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已知an是一个无穷等比数列,公比为q.取出所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?如果是,他的首项和公比是多少? （我想问为什么是?）
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取出的数组成的新数列,第n项是原数列的第2n-1项.a[2(n+1)-1]/a(2n-1)=a(2n+1)/a(2n-1)=a1q^(2n)/a1q^(2n-2)=q^2数列是以原数列首项a1为首项,q^2为公比的等比数列.这个好像不用多解释吧,很简单
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&&&&&&&&&&&&高一数学《等比数列的性质及应用》教案
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高一数学《等比数列的性质及应用》教案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高一数学《等比数列的性质及应用》教案
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
高一数学《等比数列的性质及应用》教案
一、目标：1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、&概括等逻辑思维能力。3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。二、重点：等比数列的性质及其应用。&&& 难点：等比数列的性质应用。三、过程。&&& 同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。数列名称&等差数列&等比数列定义&一个数列，若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。&一个数列，若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。定义表达式&& an-an-1=d （n≥2）&&& (q≠0)
通项公式证明过程及方法& an-an-1=d； an-1-an-2=d，…a2-a1=d&&an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d& an=a1+(n-1)*d累加法&& ;&& …….& && an=a1q n-1累乘法通项公式&an=a1+(n-1)*d&an=a1q n-1多媒体投影（总结规律）数列名称&等差数列　　&&&&&&&&&&&&&&& 等比数列定&& 义&等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定&&& 义&&& 表达&&& 式&an-an-1=d& （n≥2）&&&&&&&
通项公式证明&&迭加法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 迭乘法&通&&& 项& 公&&& 式&&&& 加-乘&乘―乘方&通过观察，同学们发现：•&&&&&&&& 等差数列中的&&&&&& 减法、加法、乘法，&等比数列中升级为&& 除法、乘法、乘方.&&&&&&&& 四、探究活动。&& 探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1；等差数列的性质1；猜想等比数列的性质1；性质证明。&练习1&在等差数列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一个公式计算)&解：a4= a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2等差数列的性质1：&在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.& 猜想等比数列的性质1&若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m& 性质证明&右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边& 应用&在等比数列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____.&解：a4= a2q4-2=-2*22=-8&& 探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2；等差数列的性质2；猜想等比数列的性质2；性质证明。&练习2&在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为&&&& .&解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+ a7）+（a4+ a6）+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450&&& a5=90&&& a2+a8=2×90=180等差数列的性质2：&在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq&特别的，当m=n时，2 an=ap+aq猜想等比数列的性质2&在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at&特别的，当m=n时，an2=ap*aq性质证明&右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边&证明的方向:一般来说，由繁到简应用&在等比数列{an}若an&0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.&解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36由于an&0，a3+a5&0,a3+a5=6&&& 探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3；等差数列的性质3；猜想等比数列的性质3；性质证明。&&&练习3&在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____.&解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170等差数列的性质3：&若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项， 则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k&&an即时an-k,an,an+k的等差中项猜想等比数列的性质3&若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k&&&an即时an-k,an,an+k的等比中项性质证明&右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边&证明的方向:由繁到简应用&在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.&&解：a60=&& =&& =810
应用&等比数列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________.&解：a30=&& =&& =& 30A60=&
&& 探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4；等差数列的性质4；猜想等比数列的性质4；性质证明。练习4&设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____.&解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35等差数列的性质4：&设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列&两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列猜想等比数列的性质4&设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列&两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。性质证明&证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=an•bn那么数列{an•bn} 的第n项与第n+1项分别为：&&& &应用&设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____.&解：由题意可知{an•bn}是等比数列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中项。由（a3b3）2= a1b1* a5b5& 212= 7* a5b5&& a5b5=63
（四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动）五、等比数列具有的单调性（1）q&0,等比数列为&& 摆动&& 数列， 不具有&& 单调性&&&&&&& （2）q&0（举例探讨并填表）a1&a1&0&a1&0q的范围&0&q=1&q&1&0&q=1&q&1{an}的单调性&单调递减&不具有单调性&单调递增&单调递增&不具有单调性&单调递减让学生举例说明，并查验有多少学生填对。（真确评价）六、课堂练习：1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(　&&& ).A.&&&&&& B. 7　&&& C. 6　&&& D. &&& 解析:由已知得a32 =5,  a82=10,∴a4a5a6=a53 =&& =&& =5&&  .答案:A2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=　　&&& .答案:43、&& +1与&& -1两数的等比中项是(　&&& ).A.1　&&& B. -1　&&& C. && 　&&& D.±1 解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D&4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2&&   ,a2=1,则a1等于(&&& ).A.2　&&& B. && 　&&& C. && 　&&& D. & 解析:∵a3a9=&& =2&&  ,∴ && =q2=2,∵q&0,∴q=&&  .故a1=&&  =&&  =&  .答案:C5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数&&& 为：&&&&&&&& 根据题意&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&再由方程组可得：q=2 或& 既这三个数为2，4，8或8，4，2。七、小结&&& 本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。八、§3.1.2等比数列的性质及应用&性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m性质二：在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at&性质三：若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且 an2=an-k*an+k&性质四：设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列&板书设计
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等比数列公式
等比数列公式就是在数学上求一定数量的的和的公式。另外，一个各项均为的各项取同底数数后构成一个；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
等比数列公式等比故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。 　西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。
等比数列公式公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个，这个数列就叫做。这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的是：
(n∈N*),当q&0时，则可把
看作自变量n的函数，点(n,
上的一群孤立的点。
（2) 任意两项
（3）从的定义、、前n项和公式可以推出：
，k∈{1,2,…,n}
（4）：当r满足p+q=2r时，那么则有
的等比中项。
(5) 等比求和：
①当q≠1时，
②当q=1时，
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列公式性质
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；
②在中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比数列前n项之和
①当q≠1时，
②当q=1时，
在中，首项a1与q都不为零.
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期