二元函数的全微分求积14
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二元函数的全微分求积14
第２４卷；Ｖ０１．２４；第５期；Ｎｏ．５；重庆理工大学学报（自然科学）；ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒ；２０１０年５月；Ｍａｖ．２０１０；二元函数的全微分求积；张勇军；（海南大学信息科学技术学院，海口５７０２２８）；摘要：介绍了二元函数全微分求积的３种不同方法：利；定积分求出原函数的方法和利用全微分方程求解的方法；文献标识码：Ａｏｆ；文章编
第２４卷Ｖ０１．２４第５期Ｎｏ．５重庆理工大学学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）２０１０年５月Ｍａｖ．２０１０二元函数的全微分求积张勇军（海南大学信息科学技术学院，海口５７０２２８）摘要：介绍了二元函数全微分求积的３种不同方法：利用平面上曲线积分的求法、利用不定积分求出原函数的方法和利用全微分方程求解的方法。用实例证明了３种方法的可行性。关键词：二元函数；全微分；求积中图分类号：０１７２文献标识码：Ａｏｆ文章编号：１６７４―８４２５（２０１０）０５―０１１１―０４ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒＤｕａｌｉｓｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓＱｕａｄｒａｔｕｒｅＣｏｍｐｌｅｔｅＺＨＡＮＧ（ＨａｎｎａｎＹｏｎｇ－ｊｕｎ５７１７３７，Ｃｈｉｎａ）Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＨａｉｋｏｕＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｒｅｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｑｕａｄｒａｔｕｒｅｏｆｐｌａｎｅｓ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｑｕａｄｒａｔｕｒｅｔｏｇｅｔｏｒｉｇｉｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｃｕｒｖｅｓｏｉｌａｎｄｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｃｏｍｐｌｅｔｅｅｘ―ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｏｇｅｔｔｈｅｑｕａｄｒａｔｕｒｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｄｕａｌｉｓｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅａｍｐｌｅｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｖｅｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｏｓｅｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｕａｌｉｓｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ；ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ．全微分是多元函数微分学中一个非常重要的概念，它反映了多元函数函数值的增量与其自身的自变量及其偏导数之间的一种关系。通过多元函数的全微分，在一定的条件下可以求得满足一定关系的函数解析式，从而得出各个变量之间的关系。对于全微分方程，通过建立的数学模型求解是一种行之有效的方法。１二元函数的全微分求积‘１。６】平面上曲线积分与路径无关的定义和条件定义ｌ设Ｇ是一个区域，ｐ（髫，Ｙ）和Ｑ（ｘ，Ｙ）在区域Ｇ内具有一阶连续的偏导数。如果对于Ｇ内任１．１意指定的２点Ａ和Ｂ，以及Ｇ内从点Ａ到点Ｂ的任意２条曲线￡。，￡：，等式ｌＰｄｘ＋Ｑｄｙ＝ｆＪ厶ＪＰｄｘ＋Ｑｄｙｂ恒成立，就称曲线积分ＬＰ也＋Ｑｄｙ在Ｇ内与路径无关，否则与路径有关。定理ｌ设区域Ｇ是一个单连通区域，函数ｐ（ｘ，Ｙ），Ｑ（ｘ，Ｙ）在Ｇ内具有一阶连续偏导数，则曲线积?收稿日期：２０１０―１２―１４基金项目：教育部农林院校大学数学教学规范的研究与实践项目（高教司函（２００７）１４３）作者简介：张勇军（１９７７一），男，陕西渭南人，硕士研究生，讲师，主要从事大学数学研究。１１２重庆理工大学学报分ｆＰｄｘ＋Ｑｄｙ在Ｇ内与路径无关（或沿Ｇ内任意闭曲线的曲线积分为ｏ）的充分必要条件是答：粤在ＪＬｄ，，ｄ石Ｇ内恒成立。１．２表达式ｐ出＋Ｑｄｙ是某个二元函数Ｍ（戈。Ｙ）的全微分的条件及ｕ（ｘ。Ｙ）求法定理２设区域Ｇ是一个单连通区域，函数Ｐ（戈，Ｙ），Ｑ（ｘ，Ｙ）在Ｇ内具有一阶连续偏导数，则曲线积分ｆＰｄｘ＋ＱｄｙＪ工Ｇ内为某一函数ｕ（髫，ｙ）的全微分的充分必要条件为娑：笔在Ｇ内恒成立。Ｏｙｄ菇１）利用平面上曲线积分的求法设已知条件娑：竽在Ｇ内恒成立，则由定理２．－－ｆ知，起点为坞（Ｘｏ，Ｙｏ），终点为肘（ｘ，ｙ）的曲线积分在暇。ｃｒｙ区域Ｇ内与路径无关，于是这个曲线积分写作Ｊ（即川Ｐ以＋Ｑｄｙ。当起点眠（‰，ｙｏ）固定时，这个积分的值取决于终点肘（石，），），故它是ｘ，ｙ的函数，记作ｕ（戈，ｙ），即Ⅱ（菇，ｙ）：Ｊ（ｍ加）Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ，ｕ（戈，ｙ）＝Ｊ柏ｐ（ｘ，ｙｏ）ｄｘ＋丘Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ，Ｍ（ｚ，，，）＝ＬＱ（ｘｏ，ｙ）ｄｙ＋丘尸（ｘ，ｙ）ｄｘ。２）利用不定积分求原函数设已知条件娑＝警在Ｇ内恒成立，因为函数“（并，），）满足罢＝Ｐ（戈，，），考＝Ｑ（ｘ，ｙｄＴｄ。ｃｄ。ｃＯ～），故ｕ（菇，），）＝，詈Ｊｄｘｄｘ＝，尸（ｘ，ｙ）ｄｘ＋９（，，），其中９（，，）是），的待定函数（ｕ（石，ｙ）＝，詈母＝．ｒＱ（ｘ，ｙ）ｄｙ＋妒（戈），９（戈）是菇的待定函数），由此得考＝专［，Ｐ（ｘ，ｙ）出＋妒（，，）］＝专［，Ｐ（菇，，，）以】＋妒’（），），又ｕ必须满足考＝Ｑ（ｘ，ｙ），故茜［ＪＰ（ｘ，ｙ）ｄｘ］＋妒’（），）＝Ｑ（菇，，，），从而求得妒（ｙ），所以求得ｕ（髫，，，）。３）利用全微分方程求解的方法定义２设一阶微分方程为Ｐ（ｘ，Ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）＝０（１）如果它的左端恰好是某一个函数ｕ＝“（髫，Ｙ）的全微分：ｄｕ（ｘ，Ｙ）＝Ｐ（ｘ，Ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，Ｙ）ｄｙ，那么方程（１）就叫做全微分方程。?定理３一阶微分方程Ｐ（戈，Ｙ）ｄｘ＋Ｑ（菇，Ｙ）＝０是全微分方程的充分必要条件是业：鲤ＯｙＯｘ若ｐ（ｘ，ｙ）出＋Ｑ（菇，ｙ）＝ｏ，且筹＝鲤Ｏｘ，则有ｄｕ（茁，，，）＝Ｐ（戈，，，）出＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄ），，即ｕ（戈，，，）＝ｃ，其中Ｃ为任意的常数。２实例验证在整个ｘｏｙ面内，ｘｙ２ｄｘ＋髫２），以是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：因尸＝矿，Ｑ一＿＊２了，且＝Ｏ砂Ｐ＝２夥＝署在整个川面内恒成立，故夥２出＋戈２，，以是在整个叫面内某个函数的全微分；求解函数ｕ（ｘ，ｙ），使其满足ｄｕ（ｘ，，，）＝ｘｙ２ｄｘ＋戈２ｙｄ，，。张勇军：二元函数的全微分求积１１３方法１利用公式Ⅱ（省，，，）＝Ｌ尸（菇，ｙｏ）ｄｘ＋ｙ。Ｑ（省，ｙ）ｄｙ，则有“（名，，，）＝虎：矿以＋ｘ２ｙｄｙ＝ｆｏＡ掣２出＋ｘ２ｙ妙＋ｆＡｓｘｙ２ｄｘ＋ｘ２ｙ妙＝。＋ｆ菇２纳Ｘ２ｆ，，ｄｙ＝竿方法２利用不定积分求Ｈ（龙，），）。因为函数ｕ满足塑Ｏｘ＝矿，故“＝缈以＝孚州ｙ）其中：妒（ｙ）是，，的待定函数；由此得考＝菇２ｙ＋９７（ｙ），又扯必须满足考＝ｚ２，，，故戈２ｙ＋妒７（ｙ）＝石２ｙ，从而妒７（，，）＝ｏ，妒（，，）＝ｃ，所求函数为ｕ（茗，），）＝等２２＋ｃ，ｃ为任意的实常数。方法３利用全微分方程求解。因蒡＝２矽＝鲁，故夥２出＋茁２），妙＝ｏ，设乩（戈，，，）＝ｘｙ２ｄｘ＋ｘ２ｙ妙，即ｄｕ＝ｏ，ｄＨ（并，ｙ）＝ｄ（等２２），也（茗，ｙ）＝ｄ（等２２＋ｃ），故ｚ‘（石，ｙ）＝盟２＋ｃ，ｃ为任意的实常数。３空间曲线积分与路径无关的条件定理４设空间区域Ｇ是一维单连通域，函数Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｑ（ｘ，Ｙ，名），Ｒ（ｘ，Ｙ，石）在Ｇ内具有一阶连续的偏导数，则空间曲线积分ＪＰｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ在Ｇ内与路径无关（或沿Ｇ内任意闭曲线的曲线积分为Ｏ）的充分必要条件是翌一盟鲤一塑塑一一ＯＰＯｙ―Ｏｘ’Ｏｚ―Ｏｙ’Ｏｘ―Ｏｚ…、‘７在Ｇ内恒成立。定理５设空间区域Ｇ是一维单连通区域，函数Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｑ（ｘ，Ｙ，Ｚ），Ｒ（龙，Ｙ，Ｚ）在Ｇ内具有一阶连续的偏导数，则表达式ｆＰｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ在Ｇ内成为某一函数Ｈ（髫，，，，彳）的全微分的充分必要条件是式（２）在Ｇ内恒成立；当该条件满足时，函数（不计一常数之差）可用下式求出Ｍ（”，。）２ｋ肭）Ｐ如＋Ｑｄ，，＋Ｒｄｚ或用定积分表示为，（＊，Ｙ，ｚ）。ｕ（Ⅵ力＝Ｌ咏，Ｙｏ，Ｚｏ）ｄ茁＋ｆ―Ｑ（ｘ，ｙ，ｚｏ）ｄｙ＋￡ｍ，Ｙ，ｚ）ｄｚ其中纸（菇。，％，知）为Ｇ内某～定点，点Ｍ（ｘ，Ｙ，：）∈Ｇ。４（３）结束语介绍了二元函数全微分求积的３种不同方法：平面上曲线积分的求法、不定积分求出原函数的方法和全微分方程求解的方法。通过公式（３）可求得满足条件（２）的三元函数，采用的是曲线积分法。是否１１４－―＿――－＿一Ｌ重庆理．３Ｌ大学学报ＩＩｌ●―●―＿＿―＿●●●―－＿＿―●―＿＿―＿＿＿●―－――●―－――＿－＿－－―――――＿＿＿●■―●―一还可以利用不定积分法和微分方程法求解三元函数Ｕ（ｘ，Ｙ，：），是值得进一步思考和探讨的问题。参考文献：同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．５版．北京：高等教育出版社，２００２．王金金，李广民，于力．新编高等数学学习辅导［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，１９９９．１Ｊ１Ｊｌ＝ｌ心ｐ同济大学基础数学教研室．高等数学解题方法与同步训练［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９８．ｌ！ｌ陋№李成章，黄玉民．数学分析［Ｍ］．２版．北京：科学出版社，２００４．李大华．工科数学分析［Ｍ］．２版．武汉：华中科技大学出版社，２００４．张传义，包革军，张彪．工科数学分析［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１．（责任编辑刘舸）（上接第９９页）［２］“∞ｔ剜ｏｃ＿ｔｈｏｓｔＬｓ瓯ｒ∞ｌｒｏｏｌＢｕｔＬＪ。ＪｅｆｆｒｅｙＬ，ＮｋｓｏｎＰＩＪ．ＨｉｄｄｅｎＰｒｏｃｅｓｓｅｓ：ＯｎｑｉｕｙＪｎ｜暮．，ｈｌｄｅ．．ｐｒｏｃ３Ｔｈｅ例富ＳＳＳＳＳＳＳＳＳＩｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＩｎｔｒｕｓｉｏｆｔｈｅ２００３ＩＥＥＥＤｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｃ］／／ＰｒＯｆｆ￡ｔ００ｔ∞ｌｏｃｚＩｈｏｌｔｑｌｕｙａｎｌ＃ｐｓ―ＩＩＵＺ［ｌＰｌＤ岫’ｕ制啪ｖＳＺ幅Ｓ０．０Ｏ．０Ｏ．ＯＯ．Ｏ０．ＯＯ．ＯＯ．ＯＯ．Ｏ０．０Ｏ。ＯＯ．Ｏ０．００．００．００．００．００．０Ｏ．ＯＯ．Ｏ０．ＯＯ．ＯＯ．Ｏ１４５６００００００Ｏ０ＯＯ２’●Ｓ６９ｌＯ●Ｉ７０７ｌ７２０１＿Ⅳ７ｏｅｅｅｄｉｎｇｓｎｉｔｅｄＷｏｒｋｓｈｏｐＡｓｓｕｒａｎｃｅＵ－４ＢＯ？０７Ｏ？００７７ＳｔａｔｅｓＭｉｌｉｔａｒｙＡｃａｄｅｍｙ，ＷｅｓｔＰｏｉｎｔ．ＮｅｗＹｏｒｋ：ｒ∞ｔｒ∞ｔｆｏｏｔｒｏｏｔｔ００ｔｒｏｏｔｒ００ｔｒｏｏｔＩＥＥＥＰｒｅｓｓ．２００３．［３］嘲＊般撇擞ｗｗ赵炯．Ｌｉｎｕｘ内核完全注释［Ｍ］．ｊ匕京：机械工业出版社．２００４：５６―６２．Ｏ？Ｏ？０７ＳｗＳｗＯ？Ｏ？ｒ∞ｔ［４］袁源．基于ＬＫＭ的Ｌｉｎｕｘ安全检测器的设计与实现［Ｊ］．计算机应用研究，２００５（７）：１３１―１３３。图６执行进程隐藏之后的进程［５］ＥａｎｉｅｌＰ，Ｂｏｖｅｔ，ＭａｒｃｏＣ．深入理解Ｌｉｎｕｘ内核［Ｍ］．３版．北京：电子工业出版社。２００６：４４―４８．５结束语本文在研究Ｌｉｎｕｘ２．６系统的内核运行原理的基础上，分析了基于Ｌｉｎｕｘ２．６内核下的进程隐藏机制，提出一种进程隐藏方法，即利用截获ｐｒｏｅ调用函数来替换ＶＦＳ原来的系统调用，当遍历ｐｒｏｅ下的进程目录时，将自己要隐藏的进程过滤，从而达到隐藏进程的目的。［６］倪继利．Ｌｉｎｕｘ内核分析及编程［Ｍ］．北京：电子工业出版社。２００５：８９―９２．［７］毛德操，胡希明．Ｌｉｎｕｘ内核源代码情景分析：下册［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２００１．［８］邢丹，李艺．ＬＫＭ机制脆弱性分析［ｃ］／／全国第１６届计算机科学与技术应用（ＣＡｃＩＳ）学术会议论文集．北京：【出版者不详】，２００４：６７―６９．［９］ＭｉｃｈａｅｌＢｅｃｋＨａｒａｌｄ．Ｌｉｎｕｘ内核编程指南［Ｍ］．３版．北京：清华大学出版社，２００４．［１０］贾明．Ｌｉｎｕｘ下的ｃ编程［Ｍ］．北京：人民邮电出版社。２００ｌ：２０５―２０７．Ｍｅｓｓ，Ｒｏｍｂｉｎｉ．ＬＩＮＵＸ设备驱动程序［Ｍ］．ｊ匕京：中参考文献：［１］ＢｕｔｌｅｒＪ，ＵｎｄｅｒｃｏｆｆｅｒＪＬ。ＰｉｎｋｓｔｏｎＪ．Ｈｉｄｄｅｎ国电力出版社。舢．Ｐｒｏｃ踟：Ｔｈｅ［Ｃ］∥ＰｒｆｏｒｍａｔｉＮｏｎＩｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＩｎｔｒｕｓｉｏｎＤｅｔｅｃｆｉ［１２］ｏｎ李善平，陈文智．边学边干Ｌｉｎｕｘ内核指导［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２００２：４０―４７．ｏｅｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２００３ＡｓｓｕｒａｎｃｅＵｎｉｔｅｄＩＥＥＥＷｏｒｋｓｈｏｐＯｆｆＩｎ－ＳｔａｔｅｓＭｉｌｉｔａｒｙＡｃａｄｅｍｙ．［１３］陈莉军．Ｌｉｎｕｘ操作系统内核分析［Ｍ］．北京：人民邮电出版社．２０００：９０一９１．Ｙ：ＷｅｓｔＰｏｉｎｔ．２００３：１０９２―１０９９．（责任编辑刘舸）包含各类专业文献、行业资料、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、应用写作文书、中学教育、各类资格考试、二元函数的全微分求积14等内容。
　?二元函数的全微分求积: 在 ?Q ?P =时,Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y ( x, y ) ?Q ?P = 。注意奇点,如(0,0),... 　9、曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分, 对坐标的曲线积分, 格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条 件, 二元函数的全微分求积;对面积的曲面积分, 对坐标的... 　多元复合函数的求导法: dz z u z v z = f [u (t ), v(t )] = ...二元函数的全微分求积: 在 Q P = 时,Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y ... 　二元函数的全微分求积。**散度。**旋度。 无穷级数 常数项级数:无穷级数及其收敛与发散的定义。无穷级数的基本性质。级数收敛的必要条件。* 柯西审敛原理。几何... 　9、曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分, 对坐标的曲线积分, 格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条 件, 二元函数的全微分求积;对面积的曲面积分, 对坐标的... 　? 二元函数的全微分求积: 在 ?Q ?P =时,Pdx ? Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y ( x, y ) ?Q ?P = 。注意奇点,如(0,0)... 　二元函数的全微分求积 定理 3 设开区域 G 是一个单连通域, 函数 P(x,y) ,Q(x,y)在 G 内具有一阶 连续偏导数,则 P(x,y)dx +Q(x,y)dy 在 G ... 　? 二元函数的全微分求积: 在 ?Q ?P =时,Pdx ? Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y ( x, y ) ?Q ?P = 。注意奇点,如(0,0)... 　? 二元函数的全微分求积 : ?Q ?P 在=时,Pdx ? Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y ( x, y ) ?Q ?P = 。注意奇点,如 (0,0...求微分方程dy/dx+3xy=9x,满足条件y(0)=1的特解_百度知道
求微分方程dy/dx+3xy=9x,满足条件y(0)=1的特解
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高阶微分方程的求解
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官方公共微信已知t,tlnt是微分方程x``-x`&#47;t+x&#47;t^2=0的解,求此方程的通解?回答过程尽量详细，微分方程这块我们没太讲。_百度知道
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.,tlnt是微分方程x``-x`/=dx/dz
∵x``-x`&#47.;-2dx&#47，则r=1(二重根)
∴方程(1)的通解是x=(C1*z+C2)e^z
(C1;=d&#178;x/t+x/x&#39;t&#178;&#39;+x=0
==&dz+x=0;dz)-dx/-dx&#47,C2是积分常数);x/dz&#178;x&#47.;x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t
故原方程的通解是x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t
(C1;-dx/dz&#178;x&#39，直接求解）
令z=lnt.;t&#178;=0
==&&#39;(d&#178,C2是积分常数)
==&gt，t&#178：（去掉多余的已知条件“已知t.，原方程的通解是
x=C1*tlnt+C2*t
(C1;-2r+1=0.;-tx&#39.(1)
∵方程(1)的特征方程是r&#178..，则tx&#39；解法二;t+x/dz&#178;dz+x=0
∴d&#178;t^2=0的解”：∵t和tlnt是原方程线性无关的两个特解
∴根据定理知解法一,C2是积分常数)
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