等比数列的前n项和
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.
当q≠1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+…+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的；最后从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.
求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：
当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
&&& =a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn
&&& =a1+q·Sn-a1qn
&&& =a1(1-qn)+q·Sn
∴(1-q)Sn=a1(1-qn),
在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+xn，认为其和为是错误的.
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,
(q3-1)(2q3+1)=0.
因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-，
解法二：因为S3+S6=2S9，所以
2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),
此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，
-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，
由此解得q3=-,q=-.
评析& 在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.
例2& 设等比数列的首项为a(a＞0)公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.
解：由Sn=80,S2n=6560,故q≠1
化简得3a=2q&&&&&&&& ⑥
由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3
例3& 等比数列｛an｝的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求S.
分析& 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.
解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，
由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.
将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.
例4& 求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n项和Sn.
分析& 要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.
解：据题设条件分析可知：
an=an-1+an+an+1+…+a2n-2
①当a=1时，an=n,∴Sn=.
②当a≠1时，Sn==-.
(1)当a≠±1时，Sn=［-］
=［(1-an)(1-an+1)］
(2)当a=-1时，Sn=［+n］
评析& ①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.
②在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论.
分析& 一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q表示出来，进行对比，兴许有点门道.
评析& 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：
S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+q10S10=S10(1+q10),
例2& 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，求证：S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
分析& 从整体结构入手，寻找Sn、S2n、S3n之间的关系，作差计算，不仅简便，而且求解过程完备.
解：设｛an｝的公比为q,则
S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn)
S3n=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n)
∴S2n+S22n-Sn(S2n+S3n)
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［(1+qn)+(1+qn+q2n)］
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［1+(1+qn)2］
∴S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
评析& 本题的结论是等比数列的又一性质：(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
例3& 已知数列｛an｝满足条件：a1=1,a2=r(r＞0)，且｛anan+1｝是公比为q(q＞0)的等比数列.设bn=a2n-1+a2n，求数列｛bn｝的前n项和Sn.
分析& =q=q=q.
解：∵=q&&&&&& ∴an+2=anq，
且q≠0,b1=1+r≠0
∴｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，
评析& 解题的关键是等比数列｛bn｝的发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.
;S14=;S21=;
可得S7(S21-S14)=(S14-S7)2.
也可以这样证明：S14-S7=(a1+a2+…+a14)-(a1+a2+…+a7)
=a8+a9+…+a14
=a1q7+a2q7+…+a7q7
=(a1+a2+…+a7)q7
同理可得S21-S14=q14S7
因此S7(S21-S14)=(S14-S7)2
可类似证明Sk,S2k-Sk,S3k-Sk成等比数列.
＞log0.5Sn+1.
分析& 只需证明SnSn+2＜S2n+1.
解：∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1
∴S2n+1-SnSn+2
=Sn+1(a1+qSn)-Sn(a1+qSn+1)
=a1(Sn+1-Sn)=a1an+1＞0
∴SnSn+2＜S2n+1
∴log0.5(SnSn+2)＞log0.5S2n+1.
∴＞log0.5Sn+1.
评析& 由a1＞0，q＞0及qSnSn+2=qSn(a1+qSn+1)＜a1qSn+1+q2SnSn+1=qS2n+1，亦可推得SnSn+2＜S2n+1.
例2& 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
分析& 由条件式建立一个关于q的方程.
解：若q=1,则S3+S6-2S9=-9a1≠0，与题设矛盾，故q≠1.
从而，依题意得
整理得q3(q3-1)(2q3+1)=0,
∵q≠0,q≠1
∴2q3+1=0,
评析& 解题过程中运用了分类讨论的思想.
例3& 设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有自然数n，an与2的等差数列等于Sn与2的等比中项.
(1)写出｛an｝的前3项.
(2)求｛an｝的通项公式(写出推理过程).
(3)令bn= (+),n∈N
求证：b1+b2+…+bn-n=.
解：(1)当n=1时，有
∴=.∴a1=2.
当n=2时有=,而S2=a1+a2=2+a2
∴a2=6或a2=-2(舍)
当n=3时，有=
而S3=a1+a2+a3=8+a3
∴=.∴a3=10.
故前3项为2，6，10.
(2)由题意有= (n∈N+)
∴Sn= (an+2)2.
由此知Sn+1=(an+1+2)2.
∴an+1=Sn+1-Sn=［(an+1+2)2-(an+2)2］
整理得& (an+1+an)(an+1-an-4)=0
而&&&&&&&&& an+1+an≠0
∴an+1-an=4& ∴｛an｝为等差数列，其中a1=2，d=4
∴an=a1+(n-1)d，∴an=4n-2
(3)令cn=bn-1，则b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
且cn= (+-2)
∵an=4n-2,an+1=4n+2
∴cn=［(-1)+( -1)］=-
∴b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
& =(1-)+(-)+…+(-)
∴b1+b2+…+bn-n=
评析& ①已知an与Sn的混和递推关系，一般有两条途径可供转化.均是利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，一条路可转化为关于an与an-1的递推关系，另一条路是转化为关于Sn与Sn-1的递推关系.如本例就是转化为an的.又如：已知数列｛an｝的前n项和满足S1=4，当n≥2时，an=，试求｛an｝的通项公式.读者不妨去试一试!
②在(3)题中，数列求和的方法是裂项法.
例4& 已知等差数列｛an｝的第二项a2=5，前10项之和S10=120.若从数列｛an｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…第2n项，按原来顺序组成一个新数列｛bn｝，且这个数列的前n项之和为Tn，试比较Tn+1与2Tn的大小.
解：设｛an｝的公差为d,
∴& ∴an=3+(n-1)·2=2n+1
数列bn==2·2n+1
∴Tn=n+2(21+22+23+…+2n)
& =n+2·=2n+2+n-4
Tn+1-2Tn=(2n+3+n-3)-2(2n+2+n-4)
当n＞5，n∈N时，
Tn+1＜2Tn，当n=5时，Tn+1=2Tn
当1≤n≤5时，即n=1,2,3,4时，Tn+1＞2Tn.
p＝ (an-p);
解：(1)由题意a1＝P·40%＝0.4P.
a2＝a1+(P-a1)20%-a15%＝0.5P
a3＝a2+(P-a2)20%-a25%＝0.575P
(2)一般有an+1＝an+(P-an)20%-an5%＝an+P
∴& an+1-P＝an-P＝ (an-P)
(3)∴& ｛an-P｝是以a1-P＝-P为首项，为公比的等比数列，
∴& an-P＝-P()n-1.
∴& an＝P-P()n-1.
，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于(&&& )
A.100&&&&&&&&&& B.80&&&&&&&&&&& C.60&&&&&&&&&&& D.40
3.一个等比数列，它的前n项和Sn=abn+c，其中a、b、c为常数且a≠0，b≠0且b≠1，则a、b、c必须满足(&&& )
A.a+b=0&&&&&&&& B.b+c=0&&&&&&&& C.a+c=0&&&&&&&& D.a+b+c=0
4.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于(&&& )
A.70&&&&&&&&&&& B.90&&&&&&&&&&& C.100&&&&&&&&&& D.120
5.一个等比数列｛an｝的首项为a1=2，公比q=3，从第m项到第n项(m＜n)的和为720，则m的值为(&&& )
A.3&&&&&&&&&&&& B.4&&&&&&&&&&&& C.5&&&&&&&&&&&& D.6
6.数列｛an｝是由实数构成的等比数列，Sn=a1+a2+…+an，则数列｛Sn｝中(&&& )
A.任一项均不为0&&&&&&&&&&&&&&&& B.必有一项不为0
C.至多有有限项为0&&&&&&&&&&&&&& D.或无一项为0，或有无穷多项为0
7.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为(&&& )
A.2200元&&&&&&& B.900元&&&&&&&& C.2400元&&&&&&& D.3600元
8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n项和Sn等于(&&& )
A.2n&&&&&&&&&&& B.2n-n&&&&&&&&& C.2n+1-n-2&&&&&& D.n-2n
9.一个等比数列｛an｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an+1为(&&& )
A.&&&&&&&&&&& B.&&&&&&&&&&& C.20&&&&&&&&&&& D.110
10.已知等比数列｛an｝中，an=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(&&& )
A.3n-1&&&&&&&&& B.3(3n-1)&&&&&& C.&&&&&&& D.
二、填空题
1.已知lgx+lgx2+…+lgx10=110,则lgx+(lgx)2+…+(lgx)10=&&&&&&&&&&&&&&&&&
2.在等比数列｛an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则n=&&&&&&&&&&&&&&&&& .
3.S=1+a+a2+a3+…+a10=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
4.等比数列首项为2，公比为3，从前&&&&&&&&&&&&&& 项的和开始大于100.
三、解答题
1.已知等比数列｛an｝的首项a1＞0，公比q＞0.设数列｛bn｝的通项bn=an+1+an+2(n∈N+)，数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为An与Bn，试比较An与Bn的大小.
,,…, 恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn的值.
三、1.1°q＞时，Bn-An＞0，得Bn＞An
2°q=时，Bn-An=0，得Bn=An.
3°0＜q＜时，Bn-An＜0，得Bn＜An.
3.解：(1)2n+1& (2)Tn=(n-1)2n+1+2.
【素质优化训练】
1.略&&& 2.前5项的和最大.
【生活实际运用】
1.解：(1)1998年的产量a6=1633(千克)&
到2000年底的总产量S8=·2=50(千克).
2.解：(1)设某君有人民币a元，若长期储蓄，则x年后人民币总额为y=a(1+0.06)x，即y=1.06x·a.
若购买股票，则x年后利息和红利总额为
y=［0.24+0.24(1+0.06)+0.24(1+0.06)2+…+0.24(1+0.06)x-1］a
即y=4(1.06x-1)a.
(2)由1.06x·a=4(1.06x-1)a，得1.06x=，两边取以10为底的对数，得
x==≈4.9368.
即大约经过5年，股票与储蓄拥有的人民币相等.数学数列问题求和1乘以4+2乘以5+3乘以6+···+n乘以（n+3)
麻烦问下下面的n(n+1)乘以(+2)除以6+3乘以n乘以(n+1)除以2
是怎么得到的?
麻烦叙述每一步的道理!
详细再详细点 ! 谢谢
一七九pXbH
你题目叙述的好像不清晰呀
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数列An中，A1=2,A(n+1)=An+4^n
2^n(表示2的n次方）求数列An的通项公式。
当n大于等于2时
An=（An-A（n-1））+（A（n-1)-A(n-2))+...+(A2-A1)+A1
=4^(n-1)+4^(n-2)+...+4+2
后来无法化成一般规律式
，请解答，过程请详细些，谢谢！
高中数学[沪江网校]量身定制属于你的高考学习方案,针对学生的薄弱环节,在短时间快速提高考试成绩,学员可根据自己的需求,定制学习时间,随时随地,想学就学
看你用累加法，对的。然后等比数列求和公式。
不好意思，请问等比数列是怎么证出来的？
不好意思。不明白你问的“等比数列是怎么证出来的”？
不好意思，题目好像并未说明是等比数列啊，还有，请不要说这是显而易见的。
4^(n-1)+4^(n-2)+...+4+2你的这一步不就是等比数列求和吗？
好吧，麻烦告诉我怎么证它是等比数列，我不擅长那个。
从4开始到4^(n-1)，每相邻两项的商都是定值4，说明用等比数列求和公式。
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南京市2016届高三数学三模试卷（含答案）
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南京市2016届高三年级第三次模拟考试&&&&&&&&&&&& 数&& 学&&&&&&&&&&& 2016.05注意事项：1．本共4页，包括题（第1题~第14题）、（第15题~第20题）两部分．本满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1n i＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1n i＝1∑nxi．一、题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若∁UM＝{2，5}，则实数a的值为▲________．2．设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数 的共轭复数为&& ▲&& ．3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手&第1轮&第2轮&第3轮&第4轮&第5轮甲&9.8&9.9&10.1&10&10.2乙&9.4&10.3&10.8&9.7&9.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是&& ▲&& ．6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；& ②α⊥β⇒l∥m；& ③m∥α⇒l⊥β；& ④l⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填写所有正确命题的序号)．
7．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则a8a6＝&& ▲&& ．8．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．9．如图，已知A，B分别是函数f(x)＝ 3sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是▲________．
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM→＝2MD→．若AC→•BM→＝－3，则AB→•AD→＝▲________． 12．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为▲________．13．设函数f(x)＝x－1ex，x≥a，－x－1，x＜a，g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为▲________． 14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为▲________．二、（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m•n＝3bcosB．（1）求cosB的值；（2）若a，b，c成等比数列，求1tanA＋1tanC的值．
16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．& （1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若A1B∥平面ADC1，求BDDC的值．&
17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点． ①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证： OP⊥OQ．
18．(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从 地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
19．(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．&&&&&& （1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；& （2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．
20．(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项的和为Sn，记bn＝Sn+1n． &&&&&&& （1）若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．&&&&&&&&&&& ①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求ad的值；& ②求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2． （2）设数列{an}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得btbr＝t＋2r＋2，求q的值．
南京市2016届高三年级第三次模拟考试&&&&&&&&&&&& 数学附加题&&&&&&&&&&& 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4―1：几何证明选讲如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．
B．选修4―2：矩阵与变换已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝1& 2 1& 0 所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．
C．选修4―4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ（θ为参数），点M的极坐标为(1，π2)．若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
D．选修4―5：不等式选讲求函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出& &&&&&&&&& 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）&&& 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(xn0，yn0)，n∈N*．记直线APn的斜率为kn． （1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若 k1为偶数，求证：kn为偶数．
南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，不给中间分数．一、（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5&&&&&& 2．3－i&&&&& 3．0.02&&&&&&&&&& 4．35&&&&&&&&&& 5．8&&&&&&&&& 6．①④7．4&&&&&& 8．5&&&&&&&&& 9．4&&&&&&&& 10．[－1，3]&&&&& 11．32&&&&&&& 12．3 13．(－1－1e2，2)&&&&&&&& 14．24 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为m•n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••3分所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝13．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••7分（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．由正弦定理，得sin2B＝sinA•sinC．&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••9分因为cosB＝13，B是△ABC的内角，所以sinB＝2 23．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••11分又1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝cosA•sinC＋sinA•cosCsinA•sinC＝sin(A＋C)sinA•sinC＝sinBsinA•sinC＝sinBsin2B＝1sinB＝3 24．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••14分
16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC． •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分&&&& 因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．&&&& 因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••4分&&&& 因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，&&&& 所以AD⊥平面BCC1B1．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&& 因为AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1．&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点． •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••8分因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••12分因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以BDDC＝1．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得ca＝ 22，4a2＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为x26＋y23＝1．&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分（2）①解法一& 椭圆C的右焦点F(3，0)．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，所以|－3k |k2＋1＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)．••••••••••••••••••••••••••••••4分由方程组y＝2(x－3)，x26＋y23＝1，解得x＝43＋325，y＝－6＋65，或x＝43－325，y＝－6－65． 所以点P，Q的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ＝665．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••6分因为O到直线PQ的距离为2，所以△OPQ的面积为635． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3)时，△OPQ的面积也为635．综上所述，△OPQ的面积为635．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••8分②解法二& 椭圆C的右焦点F(3，0)．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，所以|－3k |k2＋1＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)．•••••••••••••••••••••••••••••••4分把切线方程 y＝2(x－3)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8 3x＋6＝0．设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝8 35．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2× 6－ 22×8 35＝665．•••••••••••••••••••••6分因为O到直线PQ的距离为2，所以△OPQ的面积为635． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3)时，所以△OPQ的面积为635．综上所述，△OPQ的面积为635．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••8分②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝ 2或x＝－ 2．当x＝ 2时，P ( 2， 2)，Q( 2，－ 2)．因为OP→•OQ→＝0，所以OP⊥OQ．当x＝－ 2时，同理可得OP⊥OQ．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••10分(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线与圆相切，所以|m| 1＋k2＝ 2，即m2＝2k2＋2．将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－4km 1＋2k2，x1x2＝2m2－61＋2k2．•••••••••••••••••••••••••••••••••12分因为OP→•OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×2m2－61＋2k2＋km×(－4km 1＋2k2)＋m2．将m2＝2k2＋2代入上式可得OP→•OQ→＝0，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••14分解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x20＋y20＝2．& (i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝ 2或x＝－ 2．当x＝ 2时，P ( 2， 2)，Q( 2，－ 2)．因为OP→•OQ→＝0，所以OP⊥OQ．当x＝－ 2时，同理可得OP⊥OQ．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••10分(ii) 当y0≠0时，由方程组x0x＋y0y－2＝0，x26＋y23＝1，消去y得(2x20＋y20)x2－8x0x＋8－6y20＝0．设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝8x02x20＋y20，x1x2＝8－6y202x20＋y20． ••••••••••••••••••••••••••••••12分所以OP→•OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(2－x0x1)( 2－x0x2)y02＝－8(x02＋y20)＋16y02(2x20＋y20)．因为x20＋y20＝2，代入上式可得OP→•OQ→＝0，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••14分18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD＝12千米．&&&&&&&&&&&&&&&& 由题可知|126－16v|≤14，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分解得649≤v≤647．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••4分(2) 解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D地，故16v＜2，即v＞8．&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分①当0＜vt≤5，即0＜t≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－485v＋36) t2．因为v2－485v＋36＞0，所以当t＝5v时，f(t)取最大值，所以(v2－485v＋36)×(5v)2≤25，解得v≥154．&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••9分②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－1v－6)2＋9．因为v＞8，所以1v－6＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2 (13v－1v－6)2＋9≤25，解得398≤v≤394．&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••13分③当13≤vt≤16， 13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6×13v)2＋(16－v×13v)2≤25，解得398≤v≤394．&&& 因为v＞8，所以 8＜v≤394．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••16分
解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D地，故16v＜2，即v＞8．&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系， ①当0＜vt≤5时，f(t)＝(45vt－6t)2＋(35vt)2．由于(45vt－6t)2＋(35vt)2≤25，所以(45v－6)2＋(35v)2≤25t2对任意0＜t≤5v都成立，所以(45v－6)2＋(35v)2≤v2，解得v≥154．&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••9分②当5＜vt＜13时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋32．由于(vt－1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意5v＜t＜13v都成立，即v－6≤5t，－3t≤v－6，对任意5v≤t≤13v都成立，所以v－6≤5v13，－3v13≤v－6，解得398≤v≤394．&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••13分③当13≤vt≤16即13v≤t≤16v，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2．由①及②知：8＜v≤394，于是0＜12－6t≤12－78v≤12－78394 ＝4，又因为0≤16－vt≤3，所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v≤394．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1．f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．由f ′(x)＜0，解得x＜0或x＞23．所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)．&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分（2）依题意m＞0．因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f ′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．由f ′(x)＝0，得x＝2m3或x＝0． 当0＜x＜2m3时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，2m3)上为增函数；当2m3＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2m3，m)上为减函数；所以，f(x)极大值＝f(2m3)＝427m3－m．&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••4分①当427m3－m≥m，即m≥3 62，ymax＝427m3－m．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分②当427m3－m＜m，即0＜m＜3 62时，ymax＝m．综上，ymax＝427m3－m& m≥3 62， m&&&&&& 0＜m＜3 62．&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••8分（3）设两切点的横坐标分别是x1，x2．则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(x－x1)，y－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(x－x2)．&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分将(2，t)代入两条切线方程，得t－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(2－x1)，t－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(2－x2)．因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t－(－x3＋mx2－m)＝(－3x2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．•••••••••••12分整理得t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m．设h(x)＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m，h ′(x)＝6x2－2(6＋m)x＋4m＝2(3x－m)(x－2)．①当m＝6时，h ′(x)＝6(x－2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立．②当m≠6时， h ′(x)＝0，解得x＝2或x＝m3．列表可判断单调性，可得当x＝2或x＝m3，h(x)取得极值分别为h(2)＝3m－8，或h(m3)＝－127m3＋23m2－m．&&& 要使得关于x的方程t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m有且仅有两个不相等的实根，则t＝3m－8，或t＝－127m3＋23m2－m．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••14分因为t≤0，所以3m－8≤0，（*），或－127m3＋23m2－m≤0．（**）解（*），得m≤83，解（**），得m≤9－36或m≥9＋36．因为m＞0，所以m的范围为(0，83]∪[9＋36，＋∞)．&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b1，2b2，b3成等差数列，&&& 所以4b2＝3b1＋b3，即4×3a＋3d2＝3(2a＋d)＋4a＋6d3，&&& 解得，ad＝34．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••4分&&& ② 由an＋1≤bn＜an＋2，得a＋nd≤(n＋1)a＋(n＋1)nd2n＜a＋(n＋1)d，整理得n2－n－2ad≤0， n2＋n－2ad＞0，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分解得－1＋1＋8ad2＜n≤1＋1＋8ad2，&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••8分由于1＋1＋8ad2－－1＋1＋8ad2＝1且－1＋1＋8ad2＞0． 因此存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2．&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分（2）因为btbr＝a1(1－qt＋1)t(1－q)a1(1－qr＋1)r(1－q)＝t＋2r＋2，所以qt＋1－1t(t＋2)＝qr＋1－1r(r＋2)． 设f(n)＝qn＋1－1n(n＋2)，n≥2，n∈N*．则f(n＋1)－f(n)＝qn＋2－1(n＋1)(n＋3)－qn＋1－1n(n＋2)＝qn＋1[(q－1)n2＋2(q－2)n－3]＋2n＋3n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，因为q＞2，n≥2，所以(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0，所以f(n＋1)－f(n)＞0，即f(n＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．••••••••••••••••••••••••••••••••••12分所以当r≥2时，t＞r≥2，则f(t)＞f(r)，即qt＋1－1t(t＋2)＞qr＋1－1r(r＋2)，这与qt＋1－1t(t＋2)＝qr＋1－1r(r＋2)互相矛盾．所以r＝1，即qt＋1－1t(t＋2)＝q2－13．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••14分若t≥3，则f(t)≥f(3)＝q4－115 ＝q2－13&#＞q2－13，即qt＋1－1t(t＋2)＞q2－13，与qt＋1－1t(t＋2)＝q2－13相矛盾．于是t＝2，所以q3－18＝q2－13，即3q2－5q－5＝0．又q＞2，所以q＝5＋ 856．&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••16分
&南京市2016届高三年级第三次模拟考试&&&&&&&&&& 数学附加题参考答案及评分标准&&&&& 2016.05&&&& 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4―1：几何证明选讲证明：(1)连接AB．因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC．因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC．又因为AH⊥BC，所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，所以AC是∠PAH的平分线．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••5分(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH•HC＝3，所以AH＝ 3．在Rt△AHC中，AH＝ 3，CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝2 3．由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC•PB，所以PC•(PC＋BC)＝(2 3)2＝12，所以PC＝2．&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分B．选修4―2：矩阵与变换解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝1& 2 1& 0 对应的变换下得到点Q(x′，y′)．则1& 2 1& 0& xy＝x′y′， 即x＋2y＝x′，x＝y′，所以x＝y′，y＝x′－y′2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••5分代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′•x′－y′2＋2(x′－y′2)2＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分C．选修4―4：坐标系与参数方程解：M的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cosθ，sinθ)，所以PM＝ (2cosθ)2＋(sinθ－1)2＝ －3sin2θ－2sinθ＋5，sinθ∈[－1，1]． •••••••••••••••••5分当sinθ＝－13时，PMmax＝4 33，此时cosθ＝±2 23．所以，PM的最大值是4 33，此时点P的坐标是(±4 23，－13)．•••••••••••••••••••••••••••••••10分D．选修4―5：不等式选讲&& 解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．&& 由柯西不等式得[52＋(2)2][(x)2＋(4－x)2)]≥(5•x＋2•4－x)2，••••••••••••••••••••••5分&& 即27×4≥(5•x＋2•4－x)2，所以5x＋8－2x≤63．&& 当且仅当2x＝54－x，即x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值为63．&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••2分X是奇数的个数有28，所以P(A)＝．答：X是奇数的概率为712．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& •••••••••••••••••••••••••••••••••4分（2） X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X＝3)＝448＝112；当 X＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X＝4)＝448＝112；当 X＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X＝5)＝848＝16；&当 X＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X＝6)＝；&当 X＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X＝7)＝；&当 X＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X＝8)＝648＝18；&当 X＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X＝9)＝648＝18；••••••••••••••••••••••••••••••8分所以X的概率分布列为：X&3&4&5&6&7&8&9P&112112165245241818
E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254．&& ••••••••••••••••••••••••10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为k1＝2，所以y0＋1x0＝x20＋1x0＝2，解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分（2）设k1＝2p(p∈N*)，即y0＋1x0＝x20＋1x0＝2p，所以x20－2px0＋1＝0，所以x0＝p±p2－1．&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••••4分因为y0＝x02，所以kn＝yn0＋1xn0＝x2n0＋1xn0＝xn0＋1xn0，&&&&&&&&& 所以当x0＝p＋p2－1时，kn＝(p＋p2－1)n＋(1p＋p2－1)n＝(p＋p2－1)n＋(p－p2－1)n．••••••••••••••••••••••••••••6分同理，当 x0＝p－p2－1时，kn＝(p＋p2－1)n＋(p－p2－1)n．&&& ①当n＝2m(m∈N*)时， kn＝2k=0∑mC2knpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．②当n＝2m＋1(m∈N)时，kn＝2k=0∑mC2knpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．综上， kn为偶数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ••••••••••••••••••••••••••••••••10分
&文 章来源天添 资源网 w w w.tT z
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