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已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（-1）=2，f′（0）=0，∫01f（x）dx=-2，求函数f（x）的表达式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
由f（-1）=2得，a-b+c=2& ①又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b=0，②∵∫01f（x）dx=∫01（ax2+bx+c）dx=13a+12b+c∴13a+12b+c=-2& ③联立①②③式解得，a=6，b=0，c=-4∴f（x）=6x2-4．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（-1）=2，f′（0）=0，∫01f（x）dx=-2，求..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用函数解析式的求解及其常用方法
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（-1）=2，f′（0）=0，∫01f（x）dx=-2，求..”考查相似的试题有：
412316407257448529398340277849622582连续性随机变量X的概率密度函数为 f（x）=ax2+bx+c 0&X&1 ,且E(X)=0.5,D(X)=0.15,求a,b,c_百度知道
连续性随机变量X的概率密度函数为 f（x）=ax2+bx+c 0&X&1 ,且E(X)=0.5,D(X)=0.15,求a,b,c
提问者采纳
解：这题变相考你定积分而已。EX = 定积分 （x从0到1）(ax^2 + b害郸哆肺馨镀鹅僧珐吉x + c)x dx = ax^4/4 + bx^3/3 + cx^2/2 | 0到1= a/4 + b/3 + c/2 = 0.5， (1)EX^2 = 定积分 (x从0到1) (ax^2 + bx + c)x^2 dx = ax^5/5 + bx^4/4 + cx^3/3 | 0到1= a/5 + b/4 + c/3 ，于是DX =
(a/5 + b/4 + c/3) - 0.25 = 0.15，于是a/5 + b/4 + c/3 = 0.4， (2)最后一个条件就是概率密度本身的积分要等于1：1 = 定积分 (x从0到1) ax^2 + bx + c dx= ax^3/3 + bx^2/2 + cx | 0到1= a/3 + b/2 + c
， (3)联立（1），（2），（3），可以解出：a = 12, b = -12, c = 3.
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设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-a2．（1）求证：函数f（x）有两个零点；（2）设x1，x2是函数的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-a2，可得 a+b+c=-a2，即 c=-3a2-b．故判别式△=b2-4ac=b2-4a(-3a2-b)=（b+2a）2+2a2＞0，函数f（x）有两个零点．（2）设x1，x2是函数的两个零点，则 x1+x2=-ba，x1ox2=ca，∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1ox2=(-ba)2-4oca=b2-4aca2=b2+4ab+6a2a2=(ba)2+4oba+6=(ba+2)2+2≥2．故|x1-x2|的取值范围为[2，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-a2．（1）求证：函数f（x）有两个零点..”主要考查你对&&函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数零点的判定定理
&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
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与“设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-a2．（1）求证：函数f（x）有两个零点..”考查相似的试题有：
302364564631282216251809410980334415当前位置：
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数）；l2：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：偏难来源：福建省月考题
解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16则，∴函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+8x（Ⅱ）由得x2﹣8x﹣t（t﹣8）=0，∴x1=t，x2=8﹣t，∵0≦t≦2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t2+8t）由定积分的几何意义知：==（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x2﹣8x+6lnx+m因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x2﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴∴x=1或x=3时，H'（x）=0当x∈（0，1）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数,当x∈（1，3）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数当x∈（3，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数∴H（x）极大值为H（1）=m﹣7；H（x）极小值为H（3）=m+6ln3﹣15又因为当x→0时，H（x）→﹣∞；当x→+∞时，H（x）→+∞所以要使Η（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须即，∴m=7或m=15﹣6ln3．∴当m=7或m=15﹣6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，函数的零点与方程根的联系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用函数的零点与方程根的联系函数的极值与导数的关系
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数..”考查相似的试题有：
445868254655280879254956248076285246试题分析： (1),,
在上恒成立(*)
①当时,在上单调递增
得:在上的最小值是中的最小值
求最大值:当时,
得:当时,, 当时,
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