求解几题高等数学不定积分题目
求解几题高等数学不定积分题目 5
看不清楚耶~能不能打在文档截图或者复制出来啊~
2不定积分表示的是求x?+y?=2的上半圆
然后求上半圆在【0，根号2】上的积分即求面积
所以原式=π*2/4=π/2
其他回答 (2)
∫sec3x*dx
=∫secx*sec2x*dx
=∫secx*(sec2x*dx)
设sec2x*dx=dt,则
dt/dx=sec2x
则secx=(t2-1)1/2
∫sec3x*dx
=∫secx*(sec2x*dx)
=∫(t2-1)1/2*dt
=[t(t2-1)1/2+cosht]/2
=[tanxsecx+ln(tanx+secx)]/2
巍巍，我不知道对不对的。
(1)原式=∫1dx-∫3x^2dx=x-x^3+C
(2)原式=∫2^xdx+(1/3)∫3x^2dx=2^x/(ln2)+x^3+C
(3)原式=∫secx*dtanx =secx*tanx-∫tanxdsecx =secx*tanx-∫tanx*secx*tanxdx =secx*tanx-∫（(secx)^2-1)secxdx =secx*tanx-∫((secx)^3-secx)dx =secx*tanx-∫(secx)^3dx-∫secxdx =secx*tanx-∫(secx)^3dx-ln|secx+tanx| 把积分中(secx)^3移到左边合并就可以得到答案了 =1/2（。。。）
(4)原式=(1/3)∫a^(3x)d(3x)=a^(3x)/(3lna)+C
2、(自己代数据计算，我没有草稿纸在)
(1)原式=(1/a)∫1/[1+(x/a)^2]d(x/a)=(1/a)arctan(x/a)
(2)原式=(√2)*∫√[1-(x/√2)^2]dx
设x/√2=sina
式=2*∫√cosa*[1-(sina)^2]da=2*∫(cosa)^2da=∫[cos(2a)+1]da=0.5∫cos(2a)d(2a)+∫1da=x-0.5sin(2a)
(3)设x=seca
所以原式=∫1/[(secx)^2*tanx]*secx*tanxdx=∫cosxdx=-sinx
(后面两道题注意上下限的变化)
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求不定积分
∫x/(1+x)^3dx
x/(1+x)^3＝(1+x－1)/(1+x)^3＝1/(1+x)^2 － 1/(1+x)^3。
∫x/(1+x)^3dx＝∫[1/(1+x)^2 － 1/(1+x)^3]d(1+x)＝－1/(1+x)+1/2*(1+x)^2+C
回答数：23572013年基础班高等数学模拟试题及答案-无选择题和填空题详解71
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2013年基础班高等数学模拟试题及答案-无选择题和填空题详解71
2011年基础班高等数学模拟试题；一，单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分；1.下列函数为奇函数的是（B）；A.xln；1?x；B.lnx(1?x；)C.xdx?x；(e?e)D.?(et?e?tdt)；0dx；2.下列四个极限中有三个是相同的，请指出不同的是；1arcsixnsinxx?sinx；A.limn2(1?con)B.li2C.lim；本
2011年基础班高等数学模拟试题一，单项选择题（本大题共6小题，每 小题4分，满分24分）1.下列函数为奇函数的是（
B ）A.xln1?x B.lnx(1?x) C.xdx?x(e?e)
D.?(et?e?tdt)0dx2.下列四个极限中有三个是相同的，请指出不同的是哪一个（ ？ ）1arcsixnsinxx?sinxA.limn2(1?con)
D.li n??x?0x??x??nx??xx?sinx本题四个答案选项A为1/2，B为无穷大，C，D都为11??xarctan,x?03.函数f(x)??在x?0处(
) x?0,x?0?A.极限不存在
B.极限存在但不连续
C.连续但不可导
D.可导4.下列积分值为零的是（ D ）?1x?sin1xA.?0dx
C.?2?(x?)cos
D.??1x?1cos?x215.交换I??dy013?2yf(x,y)dx的积分次序后，I?（ D ）33?x20A.?dx?f(x,y)dy
B.?1dx? 1x2f(x,y)dy33?x20C.?dx013?2xf(x,y)dy
D.?0dx?0f(x,y)dy??1dx?1x2f(x,y)dy6.设幂级数?anxn在x?1收敛，则该级数在x?n?1?1处（ C ） 2A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D.可能收敛也可能发散二 填空题
（本大题共六小题，每小题4分，满分24分）??2cosx,x??4?2x??7.设f(x)??在连续，则a??22??ax2?1,x????2?x?at2?2ad2x8.设?，则在
?24329bty?btdy?9.已知F(x)??x (x?t)costdt，则F?(x)?sinx10.已知点(k,1,2)到平面?:2x?2y?z?3?0的距离为1，则k11.设f(x,y)?exycos(xy)?(y?fx?(1,1)?e(cos1?sin1) 12.以y?6?3e2x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是y&?2y'?0 三、计算题（每小题8分，满分64分）tan3xx(1?) 13、lim4xx?0xe?1解：tan3xxx3ex?1?xx3ex?1?xlim4(1?x)?lim4?x?lim4?x?0x?0x?0xxe?1xe?1xxxe?1?xe?1x1?lim?lim?lim?x?0x?02xx?02xx2214、设y?f(3x?2dy),f?(x)?arcsinx2，求3x?2dxx?0 解： 本题有两个思路，直接的想法是求出y，但是这就需要求出f(x)，要求出f(x)就要对arcsinx求不定积分，然后才能得到f(x)，接着再把23x?2代入到f(x)中得到y，然3x?2后在对y求导，然后再代入x?0。。。。。。这个过程势必很繁琐！不如我们另辟蹊径，既然本题求的是具体点的导数值，不如就取特殊值去做，y?f(3x?23x?23x?23x?2333x?2)?y??f?()?()??(?)f?() 3x?23x?23x?23x?23x?23x?23x?2现在我们得到了y的导数y?，当x?0时有0?2330?2(?)f?()?3f?(?1)，又f?(x)?arcsinx2 0?20?20?20?23?2所以y?(0)?3arcsin(?1)?3arcsin1?2y?(0)?15、计算不定积分xe?3?x2dx解：3?x?xedx??212?x2xd(e)2?221??[x2e?x??e?xd(x2)]2221??[x2e?x??e?xd(?x2)]2221??(x2e?x?e?x)?C221??(x2?1)e?x?C216、???11dxex?e2?x解：b11dx?lim?1ex?e2?xb????1ex?e2?xbbex1?lim?2x2x?lim?x22(ex) b???1eb???1(e)?e?e??1ex?limarctanb???ee本题用到公式b11????(?)?e244e11x?arctan?C ?x2?a2aa17、已知直线L:??x?2y?z?7?0与平面?:?3x?ky?5z?4?0垂直，求常数k?2x?y?z?7?0?解： 直线和平面垂直就意味着直线的方向向量和平面的法向量平行，我们先求直线的方向向量???????????????s0?12?1?3i?j?5k?(3,1,5)，又n0?(?3,k,?5)，且s0?n0，所以它们的对?211应坐标应该成比例，任意选择一组得?i?j?k15?，从而得到k??1 k?5?2z18、设z?f(xsiny,ysinx)，其中f有二阶连续偏导数，求?x?y解：?z?f1??siny?f2??ycosx?f1?siny?yf2?cosx ?x?2z???xcosy?f12???sinx)siny?f1?cosy?cosx[f2??y(f21???xcosy?f2?2??sinx)]?(f11?x?y&&?cosyf1'?cosxf2'?xsinycosyf11?(sinxsiny?xycosxcosy)f12?ysinxcosxf2&219、计算22222，其中D：x?y?2ax,x?y?ax，(a?0) (x?y)d???D解：首先把积分区域D的形式改变一下12a22x?y?2ax,x?y?ax?(x?a)?y?a,(x?a)?y?242222222这样就很容易看出区域D的图形了，如右图阴影部分显然本题计算二重积分用极坐标变换，而且考虑到 阴影部分是关于x轴对称的，所以可以使用化简计算??(x?y)d?D2???(x2?2xy?y2)d?D???(x2?y2)d??2??xyd?　　　(2??xyd??0）DDD???(x2?y2)d?＝２??(x2?y2)d?　　(D?DD???２?d??2０2acos?acos?r3drr42acos??2?acos?）d?4?1?2?216a4cos4??a4cos4?)d??cos?d??0215a431?15a4??????24223220? ?注：这里在求??20cos4?d?的时候使用了递推公式(x?3)2n?120、求?(?1)的收敛半径与收敛区间 2nn?4n?1n解： 本题是缺项级数，对于计算题必须用正项级数的判别法去做(?1)n?1(x?3)2n?32n?11(n?1)42令lim?(x?3)?1，解得x?3?2，即1?x?5，显然半径为nn??(?1)42n?1(x?3)n24n2（对称中心为3）当然如果是选择题或填空题，可以仍然使用系数模比值法，但要记住开方(?1)n?1(n?1)24n?11??lim??R?4?2 nn??(?1)4n24n所以x?3?2?1?x?5
当???(?1)n(?1)n(?1)nn(?1)n2n?12n?1x?1时，(x?3)??2n(?2)??2n4?(?2)??2?2 ?2nn?1n4n?1n4n?1n4n?1n?（收敛）??(?1)n(?1)n2n?1?(?1)nn(?1)n2n?1当x?5时，(x?3)??2n2??2n4?2?2?2 ?2nn4n4n?1n?1n?1n4n?1n?（收敛）所以收敛区间为[1,5]四、证明题（每小题9分，满分18分）21、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g?(x)?f?(x),g(a)?f(a)，证明：g(x)?f(x)证明：构造函数F(x)?g(x)?f(x)，则F?(x)?g?(x)?f?(x)，因为g?(x)?f?(x)，所以F?(x)?0所以函数F(x)在定义域内为单调递增函数又F(a)?g(a)?f(a)且g(a)?f(a)，所以F(a)?0，所以在(a,b)内恒有F(x)?0 即有g(x)?f(x)11cos(sinx)有且仅有一个正实根 221111证明：首先我们来大致确定一下根的范围，因为??cos(sinx)?，所以原方程的根222211只能在[?,]这个范围内22构造函数f(x)?x?cos(sinx)，则f(0)???0，f()??cos(sin)?022、证明方程x?所以由零点定理可知至少有一个根了 又f?(x)?1?[?sin(sinx)]?1212111cosx?1?sin(sinx)cosx?0，所以f(x)为增函数 242包含各类专业文献、行业资料、各类资格考试、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、专业论文、应用写作文书、中学教育、2013年基础班高等数学模拟试题及答案-无选择题和填空题详解71等内容。　
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设k≠0，则_____ 不是函数f(x)=的原函数.
A、ln|x| B、ln|kx| C、kln|x| D、ln|x|+k
解该题用排除法.
A中，ln|x|=
(lnx)′=，[ln(-x)]′=
B中，ln|kx|=
[ln(kx)]′=，[ln(-kx)]′=
由A可知，应否定D.
综上，选C.
设函数f(x)的一个原函数是sinax，则f＇(x)=_____
C、acosax D、a2cosax
依题设，f(x)=(sinax)＇
则 　　 f(x)=acosax
所以 　 f＇(x)=-a2sinax
应填ex(1+x)
因为(xex)＇=ex+xex
　　　　　 =ex(1+x)
由不定积分求被积函数.
则f＇(x)=( )
应填2(2x2-1)
因为()＇=(+c)＇
得f(x)=-2x
所以f＇=-2(-2x2)
　　　 =2(2x2-1)
经过点(1，2)且切线斜率为4x3的曲线方程是_____
A、y=x4 B、y=x4+c C、y=x4+1 D、y=x4-1
由题意： =4x3，y(1)=2
　　　y=x4+c
由y(1)=14+c=2
所以y=x4+1
在积分曲线族y= x2dx中，求一条通过点(0，-1)的曲线.
将x=0，y=-1代入
故通过点(0，-1)的曲线是 y=x3-1 .
设f＇(x)=x2-x 且f(1)=1 则f(x)=(
因为f(x)=(x)dx
　　　　=x2-x)dx
代入f(1)=1
设f＇(x)为连续函数 则(
应填arcsinf(x)+c
　　=arcsinf(x)+c
设 (x)dx=sinx+c
则 (x)dx=(
应填-sinx+c
因为(x)dx+c=(x)+c
又有((x)dx)′=(sinx+c)′
得f(x)=cosx
所以f′(x)=-sinx
设f(x)是函数ax的一个原函数，则=（
按题设，f′(x)=ax，又（）′=ax
　　　　　　 =
　　　　　　=
　　　　　　=
　　　　　　=
　=tanx-secx+c
此题不能直接用基本公式，先经三角恒等变形，再求积分.
因(1+sinx)(1-sinx)=1-sin2x
　　　　　　　　　 =cos2x
=e2x+2ex?3x+32x)dx
=dx+2dx+dx
先用乘法公式，再求积分.
　　　　　 =-ln(e-x+1)+c
　　　　　 =x-ln(1+ex)+c
　　　　　=-
　　　　　=x-ln(1+ex)+c
若视 (x)=e-x+1
′(x)=-e-x
　　有些不定积分，初看起来，被积函数不具有第一换元积分法所要求的特征，若将其略加
变形，便可能用第一换元积分法.本例属此种情况.
　(1-x)6dx
= (1-x)6dx
=-6d(1-x)+7d(1-x)
=-(1-x)7+(1-x)8+c
　　对此题将xdx凑微分为d(x2)是不行的，因为6dx2不是基本公式中的形式，
如果不考虑用第一类换元积分法(凑微分法)，而将被积函数中的(1-x)6展开为7项的代数和，
再逐次积分，无疑又比较烦.我们可有如下技巧：
　　因为只要能把所给积分化为nd(1-x)的形式，则可用幂函数积分公式3.注意
到x=1-(1-x)，于是有简便解法.
求 5x?sec3xdx
　5x?sec3xdx
=4xsec2xd(secx)
=2sec2xd(secx)
=sec7x-sec5x+sec3x+c
　　对此类问题一般思路无非是两种考虑.一种是分离出sec2xdx，它可凑成d(tanx).同时
剩下的因子化为由tanx表出的幂函数；另一种是分离出secx?tanxdx，凑成d(secx)，同时
剩下的因子化为由seex表出的幂函数.然后按幂函数积分公式求解.
　　对此题若分离出sec2xdx凑成d(tanx)，剩下因子tan5x?secx，它无法表为tanx的幂
函数，所以此法不可行.若分离出secx?tanxdx凑成d(secx)，剩下因子
tan4xsec2x=(sec2x-1)2secx恰可表为secx的幂函数，此法可行.
　＝2(sinx)-(sinx)+c
思路类同前.
设(x)dx=sinx2+c
应填sin(2x2-1)+c
　　=sin(2x2-1)+c
设f(x)=2x+x2
=( )； (2x)dx=(
应填 +2x2+c;
可以先求出f′(2x)，然后再求不定积分，这样较繁.这里，用第一换元法：
(2x)dx=(2x)d(2x)
　　　　　=f(2x)+c
　　　　　=[22x+(2x)2]+c
　　　　　=+2x2+c
(2x)dx=d(2x)
　　　　　=[]+c
　　　　　=
应填2(|)+c
设t=，则x=t2-2，dx=2tdt于是
　 =2(t-ln|1+t|)+c
设t=，则ex=t2-1，x=ln(t2-1)
　　=2t+ln|t-1|-ln|t+1|+c
　　=2+ln|-1|-ln|+1|+c
应填ln|ex-1|-x+c
设t=ex-1，则ex=1+t，x=ln(1+t)
　=ln|t|-ln|1+t|+c
　=ln|ex-1|-x+c
应填3[|]+c
设t=,则x=t3-1，dx=3t2dt
　=3(t-1)+]dt
　=3[-t+ln|1+t|]+c
设 =t，从而x=
=2(-+arctant)+c
+arctan]+c
若被积函数是无理函数的积分，且被开方式是一次式，则含根式整体为新变量t.
因此设 =t，并可解出x=
=(x2+1)-x3+c
　　根据被开方式是x2+1为二次式，可作代换x=tant，但可设想求解过程较繁.如果采用
先将分母有理化，则问题化简.
　　由此例可见，求积分时要注意将被积函数化成有利于积分的形式.
令x=tant，则dx=sec2tdt
　=?sec2tdt
　=-(cost)-6-(cost)-4]dcost
　=-[-(cost)-5+(cost)-3]+c
　=sec5t-sec3t+c
(反换元，因sect=)
　　根据被开方式是x2+1为二次式，可作代换x=tant，但求解过程较繁.如果用第一换元法
计算要简单些，即
令μ=，则μ2=1+x2，x2=μ2-1
∴2xdx=2μdu，即xdx=μdu
　=μ?μdu
令3x-1=tant
则3dx=sec2tdt
　　　　(套公式16)①
=ln|sect+tant|+c1
解此题，令3x-1=tant是将两类换元法结合起来用.
令x=asint，则=acost
　dx=acostdt
　=-cott-t+c
令x=t6，则dx=6t5dt
且 =t3，=t4
　 =6(t-1)+]dt
　 =6(t2-t+ln|1+t|)+c
此题被积函数中含有与，它们的根指数分别是2与3，其最小公倍数是6.为去掉两个
根式，令x=t6 .
已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx 则(x)dx=(
应填xlnxcosx+sinx-(1+sinx)lnx+c
因为 (x)dx
　　=[f(x)]
　　=xf(x)-(x)dx
由已知条件，知：
　 (x)dx=(1+sinx)lnx+c
而 [(x)dx]'=[(1+sinx)lnx]′
　　　　=cosxlnx+(1+sinx)
∴ f′(x)dx
　　　　=x?lnxcosx+1+sinx-(1+sinx)lnx+c
　　解此题的方法是应用分部积分法，然后根据已知条件确定积分结果，当然这里要求熟练运用原函数的概念.
=exsin-d(sin)
=exsin-cosdx
注意到右端的积分与所给积分是同类积分，对其再分部，有：
=excos-(cos)
=excos+sindx
代入*式，有 sindx
　　　　　　=exsin-excos-sindx
移项合并，得
　　sindx=exsin-excos
　=exsin-excos+c
　=ex(2sin-cos)+c
　　考虑到积分dx或dx都是容易求的，寄希望于经微分运算化ex或sin为常数，
则问题化简.然而，运用分部积分法之后，不可能将ex或sin化掉，但由最终经二次分部
所得等式看到等式两端出现了同样的积分且符号相反，移项合并后，便可得积分结果.这种
情况，称为循环积分，这是一种特定问题的特定解法，其特点是经两次分部，循环回到原积分，
然后通过移项求解.
令 =t，x=t2，dx=2tdt
　　=?2tdt
　　=2?tdt
　　=2(-cost)
　　=-2tcost-2costdt
　　=-2tcost+2sint+c
　　=-2cos+2sin+c
　　首先应通过代换化去二次根式才会使积分简化，令=t，从而x=t2，dx=2tdt，代入使积分化为?2tdt，对此积分可用分部积分法求解.
设=t，x=t2，dx=2tdt
　　=2[tet-tdt]
先用第二换元法消除根式，再用分部积分法求解.
设t=lnx，dt=dx
　　=tlnt-
　　=tlnt-t+c
　　=lnxlnlnx-lnx+c
　　=(lnlnx-1)lnx+c
先换元使积分简化，再用分部积分法求解.
求(x2+1)dx=(
应填：xln(x2+1)-2x+2arctanx+c
　因为 (x2+1)dx
　　　=xln(x2+1)- ln(x2+1)
　　　=xln(x2+1)- dx
　　　=xln(x2+1)-2 dx
　　　=xln(x2+1)-2(x-arctanx)+c
设 (x)dx=xf(x)-dx
则f(x)=( )
应填：ln(x+)
将给出的等式与分部积分法公式比照：
(x)dx=xf(x)-dx
可以看出：μ=f(x)，ν′=1
　　　　　ν=x，μ′=
因 dx=ln(x+)+c①
所以 μ=ln(x+)
故 f(x)=ln(x+)
=-+xex-ex+c
本题用分部积分计算时，被积表达式因子较多，因此如何选择μ是关键问题.
若设μ=，dν=exdx
则dμ=dx，v=ex
μ的积分仍不易求出.
若设μ=x2ex，dν=dx
则dμ=xex(x+2)dx，v=-
μ看起来也很复杂，但μ能够化简，化简后的积分较易.
设t=，ex=t2+2，x=ln(t2+2)
　　=2(t2+2)dt
　　=2[tln(t2+2)-dt]
　　=2tln(t2+2)-4dt
　　=t-arctan+c1
　　=2tln(t2+2)-4t+4arctan+c
　　=2(x-2)(c=-c1)
　　此题为综合训练题.在解题过程中，运用了换元积分法和分部积分法.首先使用换元积
分法，使被积函数简化，这是重要的环节.
=-x2+xtanx-
=-x2+xtanx-dx
=-x2+xtanx+
=-x2+xtanx+ln|cosx|+c
注意到tan2x=sec2x-1
设x=2sect，则dx=2sect?tantdt
　　=?2sect?tantdt
　=?sec2tdt
　=?d(tant)
　=sect?tant-d(sect)
　=sect tant-
sect tantdt
　=sect tant-
　=sect tant-+
将第二项移到左端，得
　23xdx=secttant+ln|sect+tant|
　=2(secttant+ln|sect+tant|)+c1
　=2??+2ln|+|+c1
　=+2ln|x+|+c
　　　　　　　　　(c=-2ln2+c1)
先换元使被积函数简化，再使用分部积分法求解，并注意到不定积分公式(16)的利用.
已知函数f(x)的一个原函数为，则(x)dx=(
　=xf(x)-+c
而f(x)=()′
设=t，x=t2-1,dx=2tdt
　　=t?2tdt
　　=2(sint)
　　=2tsint-2
　　=2tsint+2cost+c
　　=2?sin+2cos+c
此题易误解为：
犯此错误的原因是微分法则不熟练，误认为d()=dx.
实际上 d()=dx.
=arctanxdx
=xarctanx-(arctanx)-(arctanx)
=xarctanx-dx-(arctanx)2
=xarctanx-d(1+x2)-(arctanx)2
=xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+c
对被积函数使用"加项减项"法，即对被积函数数的分子部分采用"加1减1"是解决问题的要点.求不定积分：（那个不定积分的符号不会打，用T代替） Tx^2*（1+x^2)^1/2dx； T(sinx)^2/(cosx)^3dx_百度知道
求不定积分：（那个不定积分的符号不会打，用T代替） Tx^2*（1+x^2)^1/2dx； T(sinx)^2/(cosx)^3dx
不定积分，用T代替）Tx^2*（1+x^2)^1&#47；T(sinx)^2/2dx：（那个不定积分的符号不会打
提问者采纳
(1+x²+1)^½(n-1)sinx/8ln[x+(x²t·dt
=1/2∫1&#47,得;]+C问题二;cos^4t-1/2∫1/4sint/tdt∫x²x+1&#47：∫1//cos&sup2问题一;cos^(n-1)x+(n-2)/)^½x·dx=∫(1-cos²(n-1)∫1/cos^4t－1/t·dt－∫1／cos³t／cos^5t·dt
=∫(1-cos²cosx·dx
1/cos²cosx·dx
=1&#47，我们运用到一个公式;tdt
=∫sin&sup2。证明就略去吧;cos²)^&frac12：∫x&sup2：解决这些问题;cosx·dx
= 1/x－1/+1)(x²x·dx
=∫1／cos³cos²(1+x²x－1/cos^4t-1/（1+x）^½cos^nx·dx=1/cos^(n-2)x·dx这个公式的证明可以运用分部积分法结合回溯求积分法来证明;x)/cos³x·dx－∫1/cos^4t－1&#47，则dx=sec²t－1/cos²+1)^½t·dt
=1/-1/4sint/·sect·sec²cos²2sint/8ln(sect+tgt)+C
=x/8sint/t·dt
=1／(5-1)sint／cos^4t+(5-2)/8sint/2ln(secx+tgx)+C注;故;4sint/
sect=（1+x）^½cosx·dx－ ∫1&#47，即;2sinx/t－1/cos³(5-1)∫1／cos³t+1/4{1/t)/8(2x²2sinx/cos^5t·dt
=∫1／cos^5t·dt－∫1／cos³dx=∫tg&sup2：令X=dx=1/4∫1／cos³2∫1/8ln(sect+tgt)+C由x=2sinx&#47，楼上的回答算什么呀：∫sin&sup2：sint=x／（1+x）^½
cost=1&#47。 还有，莫名其妙;4sint/cost·dt}
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感谢，感动
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