设函数f(x)是奇函数偶函数且周期为3,f(-1)=-1,则f(2008)=?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-12-09 04:27 标签： 奇函数和偶函数
河北省张家口市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析-免费数学教学资料
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河北省张家口市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析
&&加入日期：16-07-29
河北省张家口市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析&& 12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[1，7]上所有实根之和是（　　） A．12&B．14&C．6&D．7 【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用． 【分析】根据函数f（x）是奇函数，且满足f（2x）=f（x），推出函数的周期性，然后判断方程f（x）=1在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程f（x）=1在区间[1，7]上所有实根之和． 【解答】解：由f（2x）=f（x）知函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 由f（x）是R上的奇函数知f（2x）=f（x2），f（x4）=f（4x） 在f（2x）=f（x）中，以x2代x得： f（2（x2））=f（x2）即f（4x）=f（x2）， 所以f（x）=f（2x）=f（4x）=f（x4） 即f（x+4）=f（x）， 所以f（x）是以4为周期的周期函数． 考虑f（x）的一个周期，例如[1，3]， 由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数， f（x）在（1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数． 对于奇函数f（x）有f（0）=0，f（2）=f（22）=f（0）=0， 故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）=0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）=0， 当x∈（1，0）时，f（x）＞f（0）=0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）=0， 方程f（x）=1在[0，1）上有实数根， 则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数， 则由于f（2x）=f（x），故方程f（x）=1在（1，2）上有唯一实数． 在（1，0）和（2，3）上f（x）＞0， 则方程f（x）=1在（1，0）和（2，3）上没有实数根． 从而方程f（x）=1在一个周期内有且仅有两个实数根． 当x∈[1，3]，方程f（x）=1的两实数根之和为x+2x=2， 当x∈[1，7]，方程f（x）=1的所有四个实数根之和为x+2x+4+x+4+2x=2+8+2=12． 故选：A．
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新课标人教版高三年级上期末试题(文)
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16-07-29(试卷)
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[] &&版权所有@12999教育资源网设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（-1）=-1，则f（2008）=______．
众神小三391
因为函数的周期为3，所以f（2008）=f（2007+1）=f（1）又因为函数是奇函数，且f（-1）=-1，所以f（1）=-f（-1）=1所以f（2008）=1故答案为：1．
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由函数的周期为3，可将f（2008）化为f（1），然后利用函数的奇偶性与f（-1）=-1，可求得f（1），即可得结果．
本题考点：
函数奇偶性的性质；函数的周期性．
考点点评：
本题考查了函数的奇偶性与函数的周期性，灵活应用函数的性质是解决问题的关键，是个基础题．
扫描下载二维码已知函数f(x)偶函数,若函数g(x)是奇函数,且g(x)=f(x-1),g(3)=2008求f(2012)的值
答：依据题意知道f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).g(x)=f(x-1)g(3)=f(2)=2008g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1)所以：f(x+1)=f(-x-1)=-f(x-1)所以：f(2012)=-f(2010)=f(2008)=-f(2006)=...=-f(2)=-2008所以：f(2012)=-2008
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扫描下载二维码已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（3x+1）的周期为3，且f（1）=5，则f（2007）+f（2008）的值为（　　）A. 0B. 5C. 2D. -5
TA001A9gfx
∵函数f（3x+1）的周期为3，∴f[3（x+3）+1]=f（3x+1），即f[（3x+1）+9]=f（3x+1），∴f（x）是以9为周期的函数；又f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，又且f（1）=5∴f（2007）+f（2008）=f（0）+f（1）=5．故选B．
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由“函数f（3x+1）的周期为3”可求得f（x）的周期，再利用函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=5可求得f（2007）+f（2008）的值．
本题考点：
函数的周期性；函数的值．
考点点评：
本题考查函数的周期性，难点在于对“函数f（3x+1）的周期为3”的理解与应用，属于中档题．
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＞＞＞若f（x）是R上的奇函数，且f（2x-1）的周期为4，若f（6）=-2，则f（2008..
若f（x）是R上的奇函数，且f（2x-1）的周期为4，若f（6）=-2，则f（2008）+f（2010）=______．
题型：填空题难度：中档来源：湖北模拟
∵f（2x-1）的周期为4∴f（x）的周期为8因为函数的周期为8，所以f（2008）=f（2000+8）=f（0）f（2010）=f（2002+8）=f（2）=f（-6）又因为f（x）是R上的奇函数，f（6）=-2，则f（0）=0，f（-6）=2∴f（2008）=0，f（2010）=2所以f（2008）+f（2010）=2故答案为2．
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据魔方格专家权威分析，试题“若f（x）是R上的奇函数，且f（2x-1）的周期为4，若f（6）=-2，则f（2008..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“若f（x）是R上的奇函数，且f（2x-1）的周期为4，若f（6）=-2，则f（2008..”考查相似的试题有：
458105268704407177518966619056396190

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