜率：k1=q/(p-3)MC直线的斜率：k2=(q-3)/pq/(p-3)*(q-3)/p=-1q=p²-4p+3解得：{p=0,q=3,{p=3,q=0,{p=(5+√5)/2,q=(1+√5)/2,{p=(5-√5)/2,q=(1-√5)/2∵{p=0,q=3,{p=3,q=0分别与B(0,3),C(3,0)重合∴M((5+√5)/2,(1+√5)/2)或M((5-√5)/2,(1-√5)/2) 高中数学吧，挺大的一道题目，首先设存在点m坐标，a，b，然后直线mc和mb垂直，一个方程，mc=mb两个方程，解吧，孩子 求A点坐标~热心网友 1-2710:55
如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别相交于点b[标签：,]7:28如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别相交于点b，点b，c两点的抛物线y=ax平方+bx+c与x轴的另一交点为a，顶点为p，且对称轴是直线x=2.1。求a点的坐标，2。求抛物线的函数表达式3。连接ac，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点p,b,Q为顶点的三角形与三角形abc相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说理由。在线=，速回原创答案好评率：89%　　26．解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3.　　∴点B的坐标为(3,0)．　　又∵抛物线过x轴上的A,B两点，且对称轴为x=2，　　根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为(1,0)．　　（2）∵y=-x+3过点C，易知C(0,3)，∴c=3．　　又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0)，　　∴a+b+3=0,9a+3b+3=0解得a=1,b=-4∴y=x2-4x+3．　　（3）在x轴上存在点Q.　　连结PB，由y=x2-4x+3=(x-2)2-1，得P（2，－1）.　　设抛物线的对称轴交x轴于点M.　　在Rt△PBM中，PM=MB=1，　　∴△PBM为等腰直角三角形.　　∴∠PBM=45°，PB=根号2．　　由点B(3,0),C(0,3)，可得OB=OC=3，　　∴△OBC为等腰直角三角形.　　∴∠ABC=45°.　　由勾股定理，得BC=3根号2．　　假设在x轴上存在点Q，使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似．　　①当BQ/BC=PB/AB，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．　　即BQ/3根号2=根号2/2，∴BQ＝3.又∵BO＝3，∴点Q与点O重合.∴Q1的坐标是(0,0)．　　②当BQ/BC=PB/AB，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，　　即QB/2=根号2/3根号2，∴QB＝2/3．∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－2/3＝7/3.　　∴Q2的坐标是（7/3，0）．由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上．　　综上所述，在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2（7/3，0），能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似．继续追问：哪里找的？肯定对吗？补充回答：对的，是地方考试的试题，我自己做了第一步，没错，第二三步是参考的，谢谢！回答采纳率:76.8%7:15的感言：喔，谢谢如图已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)B(4,0)两点与y轴交于点C(0,-3)直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P,Q两点且点P在第三象限。当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形，求点P的坐标（要过程） 【最佳答案】y=ax2+bx+c0=a(-2)^2+b(-2)+c0=a4^2+b×4+c-3=0+0+c解得：a=3/8b=-3/4c=-3y=3/8x^2-3/4x-3=3/8(x-1)^2-27/8故，抛物线的对称轴为x=1直线BC的方程为y=[(0-(-3))/(4-0)]x-3y=(3/4)x-3D点坐标(1,-9/4)设E点坐标为(0,y)当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形时DE⊥CE或ED⊥DC若DE⊥CE，E点坐标为(0，-9/4)P点纵坐标为y=[(-3)+(-9/4)]/2=-21/8P点横坐标：3/8x^2-3/4x-3=-21/8x=1-√2或ED⊥DC，（y-(-9/4))/(0-1)(3/4)=-1y=-11/12E点坐标为(0，-11/12)P点纵坐标为y=[(-3)+(-11/12)]/2=-47/24P点横坐标：3/8x^2-3/4x-3=-47/24x=1-(√34)/3 荐抛物线:直线|抛物线:ax2|抛物线:焦点|抛物线:方程|抛物线:对称轴【其他答案】gdcg
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与xy轴分别交于点B.C；抛物线y=-x平方+bX+c经过BC两点，并与x轴交另一点A（1）求该抛物线所对应的函数解析式（2）所得抛物线上的一个动点P，过P作直线l垂直于X轴于M点，交直线BC于点N①若点P在第一象限内。试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰三角形BPC的面积。前面两问都会就是最后一问不会做. 【最佳答案】(1)y=-x^2+2x+3(3)y=-x^2+2x+3=4-(x-1)^2P(m,4-(m-1)^2)B(3,0),C(0,3)等腰三角形BPC以BC为底边,PB^2=PC^2PB^2=(m-3)^2+[4-(m-1)^2]^2PC^2=(m-0)^2+[4-(m-1)^2-3]^2PB^2=PC^2简化:m^2-m-3=0m=(1±√13)/2m0,P在第一象限,BPC的面积=梯形OCPM的面积+三角形BPM的面积-三角形OMC的面积具体自己算m&0,P在第三象限((1-√13)/2&-1,自己证明),求PC与x轴交点Q的坐标.BPC的面积=三角形QBC的面积+三角形PBQ的面积具体自己算 荐平面直角坐标系:直线|平面直角坐标系:抛物线|平面直角坐标系:一次函数|平面直角坐标系:不等式|平面直角坐标系:原点【其他答案】第一步由BC两点同时过两函数代入解析式易得B坐标为（3,0）C坐标为（0,3）解析式为y=-x*2+2x+3设点PN的坐标分别为（x,-x*2+2x+3)(x,3-x)依据平面几何两点间距离公式可以列出式子PN=-x*2+2x+3-(3-x)=-(x-3/2)*2+9/4即得最大值和对应的x值再次依据平面几何两点间距离公式列出表示PBPC的代数式然后PB=PC列方程求解有二代回函数解析式检验P点是否会在其上可得P的横坐标等于（1-根号13）/2最后用三角形在平面直角坐标系上求面积的常用方法就是利用铅垂高甚么的可以求出其面积计算不便打出过程你自己按这个思路算罢可以做的]
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＞＞＞如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点..
如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省中考真题
解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1； （2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN'上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上， 设E（x，x+1）， ①当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则F（x，x+3）， ∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去） ∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3） ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+∴面积的最大值为．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，平行四边形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用平行四边形的判定
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积：S=底×高。
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