已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若方程f（x）=x无实根，求证：方程f（f（x））=x也无实根．_百度作业帮
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若方程f（x）=x无实根，求证：方程f（f（x））=x也无实根．
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证明：∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立． ∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．
其他类似问题
利用二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系即可得出．
本题考点：
函数的零点．
考点点评：
本题考查了二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系，属于难题．
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的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）...”，相似的试题还有：
已知两个二次函数：f(x)=ax2+bx+1与g(x)=a2x2+bx+1(a＞1)．若x1，x2(其中x1＜x2)是方程f(x)=0的二根；若x3，x4(若是x3＜x4)是方程g(x)=0的二根．则&x1，x2，x3，x4的大小关系是()
A.x1＜x3＜x4＜x2
B.x3＜x1＜x2＜x4
C.x1＜x3＜x2＜x4
D.x3＜x1＜x4＜x2
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2．(1)如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1；(2)如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范围．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若对任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f(x1)≠f(x2)，求证：关于x的方程f(x)=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]有两个不相等的实数根且必有一个根属于(x1，x2)；(2)若关于x的方程f(x)=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]在(x1，x2)的根为m，且x_{1}，m-\frac{1}{2}，x_{2}成等差数列，设函数f&(x)的图象的对称轴方程为x=x0，求证：x0＜m2．知识点梳理
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
一次函数的性质及图像：一、定义一般地，形如y=kx+b(k≠0，k,b是常数)，那么y叫做x的一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数（自变量和因变量成正比例）。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。还有，若自变量最高次数为1，则这个函数就是一次函数。在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=f（x），（即x经过某种运算得到y），即每一个x都有唯一一个y与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y随X的变化而变化。当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数。二、基本性质1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在时，x与y的积一定。在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该为(0，b)。3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。4．在两个一次函数表达式中：当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。5．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。三、图像一次函数的图象怎么画？（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“附加题：设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）满足f...”，相似的试题还有：
设函数f(x)=\frac{1}{x}，g(x)=ax2+bx(a，b∈R，a≠0)若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()
A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0
B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0
C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0
D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0
二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈(2，3)，则以下结论中：①abc＞0；&&&②a+b+c＜0；&&&③a+c＜b；&&&④3b＞2c；&&⑤3a+c＞0．正确的序号是_____．
设f(x)=3ax2+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：(1)若f(0)of(1)＞0，求证：-2＜\frac{b}{a}＜-1；(2)在(1)的条件下，证明函数f(x)的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．(3)若a＞b＞c，g(x)=2ax2+(a+b)x+b，求证：x≤-\sqrt{3}时，恒有f(x)＞g(x)．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．_百度作业帮
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；&&（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．
爱你妹子°渊凇
（Ⅰ）依题意得c=1，，b2-4ac=0解得a=1，b=2，c=1，从而f（x）=x2+2x+1；&&…（3分）（Ⅱ）F（x）=x2+（2-k）x+1，对称轴为，图象开口向上当即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=k+3；…（5分）当即-2＜k≤6时，F（x）在上递减，在上递增，此时函数F（x）的最小值2-4k4；&&&&&&…（7分）当即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；&&&&&&&&&&&&&…（9分）综上，函数F（x）的最小值2-4k4，&-2＜k≤69-2k，&&&&&&&k＞6；&&&&…（10分）
其他类似问题
（Ⅰ）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．构造关于a，b，c的方程组，可得f（x）的表达式；&&（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kxx2+（2-k）x+1，对称轴为，图象开口向上，分类求出其最小值，最后综合讨论结果，可得答案．
本题考点：
二次函数的性质
考点点评：
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，求函数的解析式，函数的最值，是二次函数图象和性质的综合考查，难度中档．
扫描下载二维码已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），判断并证明函数f（x）的单调性．_百度作业帮
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），判断并证明函数f（x）的单调性．
小然然0665
∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∴f′（x）=2ax+b．当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞-，对应的增区间为（-，+∞），令f'（x）＜0，解得x＜-，对应的减区间为（-∞，-，），当a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＜-，对应的增区间为（-∞，-，），令f'（x）＜0，解得x＞-，对应的减区间为（-，+∞）．
其他类似问题
首先，求导数，然后，针对a的正负情形进行讨论，得到相应的单调区间．
本题考点：
函数单调性的判断与证明．
考点点评：
本题重点考查了函数的单调性的判断与证明，属于中档题．
设x1，x2∈（0，+无穷），且x1<x2f(x1)-f(x2）=ax1^2+bx1-ax2^2-bx2=a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2+b)]=(x1-x2)(ax1+ax2+ab)所以说用定义法是不好求它的单调性的换一种思路对称轴为-b/2a当a>0时，对称轴左边的为递减，右边为递增所以x∈...
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