求解微分方程：y''=y'+x 求其为之者而不得也通...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-03 09:33 标签： 求数列的通项公式
求微分方程(x+1)dy=(y+2)dx的通解_百度知道
求微分方程(x+1)dy=(y+2)dx的通解
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出门在外也不愁求微分方程dy&#47;dx+y&#47;x=cosx的通解_百度知道
求微分方程dy&#47;dx+y&#47;x=cosx的通解
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x + C/x dx = e^ln|x| =dx = xcosxxy = ∫ xcosx dxxy = ∫ x d(sinx) = xsinx - ∫ sinx dx = xsinx + cosx + Cy = sinx + (cosx)/dx + y/dx + y = xcosxd(xy)&#47，乘以方程两边x · dy/x = cosx积分因子 = e^∫ 1&#47dy&#47
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dx+P(x)y=Q(x),Q(x)=x)*(xsinx-∫sinx+C )
=sinx+(cosx+C)/xdx)+C]
=(1/x;x)*(∫xdsinx+C)
=(1/xdx)]*[∫cosxe^(1&#47,则通解为y=[e^(-∫p(x)dx)]*[∫Q(x)e^(p(x)dx)+C]则P(x)=1/x)*(∫x*cosxdx+C)
=(1&#47,则通解为y=[e^(-∫1&#47符合dy&#47
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出门在外也不愁微分方程问题 求(y^2-6x)y&#39;=2y=0 的通解
微分方程问题 求(y^2-6x)y&#39;=2y=0 的通解
看书的解题过程 dx/dy=6x-y^2/2y 可化为 dx/dy-3x/y=-y/2
方程所对应的齐次微分方程为 dx/dy-3x/y=0 分离变量 解得 x=cy^3 令 x=uy^3 则 dx/dy=(du/dy)y^3+u y^3带入dx/dy-3x/y=-y/2 得 y^3 du/dy=-y/2请问这一步是怎么得来的 代人 dx/dy-3x/y=-y/2
中u y^3一项到哪里去了？
解：∵(y^2-6x)y'+2y=0 ==&(y^2-6x)y'=-2y
==&(y^2-6x)dy/dx=-2y
==&dx/dy=(y^2-6x)/(-2y)
==&dx/dy=3x/y-y/2
==&dx/dy-3x/y=-y/2
∴先解齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解
∵dx/dy-3x/y=0 ==&dx/dy=3x/y
==&dx/x=3dy/y
==&ln|x|=3ln|y|+ln|C|
(C是积分常数)
==&x=Cy&sup3;
∴齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解是x=Cy&sup3;
(C是积分常数)
于是，应用“常数变易法”，设原微分方程的通解为x=uy&sup3; (u是关于y的函数)
∵dx/dy=y&sup3;du/dy+3uy&sup2;
∴把它代入dx/dy-3x/y=-y/2
得y&sup3;du/dy+3uy&sup2;-3uy&sup3;/y=-y/2
==&y&sup3;du/dy+3uy&sup2;-3uy&sup2;=-y/2
==&y&sup3;du/dy=-y/2
==&y&sup2;du/dy=-1/2
==&du=-dy/(2y&sup2;)
==&u=1/(2y)+C
(C是积分常数)
把u=1/(2y)+C代入x=uy&sup3;，得x=[1/(2y)+C]y&sup3;=y&sup2;/2+Cy&sup3;
故原微分方程的通解是x=y&sup2;/2+Cy&sup3;
(C是积分常数)。
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