设E、F分别在△ABC的AC、AB两边...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-15 06:12 标签： 三角形abc ab ac
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已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC=3，BC=2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．
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∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，EF∥AC，DE=CF=EF=DC．∴△ADE∽△EFB∽△ACB．==，设AD=3x，ED=2x，∴AC=5x，∴AD：EF：AC=3：2：5．∴周长之比：△ADE的周长：△EFB的周长：△ACB的周长=3：2：5．∴S△ADE：S△EFB：S△ACB=9：4：25．
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要求三个三角形的面积比，可通过证明三个三角形相似，从而得到其相似比，则不难求得其面积比．
本题考点：
相似三角形的判定与性质．
考点点评：
此题主要考查了相似三角形的判定和性质．
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＞＞＞如图，已知△ABC的面积为2，D、E分别为边AB、边AC上的点，F为线段..
如图，已知△ABC的面积为2，D、E分别为边AB、边AC 上的点，F为线段DE上一点，设，且y+z-x=1，则△BDF面积的最大值为
题型：单选题难度：中档来源：北京高考真题
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知△ABC的面积为2，D、E分别为边AB、边AC上的点，F为线段..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，相似三角形的判定及有关性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系相似三角形的判定及有关性质
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&相似三角形的定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似
判定定理1：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
直角三角形相似定理：
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。（3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质 ：
（1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应角相等，对应边成比例； （4）相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积等于相似比的平方。相似三角形的判定方法 ：
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图，已知△ABC的面积为2，D、E分别为边AB、边AC上的点，F为线段..”考查相似的试题有：
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点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S 四边形EADF =S 1 ，S △BDF =S 2 ，S △BCF =S 3 ，S △CEF =S 4 ，则S 1 S 3 与S 2 S 4 的大小关系为（　　）
A．S 1 S 3 ＜S 2 S 4
B．S 1 S 3 =S 2 S 4
C．S 1 S 3 ＞S 2 S 4
D．不能确定
窝窝256圣战
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如图，连接DE，设S △DEF =S′ 1 ，则
，从而有S 1 ′S 3 =S 2 S 4 ．因为S 1 ＞S 1 ′，所以S 1 S 3 ＞S 2 S 4 ．故选C．
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2亿+学生的选择
如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．（1）当x=EF时，求S△DPE：S△DBC的值；（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；&&&& ②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．
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（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，x=EF，∴EF∥BC，且EF=BC，∴△EDP∽△CDB，∴=，∴S△DPE：S△DBC=1：36；（2）延长BQ交EF于K，∵EK∥BC，∴∠EKB=∠KBC，又∵BQ为∠CBP的平分线，∴∠PBK=∠KBC，∴∠EKB=∠PBK，∴PB=PK．∵CQ=CE，∴CQ=EQ，易证△CQB≌△EQK，则BC=KE=6，∴x+y=6，∴y=6-x；（3）当CQ=CE时，k=2，由（2）中式可知y=6k-x，y与x之间的函数关系式为：y=12-x；当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，k=n-1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n-1）-x．
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其他类似问题
（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得S△DPE：S△DBC的值；（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k-x；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（（2）中①式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用．
本题考点：
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形中位线定理．
考点点评：
本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=CE时，CQ=CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=CE（n为不小于2的常数）时的一般情况．
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