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数列解题常见易错点分析
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凤凰博报微信等比数列在实际问题中的应用说课稿
中专数学说课稿 《等比数列在实际问题中的应用》说课稿
一．说教材
首先我对教材做个分析，在上这节课之前，同学们已经通过求指数函数的反函数得到了对数函数，掌握了对数的运算法则，学会了用计算器求常用对数。
本节课的教学目的是建立与复利、增长率问题有关的函数关系式，并能用对数计算结果，最终培养学生的运算能力、思维能力和分析问题解决问题的能力，培养运用数学于生活的意识，形成不畏困难，合作探究的学习精神。
教学重点是培养学生解决实际问题的能力和对数的运算。
教学难点是把实际问题数学模型化。
二．说教法
在教法选择上。我使用实践教学法，在平时教学中就安排实习作业，让学生到生活中调查了解函数的应用，并努力建立函数关系式。
讲授复利问题和增长率问题时，使用启发讲授法、分组讨论法和练习法，探索推导出求幂、求底数、求指数三类问题的解法。
另外使用多媒体辅助教学法，既可以减少教师板书，节省时间，又可以标出关键知识点，促进同学们的注意理解。
三．说学法
学法指导方面我以元认知理论为基础，强化自我监控，采用&发声思维法&、&自我提问法&和&思维日记法&辅导学生学习，使其形成良好的自学习惯和思维方式。让学生经历&观察&&分析&&归纳&&应用&&转化&的学习过程，形成怎样的数学思想。
四．说程序
（1）课题的引入&&&折纸游戏&，
首先和同学们玩个&折纸游戏&，请同学们把一张纸连续对折30次。试一试，结果很惊人哟！
这是一个等比数列的问题。
a1=1 , q=2 , n=31 ，求an
an=a1&qn-1=1&230=1.07&109（层）=107(千米)
每层纸大约0.1毫米
（2）&国王的赏赐&
传说西塔是古印度国王的宰相，他发明了国际象棋而使国王舍汉王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：&我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了&。
舍汉王想，区区几粒麦子，这有何难，于是命令仆人如数付给西塔。
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2&粒，&还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。
到底需要多少粒麦子呢？我们来用学过的知识研究一下：
这是一个什么问题呢？
请同学回答，分析，这是一个等比数列求和的问题。
a1=1 , q=2 , n=64 ，求Sn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(粒)=1.84&1019(粒)
原来，所需麦粒总数为： 1840亿亿粒
这些麦子究竟有多少？按照世界粮农组织2007年世界粮食产量的统计，要生产这么多的麦子，全世界要两千年。
尽管舍汉王非常富有，但要拿出这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，国王就欠了西塔好大一笔债。
（3）复利问题
复利是把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是一种复利，更为典型的就是大家常在电视中看到高利贷。
例1：本金10000元，每年利息3.33%，计算五年后的本息和是多少？
这还是一个等比数列的问题。
a1=10000 , q=1.0333 , n=6 ，求an
an=a1&qn-1=35=11780（元）
答：五年后的本息和是11780元。
注意让学生掌握q=1+0.0333，而不是0.0333，也不是3.33；
n是6而不是5，这是这类问题的重点。
接着安排练习让学生巩固刚刚学到的知识。
（1）如果嫌增长速度太慢，用10000元投资某种理财产品，年收益15%，计算五年后的本息和是多少？
a1=10000 , q=1.15 , n=6，求an
an=a1&qn-1==20113（元）
答：五年后的本息和是20113元。
（2）如果把这10000元按15%的年收益从你开始工作时投资，以60年计算，60年后的本息和是多少？
a1=10000 , q=1.15 , n=61，求an
an=a1&qn-1=0=（元）=4384（万元）
答：60年后的本息和是4384万元。
借此鼓励学生好好学习财经知识，如果将来有机会进入金融部门工作，好好发挥专长，为自己，为大家创造财富。
（4）工资增长问题
例2.张明今年学校毕业，有两个单位都愿意聘用他，甲公司工作稳定，第一年的月薪是1500元，以后每年涨150元，而乙公司老板说，我们正处于发展阶段，今年只能给你每月1250元，但以后每年可以比上一年涨20%，
试计算（1) 张明选择甲公司，他第三年、第八年的月薪分别是多少？如果他选择乙公司呢？
解：选择甲单位是等差数列问题。
& a1=1500 , d=150 , 求a3 、a8、
& an=a1+（n-1)d
& a3 =)&150=1800（元）
& a8 =)&150=2550（元）
& 选择乙单位是等比数列问题。
& a1=1250 ,q=1+20%=1.2 , 求a3 、a8、
& an=a1&qn-1
& a3 ==1800（元）
& a8 ==（元）
& 答：张明选择甲公司，他第三年、第八年的月薪分别是1800元和2550元，如果选择乙公司，他第三年、第八年的月薪分别是1800元和元。
& （2）张明选择甲公司，他前三年，前八年的工资总额分别是多少？如果选择乙公司又分别是多少呢？
& 解：选择甲单位是等差数列问题。
& a1=18000 , d=1800 , 求S3 、S8
& s3 =59400 （元）
& s8 =194400（元）
& ：选择乙单位是等比数列问题。
& a1=15000 , q=1.2 , 求S3 、S8、
& Sn=a1(1-qn)/(1-q)
& s3 =54600 （元）
& s8 =（元）
& 答：张明选择甲公司，他前三年、前八年的工资总额分别是59400元和194400元；张明选择乙公司，他前三年、前八年的工资总额分别是54600元和元。（3）请你根据上述计算结果，为张明分析一下，他究竟应该选择哪家公司？
①要掌握用等比数列知识解决复利、增长率问题的数学模型。尤其要注意公比q和项数n的选取。
q应该是1+利率（或1+增长率）；
n要特别注意第一年和最后一年都要算进去。
②要分清等比数列和等差数列，建立不同的数学模型。
通过实际问题发现等差数列和等比数列的不同特点。
③做实际应用问题要抓住实质，做到分析要全面，解题要仔细，过程要完整。
（6）布置作业：
自己在生活中找二个与复利问题类似的例子，编题并求解。
板书的设计，整个教学过程基本由计算机和投影仪演示完成，把不必要浪费的抄写题目时间省去，又把必须要强调的解题思路着重标明，达到事半功倍的效果，黑板上主要让学生板演解题过程。
首先我总结同学们的实习作业，表扬同学们的探索精神，如&同学举出的火车票价和里程的关系，&同学的买文具费用和件数的关系，&同学的存款本息和与年数的关系，甚至踢球力气和飞行远近的关系，奶油蛋糕大小和奶油多少的关系，要保护这些有创造性的想法。
接下来切入正题，有些问题已经被同学自己解决了，比如买文具费用和件数的关系，实质是一个正比例函数，只不过定义域是正整数，而有些问题，比如存款本息和与年数的关系，这位同学还解决不了，我们这节课就首先来帮他解决。
（我觉得这样引入新课可以调动学生学习的积极性，增进学习数学的兴趣，引发有益的思考，充分感知数学与生活的密切联系。）
然后对学生所提出的问题进行剖析，肯定这是个复利问题，讲解复利概念：
复利是把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是一种复利，更为典型的就是大家常在电视中看到高利贷。
例1：本金10000元，每年利息1.98%，计算五年后的本息和是多少？
同学们讨论后大都采用了逐年计算的办法，这样做可以得到结果，但太繁，我在教学中就适时启发他们观察数学式子的特点，归纳解题的方法。再把这个问题数学符号化：原来的本金是N元，年利率是p，则对于存期x的本息和y，可以建立怎样的函数关系式呢？在教师的启发引导下学生归纳出函数关系式：y=N（1+p）x
趁学生学会了一道题，兴趣正浓时，教师继续抛出新问题：
如果按这种方法存，想本息和达到20000元，要多少年？
利用刚刚得到的函数关系式，同学们应不难得到关系式，但怎么求x呢？启发学生这是已知底数和幂求指数的问题，应该用对数。
接着安排练习让学生巩固刚刚学到的知识。
（1）如果某投资基金年收益4.5%，问多少年可以翻番？
（2）如果嫌增长速度太慢，想在10年翻番，问要投资的基金产品年收益要达到多少？
这两道题，第一题是&照猫画虎&，不难；第二题是&依葫芦画瓢&，是已知指数和幂求底数的问题，对数运算方法与例题有所区别，有一定难度，教师需要在学生做题时个别辅导，做到因材施教。
这道例题我在教材的基础上作了一些改动，将求幂、求指数和求底数放到一起对比讲解练习，有利于学生弄清问题的实质，学会用数学方法解决实际问题。
接下来提出增长率问题。
例2：1980年，当时的国务院总理邓小平同志在会见来访的英国首相撒切尔夫人时说：&我国的人均GDP今年是250美元，到本世纪末要达到1000美元，让人民过上小康生活。&小平同志的话已经成为现实，那么这20年我国的年均GDP增长率是多少呢？
我编制这个例子有两个目的：一是引导同学们建立函数关系式并让他们发现增长率问题和复利问题是同一个数学模型，培养用数学方法解决实际问题的能力；二是培养同学们的爱国热情和为祖国发展和个人幸福而努力学习的信心。
解完例题后，继续给出系列问题，让学生巩固用对数函数解决实际问题。
（1）2000年，新一代领导集体提出到2020年达到中等收入国家水平（世界银行把GDP3030美元作为中等收入国家标准），那么我国的年均GDP增长率要达到多少呢？
（2）如果2000年以后仍能保持上世纪的增长速度7.2%，到哪一年可以达到中等收入国家水平？
总结阶段教师应该讲清以下几点：
（1）在生活中遇到问题应试图用数学方法解决，这样既可以在玩中学，加深对书本知识的理解，又可以培养自己的数学素质，毕业后能较好地适应社会的需要。
（2）做实际应用问题要抓住实质，做到分析要全面，解题要仔细，过程要完整。
（3）本节涉及到较多的对数运算，要记住公式的特点，经常巩固。
最后布置作业：
自己在生活中找一个与复利问题类似的例子，编题并求解（要求有求幂、求底数、求指数三种类型）。
五．说板书
板书的内容，摆放的格局，目的。一般板书的作用是提示和示范，保留思维痕迹，让学生的思维连贯，便于延伸性学习。
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