知识点梳理 1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。 判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。 ：直角两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a?+b?=c?（勾股定理公式） 整理教师:&& 举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去） 根据问他()知识点分析， 试题“已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D...”，相似的试题还有： 如图，在△ABC中，AB=AD，DC=BD，DE⊥BC，DE交AC于点E，BE交AD于点F．求证：(1)△BDF∽△CBA；(2)AF=DF． 如图，在△ABC中，AB=AD，DC=BD，DE⊥BC，DE交AC于点E，BE交AD于点F．求证：(1)△BDF∽△CBA；(2)AF=DF． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90&，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于点G．(1)求证：DE=DF；(2)求证：△DEG∽△DCF；(3)如果AB=3BE，BE=2，求出所有与△BDE相似的三角形的面积．已知：如图，在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．求?ABCD的周长和面积．【考点】．【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13．根据等腰三角形的性质得到AB=CD=AD=BC=6.5，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．【解答】解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∴∠1=∠3=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠BCD∵AD∥BC，AB∥CD∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC∴平行四边形的周长等于：13+13+13=39．作EF⊥BC于F．根据直角三角形的面积公式得：EF==所以平行四边形的面积==60．即平行四边形的周长为39cm，面积为60cm2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：kuaile老师　难度：0.46真题：5组卷：10 解析质量好中差已知AD,BE分别是三角形ABC的BC,AC边上的高,F是DE的中点,G是AB的中点,则_百度作业帮 已知AD,BE分别是三角形ABC的BC,AC边上的高,F是DE的中点,G是AB的中点,则 已知AD,BE分别是三角形ABC的BC,AC边上的高,F是DE的中点,G是AB的中点,则 GF⊥DE.证明:连接DG,EG.BE⊥AC,点G为AB中点,则EG=AB/2.(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:DG=AB/2.故:DG=EG.又点F为DE的中点,则:GF⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)当前位置： ＞＞＞如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。（1）请你判断AD是△ABC的中线还.. 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。 （1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，若AB=6，AC=4，请确定AD的值范围。 题型：解答题难度：中档来源：江苏省期末题 解：（1）AD是△ABC的中线理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90° 又∵BE=CF，∠BDE=∠CFD　∴△BDE≌△CFD（AAS） ∴BD=CD ，即AD是△ABC的中线。（2）过点B作BG∥AC交AD延长线于点G∴∠GBD=∠ACD又∵AD是中线，∠BDG=∠ADC∴△BDG≌△CDA（ASA）∴BG=AC=4，AD=GD，在△ABG中，AB=6，根据三角形三边关系∴2＜AG＜10∴1＜AD＜5。 马上分享给同学 据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。（1）请你判断AD是△ABC的中线还..”主要考查你对&&三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，全等三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下： 现在没空？点击收藏，以后再看。 因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。 三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线全等三角形的性质 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线长： ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ； mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2& ； mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2& 。 (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长） 3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。&& 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。&& 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。&& 垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法二：1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。2、连接这两个交点。原理：两点成一线。 垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。& 发现相似题 与“如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。（1）请你判断AD是△ABC的中线还..”考查相似的试题有： 11975436205884499191801381679187645如图,已知在三角形ABC 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.如题,百度上搜不到过程_百度作业帮 如图,已知在三角形ABC 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.如题,百度上搜不到过程 如图,已知在三角形ABC 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.如题,百度上搜不到过程 请先连接ECAD是BC边上的中线所以BED的面积EDC的面积进而ABE的面积等于AEC的面积又因为BE=AC所以BE上的高（对于三角形BEA）等于AC上的高（对于三角形AEC）①设过A做BF的垂线为AM过E做AC的垂线为EN由①得AE=AM且角AFM=角EFN（对顶角）角ENF=角FMA=90度所以三角形AMF全等于三角形EFN所以AF=EF 搜到啦延长AD到G,使AD=DG连结BG得:△DGB在△ADC,△GDB中DC=DB(点D为中点)∠ADC=∠GDB(对顶角)AD=GD∴△ADC≌△GDB(SAS)∴∠ACD=∠GBD∴AC‖GB(内错角相等,两直线平行)∴∠DAC=∠DGB(内错角)∵AC=BG=BE