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2013硕士学位研究生入学资格考试GCT数学模拟试题与解析
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《2013硕士学位研究生入学资格考试GCT数学模拟试题与解析》是2013年出版的图书，作者是刘庆华、关治、扈志明。
2013GCT试题与解析
、关治、扈志明
　　作者：、关治、扈志明
图书详细信息：
　　ISBN：1　　定价：20元　　印次：1-1　　装帧：平装　　印刷日期：
　　本书根据的要求，编写了12套模拟试题.每套试题包含25道，其中算术、、几何与部分有15道题，一元函数微积分、两部分有10道题.书中给出了每套模拟试题的答案与解析过程，供考生们参考.　　本书可供准备参加的备考人员以及辅导教师使用.
本书是根据硕士学位研究生入学资格考试指南编写的数学辅导材料，以方便考生备考.　　按照现在的复习备考方式，大致将复习的过程分为三个阶段： 全面复习阶段、归纳总结阶段和冲刺阶段.在每个阶段考生所选用的辅导材料是有区别的.在全面复习阶段，一般选用涵盖考试大纲所涉及的知识点的教材（我们所编写的《2013硕士学位研究生入学资格考试　　GCT数学考前辅导教程》就是为此准备的），此阶段的主要任务是将要考的知识点搞清楚、弄明白，扫清知识上的盲点.在归纳总结阶段，是对前一阶段所复习知识的浓缩和提升，以便于自己从全局上把握所复习的知识，突出重点和难点.由于各自的知识背景和复习效果不同，所以浓缩和提升的程度也不同，因此，这一阶段可选择的材料较少，一些辅导教师开设串讲课来帮助备考者归纳总结，考生也可以根据自身特点，自己总结或提炼此阶段的复习材料和复习方法．在冲刺阶段，大多采取做模拟试题的方式，通过做模拟试题来检查自己对知识点的掌握程度以及灵活运用所学知识处理问题的能力，同时也可以从中发现自己的薄弱点，以便及时调整复习的方式和方法.很多考生在第二阶段就开始有针对性地做一些题目，帮助自己归纳总结，训练提高．另外，也可以通过做模拟试题来熟悉试卷的出题方式和应对考试的一些措施及技巧．　　为了便于考生检验全面复习阶段的效果，顺利、便捷地开展归纳总结阶段的复习，我们在编写的基础上，编写了本书，以帮助考生在备考阶段准备得更加充分，提升应试能力，以利在考试中取得好的成绩.　　考试大纲中关于数学内容的考试要求是： 测试考生所具有的数学方面的基础知识和基本思想方法，，数学运算能力，以及运用所掌握的数学知识和方法分析问题和解决问题的能力.据此，我们在模拟试题的选择上，既考虑到试题的知识覆盖面，又注意到难易程度，以利于考生通过做模拟试题能够全面检查对所复习知识的掌握程度.在模拟试题的设计上，既侧重知识的重点和难点，也注意考查重点和难点的方式与方法，以便于考查考生对重点和难点的掌握程度以及对这些知识点的灵活运用情况.根据考试指南的要求，我们在此模拟试题集中编写了12套模拟试题.每套试题包含25道单项选择题，其中算术、初等代数、几何与三角三部分有15道题，一元函数微积分、线性代数两部分有10道题.在书的后半部分给出了每套模拟试题的答案与解析过程，供考生们参考.　　由于GCT在国内是一种类型比较新颖的考试，准备与准备传统的考试有所不同，为了使考生尽快地熟悉和掌握这一考试形式，对过去的考题做一点总结和分析是十分必要的．下面用表格的形式将过去10年中数学基础能力测试题涉及的知识点　　加以汇总，以便考生能够清晰地了解考点的分布情况以及各考点的出题频次，更有针对性地进行复习备考．　　科目内容具体知识点出题年份　　算术　　数的概念与运算数的概念与性质，　　分数运算，2011　　比与的运算，，，，　　算术表达式求值，，，，2012　　简单应用问题，2008　　运动问题，，2011　　求单位量与求总量的问题，2012　　其他问题　　初等代数数与、开方运算2003　　的概念与性质，2012　　复数的基本概念与简单运算，，，，2012简单代数公式，，2011集合与函数集合与函数的基本性质，，，2012　　和一元，，2010　　2007　　一元二次函数，，2012不等式　　数列，，，　　排列、组合、组合公式，2009　　问题的概率，，，　　简单概率公式　　几何与三角　　求面积问题，，，，　　求长度问题，　　求角度问题，空间，，，，　　特殊角的，，续表　　科目内容具体知识点出题年份　　几何与三角平面直线问题，，，2012　　平面几何与平面解析几何的综合题，，　　问题，，，2012　　一元函数　　微积分　　函数、极限、连续函数，　　极限，，　　连续2007　　导数与微分的概念与运算基本概念，，，2012　　运算，，2012导数的应用利用导数判定、求极值，，，，，，　　分部积分与换元积分　　定积分的概念与性质，，　　定积分的运算，，，，　　定积分的应用，2010　　线性代数行列式的性质及计算，，　　矩阵矩阵的运算与性质，，，2011　　，，2012　　向量组与　　秩与，2010　　，　　，，2012　　矩阵的和基本概念与运算，，2012　　可对角化的充要条件，，2011由于GCT考试是只有四选一这种形式的，考生除了复习好有关的内容，掌握基本的分析问题和解析问题的常用方法外，还应了解处理选择题时的一些解题技巧．下面就以一些题目为例，简要地介绍几种技巧．　　一、 　　由于在GCT考试中四个选项中有且仅有一个选项正确的，所以如果能将错误的排除，剩下的自然就是正确选项．大部分情况下，即使只排除掉一两个错误选项，对找到正确选项也是很有帮助的．因此排除法是处理选择题的一个有效方法．　　1. (2006)矩阵A=20000101x　　,　　B=2000y000-1　　,　　若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中．　　(A) x=1,y=1　　(B) x=0,y=1　　(C) x=-1,y=0　　(D) x=0,y=-1　　由矩阵的特征值的和等于其对角元素和的性质，以及A，B两矩阵的特征值相等可得　　2+0+x=2+y-1,即x=y-1.　　从而可得只有选项(B)，(C)满足此条件，于是排除了选项(A)，(D).　　如果选选项(C)，则矩阵B有零特征值，故矩阵　　A也应有零特征值，由此可得矩阵A的行列式应等于零.但实际计算得|A|=-2，所以排除选项(C).故正确的选项为(B).2. (2005)三个不相同的非零实数a,b,c成等差数列，又a,c,b恰成等比数列，则等于．　　(A) 4(B) 2(C) -4(D) -2　　根据条件可知c2=ab，从而ab&0，所以选项(C)，(D)错误．又=a+c，即2=ab+，且cb≠0，所以ab≠2，故选项(B)错误．即正确选项为(A)．　　3. (2007)limx→1=4，则必定．　　(A) f(1)=4　　(B) f(x)在x=1处　　(C) 在x=1的某(x≠1)，f(x)&2　　(D) 在x=1的某邻域(x≠1)，f(x)≠4　　取f(x)=2(x2-1)x-1排除选项(A)，取f(x)=4排除选项(B)，(D)．故正确选项为(C)．二、 特殊值代入法　　题目中给出的大多是一些满足一定条件的变量或函数．对这些量成立的结论对满足这些条件的特殊数或自然也成立．通过选取合适的特殊值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一．　　1. 设a,b,m均为大于零的实数，且b&a，则a+mb+m与ab谁大？.　　(A) 前者(B) 后者(C) 一样大(D) 无法确定　　对于此题，如果令a=1,b=2,m=1,及23&12，便知选项(A)正确．　　2. (2008)　　设　　f(x)=　　x,x&0，1-x,x&0,则有．　　(A) f(f(x))=(f(x))2(B) f(f(x))=f(x)　　(C) f(f(x))&f(x)　　(D) 　　f(f(x))0,则f(c)=c&0,于是f(f(c))=f(c)=c.只要c≠1,则(f(c))2=c2≠c=f(f(c)).所以正确的选项为(B)．3. (2005)设f(x)在点x=0处，且f1n=2n(n=1,2,…)，则f′(0)=．　　(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3　　作为选择题，本题的简单方法是取f(x)=2x，则f(x)满足题中条件，且f′(x)=2，特别地有f′(0)=2．故选项(C)正确．　　4. (2012)　　若a,b,c分别为△ABC的三边之长，则|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=　　．　　(A) a+b-c　　(B) b+c-a　　(C) 3a-b-c　　(D) 3c-a-b　　既然这里是对一般三角形来讲的，那么，对于特殊的三角形自然成立.最简单的三角形是各边长均为1的.但这样取时，区分不出各个选项.可取一个特殊的，即各边长分别为3，4，5的直角三角形.　　取a=3,b=4,c=5，则|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=|3-4-5|+|4-5-3|-|5-3-4|=6+4-2=8,a+b-c=3+4-5=2,b+c-a=4+5-3=6,3a-b-c=3×3-4-5=0,3c-a-b=3×5-3-4=8.　　故正确的选项为(D).5. (2006)设n为，在1与n+1之间插入n个，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于．　　(A) (1+n)n2　　(B) (1+n)n　　(C) (1+n)2n(D) (1+n)3n　　取n=1，则数列为1,2,2，插入的数为2=(1+1)12．易知选项(A)正确．　　6. (2007)行列式1　　01x1　　1x10　　101x展开式中的为．　　(A) 4(B) 2(C) 1(D) 0　　行列式x101　　01x1　　1x10　　101x的常数项是它在x=0时值，即0101　　0101　　1010　　1010，由于此行列式的第一行与第二行相同，故其值为0．即选项(D)正确．　　7. （2009）设x2a2-y2b2=1(a&0,b&0)的左、右焦点分别是F1和F2．若P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段PF2为直径的圆与以该双曲线实轴为直径的圆的位置关系是．　　(A) 相离（B） 外切(C) 相交(D) 内切　　作为选择题，不妨选一特殊的双曲线和特殊的P点．例如，取a=3，b=4，则右焦点F2为（5,0）．再取双曲线右支上与F2具有相同的一点P5，163，则以PF2为直径的圆的圆心坐标为M5，83，半径为83．以实轴为直径的圆的圆心为O(0,0),所以两圆圆心距离为　　|OM|=52+832=32+2×3×83+832=3+83,　　即两圆圆心间的距离等于两圆的半径之和，所以两圆．故（B）选项正确．　　三、 选项代入法　　对于选择题来说，题目中的选项也包含许多可以利用的信息，比如将题中给出的选项代入题干中进行验证就是处理选择题的一个常用方法．1. (2004)设a,b,c均为正数，若ca+b2011-12，则A的对应于特征值2的一个特征向量是．　　(A) 1　　0　　1(B) 1　　-1　　0　　(C) 0　　1　　-1(D) 1　　1　　0　　本题根据特征值和特征向量的定义，利用选项代入法易知正确选项为(D)．　　3. ∫+lnxdx=()+C (C为常数)．　　(A) ex2(B) 12ex2(C) 2ex2(D) (1+2x2)ex2　　由于(ex2)′=2xex2≠xex2，所以排除掉选项(A)； 由于12ex2′=xex2=ex2+lnx，所以选项(B)正确．　　4. (2007)方程x+y-2+|x+2y|=0的解为．　　(A) x=0y=2(B) x=3y=1(C) x=2y=3(D) x=4y=-2　　易知x=0,y=2,x=3,y=1与x=2y=3都不满足方程，所以正确选项为(D)．四、 　　许多情形是密切结合的．借助图形可以直观地理解数（函数）所反映的内容，因此，可以将题目与题目中所涉及的函数所对应的图形结合起来，寻找解题的捷径.　　1. 要使方程3x2+(m-5)x+m2-m-2=0的两个实根分别满足0&1和1&2，实数m的取值范围是.　　(A) -2&-1(B) -4&-1　　(C) -4&-2(D) -3&1　　这里主要考查二次函数（方程）的性质．如果用一元二次方程根与系数的关系解题，比较烦琐，我们不妨结合图形解题．如例图1所示，设例图1　　f(x)=3x2+(m-5)x+m2-m-2，则f(x)开口向上，与x轴交于（x1,0）和（x2,0）两点，有　　f(0)&0,f(1)&0,f(2)&0．从而有m2-m-2&0,m2-4&0,m2+m&0．由此可确定出-2&-1．故应选(A).　　2. (2011)　　一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长为3.将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出.当容器中剩下的水为原来的　　23　　时，圆柱的母线与所成的角等于．　　(A) 75°　　(B) 60°　　(C) 45°　　(D) 30°　　例图2　　此题给人的第一感觉是无从下手.但将题目转化为图形后，很快就可以找到解题思路.如例图2所示，假想倾斜圆柱形容器使线段AC与水平的桌面平行，则显然流出的水为原来容器内水的一半.受此启发，可先找出当圆柱形容器直立放置时，总容积13处所对应的位置,即EF直线处(高为1的位置),则EF直线以上部分的容积为总容积的23.将容器倾斜使线段AE与水平的桌面平行,则流出的水为EF直线以上部分的容积的一半,即容器中剩下的水为原来的23.这时由题设知EF=2,而AF=2,△AEF为直角三角形,所以∠EAF=45°.故正确的选项为(C).例图33. (2006)P(a,b)的内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如例图3所示，则ba的最大值与最小值依次是．　　(A) ,qn(B) qm,　　(C) qm,qn(D) pm,pn　　由例图3可知，比值ba是直线OP的斜率，当点P与点A重合时取得最大值pm，当点P与点C重合时取得最小值qn，故正确选项为(A)．　　4. (2009)在边长为10的正方形ABCD中，若按例图4(a)所示嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四个顶点落在大正方形的边上，则这6个小正方形的面积之和是．　　(A) 321625（B） 3015（C） 3245（D） 3045　　本题初看似乎无从下手，但做出如例图4(b)中所示的后，借助所得到的一些全等直角三角形，可以很容易地看出这些全等直角三角形与正方形ABCD之间的关系，这样问题就迎刃而解了．具体求解过程如下．　　作如例图4（b）所示的辅助折线，显然所得的小直角三角形与直角△DMN及△BPQ全等．设小直角三角形的两条直角边的长度分别为a,b，则5b=10,5a+2b=10，所以b=2，a=65．从而a2+b2=25,所求面积之和是6×．　　故正确选项为(A)．例图4从已举行的10次GCT考试汇总情况来看，尽管25道题都是4选1的单项选择题，但在45分钟内完成这些题目，时间还是很紧张的．因此考生在做这些模拟试题时，最好按正式考试的要求来做，即在45分钟内做完一套模拟试题，然后再核对答案，进行分析总结．而不要一遇到疑难问题就停下来，翻看答案和解析过程．这样才能真正体现出模拟试题的效用．　　由于编者的经验和水平所限，书中难免会有疏漏和不足之处.欢迎广大读者、辅导教师及各方面的专家批评指正.　　编者2013年3月
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&sin81°=0.987
&sin82°=0.990
&sin83°=0.993
&sin84°=0.995
&cos9°=0.987
&cos8°=0.990
&cos7°=0.993
cos&6°=0.995难度：0.31真题：15组卷：4325．如图①的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图②，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图①所示，求折叠进去的宽度；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图①所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由．难度：0.46真题：9组卷：2426．如图，在平面直角坐标系中，点D为y轴上一点，⊙D与坐标轴分别相交于A（-，0）、C（0，3）及B、F四点．（1）求⊙D的半径．（2）E为优弧AB上一动点（不与A，B，C三点重合），M为半径DE的中点，连接M0，若∠MOD=α°，弧CE的长为y，求y与α之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点E作EN⊥x轴于点N连接MN，当∠ENM=15°时，求E点的坐标，并判断以DE为直径的⊙M与直线DN的位置关系．难度：0.61真题：5组卷：4127．已知，A（3，a）是双曲线y=上的点，O是原点，延长线段AO交双曲线于另一点B，又过B点作BK⊥x轴于K．（1）试求a的值与点B坐标；（2）在直角坐标系中，先使线段AB在x轴的正方向上平移6个单位，得线段A1B1，再依次在与y轴平行的方向上进行第二次平移，得线段A2B2，且可知两次平移中线段AB先后滑过的面积相等（即?AA1B1B与?A1A2B2B1的面积相等）．求出满足条件的点A2的坐标，并说明△AA1A2与△OBK是否相似的理由；（3）设线段AB中点为M，又如果使线段AB与双曲线一起移动，且AB在平移时，M点始终在抛物线y=（x-6）2-6上，试判断线段AB在平移的过程中，动点A所在的函数图象的解析式；（无需过程，直接写出结果．）（4）试探究：在（3）基础上，如果线段AB按如图2所示方向滑过的面积为24个平方单位，且M点始终在直线x=6的左侧，试求此时线段AB所在直线与x轴交点的坐标，以及M点的横坐标．难度：0.31真题：4组卷：77您可能喜欢喜欢该试卷的人也喜欢
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&&&&，V2.22550【图文】2012GCT试题_百度文库
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2012GCT试题
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按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
延长BG，交AE与点C，∵∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC∴CE=5∵△CED是等腰直角三角形，∴CD=52∵CD=GF，∴中间的小正方形的边长是52，因而周长是202．故答案为202
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据魔方格专家权威分析，试题“按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小..”主要考查你对&&勾股定理，正方形，正方形的性质，正方形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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勾股定理正方形，正方形的性质，正方形的判定
勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。正方形的性质：1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°；3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。8、正方形是特殊的长方形。正方形的判定：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 1：对角线相等的菱形是正方形。2：有一个角为直角的菱形是正方形。3：对角线互相垂直的矩形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。有关计算公式：若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；正方形周长计算公式: C=4a 。S正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）
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