设f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。(1)若f(x)在定义域D内是奇函数，求证：g(x)·g(-x)=1；(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求实数a的值；(3)若g(x)=ax2-x，是否存在实数a-数学试题及答案
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1、试题题目：设f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。(1)若f(x)在定义域D内..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
设f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。 (1)若f(x)在定义域D内是奇函数，求证：g(x)·g(-x)=1；(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求实数a的值；(3)若g(x)=ax2-x，是否存在实数a，使得f(x)在区间I=[2，4]上是减函数？且对任意的x1，x2∈I都有f(x1)＞ax2-2，如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
&&试题来源：福建省月考题
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：函数的奇偶性、周期性
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）∵在定义域D内是奇函数， ∴f(x)+f(-x)=0，，即， ∴。（2）①若a＞1，则在[1，3]上是增函数，则有f(3)=， ∴，∴a=9；②若0＜a＜1，则在[1，3]上是减函数，则有f(1)= ，∴=，解得：a不存在； 综上所述：a=9。 （3）①若a＞1时，要满足题设，则有在[2，4]上是减函数， ∴而函数＞0仅在上是减函数，故a＞1不符合题意；&②若0＜a＜1时，要满足题设，则有在[2，4]上是增函数，并且在[2，4]上成立，∴，∴a＞，要对任意的x1，x2∈I都有，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。 ∵f(x)在区间I=[2，4]上是减函数， ∴==，的最大值为=1，∴＞1，∴a＜，这与a＞矛盾，舍去；综上所述：满足题设的实数a不存在。
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。(1)若f(x)在定义域D内..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。
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专题：导数的综合应用
分析：（1）（i）由函数为奇函数求得b，再由当x=1时f（x）有极小值为-4列式求出a，c的值；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，由此得到y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程结合f′（-1）=0，f（-1）=4，可知y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）．再设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），求出直线l1和l2的方程，令y=4求得m=2(x12-x1+1)3(x1-1)且m=2(x22-x2+1)3(x2-1)，可知x1，x2是方程m=2(x2-x+1)3(x-1)的两解，然后构造辅助函数，再利用导数求出m的取值范围；（2）令xB=x1，xC=x2，由直线l1∥l2得到两点横坐标的关系，再通过求解方程组求得点D和点A的坐标，得到（xA-xB），（xB-xC），（xC-xD），则答案可求．
解：（1）（i）∵x∈R，f（x）为奇函数，∴f（0）=d=0，f（-x）=-f（x），即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx，∴b=0，∴f（x）=ax3+cx，则f′（x）=3ax2+c，又当x=1时f（x）有极小值为-4，∴f′(1)=0f(1)=-4，即3a+c=0a+c=-4，解得：a=2c=-6，即f（x）=2x3-6x，经检验f（x）=2x3-6x满足题意．∴a=2，c=-6，b=d=0；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=(6x02-6)(x-x0)+y0，即y=(6x02-6)x-4x03，显然过某一点的切线最多有三条；又f′（-1）=0，f（-1）=4，∴y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）；设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1≠1，x2≠1且x1≠x2，∴不妨设直线l1的方程为y=(6x12-6)x-4x13，直线l2的方程为y=(6x22-6)x-4x23，令y=4并化简得3m(x12-1)=2(x13+1)，3m(x22-1)=2(x22+1)，则m=2(x12-x1+1)3(x1-1)且m=2(x22-x2+1)3(x2-1)，∴x1，x2是方程m=2(x2-x+1)3(x-1)的两解，令g(x)=2(x2-x+1)3(x-1)=23(x-1+1x-1+1)，则g′(x)=23(1-1(x-1)2)，令g′（x）=0得x=2或0，∴当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0；当0＜x＜1或1＜x＜2时，g′（x）＜0；又g(0)=-23，g（2）=2，故当x＜0时，g（x）的值域为（-∞，-23），当0≤x＜1时，g（x）的值域为（-∞，-23]，当1＜x＜2时，g（x）的值域为（2，+∞），当x＞2时，g（x）的值域为[2，+∞），又当x=-1时，g（-1）=-1，因此m∈(-∞，-1)∪(-1，-23)∪(2，+∞)；（2）令xB=x1，xC=x2，由f′（x）=3ax2+2bx+c及l1∥l2得：3ax12+2bx1+c=3ax22+2bx2+c，∴3a（x1+x2）（x1-x2）=2b（x2-x1），由x1≠x2，得x1+x2=-2b3a，即x2=-x1-2b3a；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&将y=(3ax12+2bx1+c)(x-x1)+y1与y=f（x）联立化简得ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+2ax13+bx12=0，∴a(x-x1)2(x+2x1+ba)=0，∴xD=-2x1-ba，同理xA=-2x2-ba=2x1+b3a，∴xA-xB=x1+b3a，xB-xC=2x1+2b3a，xC-xD=x1+b3a，∴（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，解答该题要求学生具有较强的运算能力，是难度较大的题目．
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科目：高中数学
已知数列{an}{bn}的每一项都是正数，a1=4，b1=8且an，bn，an+1成等差数列，an，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）（Ⅰ）求a2，b2；（Ⅱ）求数列{an}{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，都有1a1-1+1a2-1+…+1an-1＜23．
科目：高中数学
求证：对于任意的正整数n，（2+3）n必可表示成s+s-1的形式，其中s∈N*．
科目：高中数学
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
科目：高中数学
已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
科目：高中数学
已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ+μ=．
科目：高中数学
已知函数f（x）=log2（3-x），若在[-2，3）上随机取一个实数x0，则使f（x0）≤1成立的概率为．
科目：高中数学
若变量x，y满足约束条件x+2y≤80≤x≤40≤y≤3，则目标函数z=2x+3y的最大值为．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；_答案网
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&已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；时间:&&分类:&&&【来自ip:&16.142.197.210&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性（说明理由）；并求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域．（3）若对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
&（此问题共149人浏览过）我要回答:
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&网友答案：
解：（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）为奇函数．（2）f（x）在R上单调递减．证明：设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]=-f[（x2-x1），因为当x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，所以f[（x2-x1）＜0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以函数f（x）为R上的减函数．由f（x+y）=f（x）+f（y）及f（-1）=2得，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4，f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），因为f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f（2）=4，f（2）=-4，所以f（4）=-8．又函数f（x）在区间[-2，4]上单调递减，所以f（4）≤f（x）≤f（-2），即-8≤f（x）≤4．故函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]．（3）因为函数f（x）在R上是奇函数，且单调递减，所以不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0?f（t2-2kt）＜-f（2t2-1）=f（1-2t2）?t2-2kt＞1-2t2，所以对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立，等价于t2-2kt＞1-2t2恒成立，即t∈[1，3]时2k＜3t-恒成立，而易知3t-在∈[1，3]上单调递增，所以=3-1=2，所以有2k＜2，解得k＜1．所以实数k的取值范围为（-∞，1）．解析分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函数的定义即得证；（2）设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]=-f[（x2-x1），根据已知可比较f（x1）与f（x2）的大小，从而可知其单调性；由函数的单调性及已知可求出f（-2），f（4），即函数f（x）在区间[-2，4]上的最值，由此可得其值域；（3）利用函数f（x）的单调性、奇偶性，可把不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数的最值问题即可求得．点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，具有一定的综合性．
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&1、&2、&3、&4、&5、&6、&7、&8、&9、&10、分析：（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；（2）由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值；（3）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．解答：解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，∴g（x）=2x；（2）由（1）知：f（x）=-2x+n2x+1+m是奇函数．因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即n-12+m=0，∴n=1；∴f（x）=-2x+12x+1+m，又由f（1）=-f（-1）知1-2&4&+m=-1-121&+m，∴m=2；（3）由（2）知f（x）=-2x+12x+1+2=-12+12x+1，易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），因f（x）为减函数，由上式推得：t2-2t＞k-2t2，即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜-13．点评：本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，其中根据函数的单调性将f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组是解答本题的关键，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
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科目：高中数学
已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R，函数f(x)=-g(x)+n2g(x)+m是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
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已知指数函数y=g（x）过点（1，3），函数f(x)=-g(x)+ng(x)+1是R上的奇函数．（I）求y=g（x）的解析式；（II）求n的值并用定义域判定y=f（x）的单调性；（III）讨论关于x的方程xf（x）=m的解的个数．
科目：高中数学
已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R上的函数f(x)=-g(x)+ng(x)+m是奇函数．（Ⅰ）求y=g（x）与y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断y=f（x）在R上的单调性并用单调性定义证明；（Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，试证：-1＜3f（b）＜0．
科目：高中数学
已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=n-g(x)m+2g(x)是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t2）+f（t2-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
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已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)&0,?则a的取值范围是(&&& )
A.(2，3)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.(3，)
C.(2，4)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.(－2，3)
解析:∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴& ∴a∈(2,3).
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